《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 第22講 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式練習(xí) 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 第22講 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式練習(xí) 理（含解析）新人教A版（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第22講　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式 夯實基礎(chǔ)　【p47】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．掌握兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式； 2．會應(yīng)用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式進行求值，化簡，證明等． 【基礎(chǔ)檢測】 1．已知α為第二象限角，sin α＝，則sin 2α等于(　　) A．－ B．－ C. D. 【解析】∵sin α＝，α是第二象限角，∴cos α＝－. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－. 【答案】A 2．計算sin 20°cos 10°－cos 160°sin 370°＝________． 【解析】由cos

2、 160°sin 370°＝cos(180°－20°)·sin(360°＋10°)＝－cos 20°sin 10°， 所以原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝. 【答案】 3．已知cos＝－，則cos x＋cos的值是(　　) A．－ B．± C．－1 D．±1 【解析】cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x ＝cos x＋sin x＝ ＝cos＝－1. 【答案】C 4.＝________． 【解析】＝cos2－sin2＝cos ＝. 【答案】 5．若銳角α，β滿足tan α＋

3、tan β＝－tan αtan β，則α＋β＝________． 【解析】由已知可得＝，即tan(α＋β)＝. 又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. 【答案】 【知識要點】 1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β； cos(αβ)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β； tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝. 3．公式的常用變形 (

4、1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1tan αtan β)； (2)cos2α＝，sin2α＝； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝sin. 典 例 剖 析　【p47】 考點1　三角函數(shù)公式的基本應(yīng)用 (1)若α∈，tan＝，則sin α等于(　　) A. B. C．－ D．－ 【解析】(1)∵tan＝＝， ∴tan α＝－＝， ∴cos α＝－sin α. 又∵sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α＝. 又∵α∈，∴sin α＝. 【答案】A

5、 (2)計算的值等于__________． 【解析】由sin 47°＝sin＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°知，原式＝＝. 【答案】 【點評】觀察分析角和三角函數(shù)名稱之間的關(guān)系，實現(xiàn)非特殊角向特殊角的轉(zhuǎn)化是求解此類題的關(guān)鍵． (1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征． (2)使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值． 考點2　三角函數(shù)公式的逆用與變形用 (1)設(shè)a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝，則有(　　) A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【解析】由題意可知，a＝sin

6、 28°，b＝tan 28°，c＝sin 25°， ∴c＜a＜b. 【答案】D (2)在△ABC中，若tan Atan B＝ tan A＋tan B＋1，則cos C的值為(　　) A．－ B. C. D．－ 【解析】由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1， 可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)， 所以A＋B＝，則C＝，cos C＝. 【答案】B 【點評】(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式． (2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β)

7、)三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和變形使用． 考點3　三角函數(shù)公式的綜合應(yīng)用 已知函數(shù)f(α)＝sin α(cos α－sin α)＋. (1)化簡f(α)； (2)若α∈，f＝，求f(α)的值． 【解析】(1)f(α)＝sin αcos α－sin αsin α＋ ＝sin 2α－×＋ ＝sin 2α＋cos 2α＝sin. (2)∵f＝－sin α＝，∴sin α＝－， ∵α∈，∴cos α＝. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－， cos 2α＝2cos2α－1＝， ∴f(α)＝sin 2α＋cos 2α＝. 方 法 總 結(jié)　　【p48】 1

8、．對于任意一個三角公式，應(yīng)從“順、逆”兩個方面去認識，盡力熟悉它的變式，以及能靈活運用． 2．公式應(yīng)用要講究“靈活、恰當(dāng)”，關(guān)鍵是觀察、分析題設(shè)“已知”和“未知”中角之間的“和、差、倍、半”以及“互補、互余”關(guān)系，同時分析歸納題設(shè)中三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，探究化簡變換目標(biāo)． 3．把握三角公式之間的相互聯(lián)系是構(gòu)建“三角函數(shù)公式體系”的條件，是牢固記憶三角公式的關(guān)鍵． 走 進 高 考　　【p48】 1．(2018·全國卷Ⅲ)若sin α＝，則cos 2α＝ A. B. C．－ D．－ 【解析】cos 2α＝1－2sin2α＝1－＝. 【答案】B 2．(2018·全國卷Ⅱ)已知s

9、in α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，則sin(α＋β)＝__________． 【解析】因為sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， 所以(1－sin α)2＋(－cos α)2＝1，∴sin α＝，cos β＝， 因此sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×－cos2α＝－1＋sin2α＝－1＋＝－. 【答案】－ 3．(2018·浙江)已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點P. 若角β滿足sin(α＋β)＝，求cos β的值． 【解析】由角α的終邊過點P得 sin α＝－，cos α＝－，

10、 由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±. 由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－或cos β＝. 考 點 集 訓(xùn)　　【p201】 A組題 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．化簡cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°的值為(　　) A. B. C．－ D．－ 【解析】由題意可得：cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°＝cos(15°＋45°)＝cos 60°＝. 【答案】A 2．已知α∈，cos α＝－，則tan＝(　　) A. B．7

11、 C．－ D．－7 【解析】∵α∈，cos α＝－，∴sin α＝， ∴tan α＝－，∴tan＝＝＝. 【答案】A 3．已知sinsin＝－，則cos 2α＝(　　) A．－ B. C．－ D. 【解析】sinsin＝＝－， cos 2α＝－. 【答案】A 4．已知α，β∈， cos(α＋β)＝，cos＝－，則sin＝(　　) A. B．－ C．－ D. 【解析】α，β∈，則α＋β∈， β－∈，所以sin(α＋β)＝－， sin＝， sin＝sin ＝sin(α＋β)cos－cos(α＋β)sin ＝－×－×＝－，故選B. 【答案】B 5．若t

12、an＝， 則tan α＝________． 【解析】tan α＝tan＝＝＝. 【答案】 6．sin 15°＋sin 75°＝________． 【解析】法一：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝. 法二：sin 15°＋sin 75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin 45°cos 30°＝. 法三：sin 15°＋sin 75°＝＋＝. 【答案】 7．已知sin α＋cos α＝，則sin2＝________． 【解析】由sin α＋cos α＝兩邊平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α

13、＝－，所以sin2＝＝＝＝. 【答案】 8．已知α∈，sin α＝. (1)求sin的值； (2)求cos的值． 【解析】(1)因為α∈，sin α＝， 所以cos α＝－＝－. 故sin＝sincos α＋cossin α＝×＋×＝－. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－， cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝， 所以cos＝coscos 2α＋sinsin 2α ＝×＋×＝－. B組題 1.的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 【解析】 由＝＝tan 120°＝－. 【答案】B 2．已知sin＝，則cos的值

14、是(　　) A. B. C．－ D．－ 【解析】∵sin＝， ∴cos＝cos＝1－2sin2＝， ∴cos＝cos＝－cos＝－. 【答案】D 3．已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos2＋cos xsin φ－sin x(0<φ<π)在x＝π處取最小值． (1)求φ的值； (2)已知f＝，且x∈，求sin 2x的值． 【解析】(1)f(x)＝sin x(1＋cos φ)＋cos xsin φ－sin x ＝sin xcos φ＋cos xsin φ＝sin(x＋φ)． 當(dāng)x＝π時，sin(π＋φ)＝－1，∴sin φ＝1， 又0<φ<π，∴φ＝. (2)f(x

15、)＝sin＝cos x， ∴cos＝， ∵x∈，∴2x－∈， ∴sin＝－＝－， ∴sin 2x＝sin ＝sincos ＋cossin ＝－×＋×＝. 4．已知sin 2α＝， α∈， sin＝， β∈. (1)求sin α和cos α的值； (2)求tan的值． 【解析】(1)由sin 2α＝，得sin αcos α＝， 因為sin2α＋cos2α＝1，所以＝1＋＝， 又α∈，2β∈，所以sin α＋cos α＝， 所以 (2)因為β∈，所以β－∈，所以cos＝， 于是sin 2＝2sincos＝， 又sin 2＝－cos 2β，所以cos 2β＝－，tan 2β＝－. 由(1)tan α＝＝， 所以tan＝＝. 備 課 札 記 11