備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)一遍過 考點(diǎn)07 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 理(含解析)
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1、考點(diǎn)07 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) (1)了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景. (2)理解有理指數(shù)冪的含義,了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義,掌握冪的運(yùn)算. (3)理解指數(shù)函數(shù)的概念,理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn). (4)知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型. 一、指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算 1.根式 (1)次方根的概念與性質(zhì) 次 方 根 概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,. 性質(zhì) ①當(dāng)是奇數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).這時(shí),的次方根用符號(hào)表示. ②當(dāng)是偶數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根有兩個(gè),這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).這時(shí),正數(shù)的正的次方根用符號(hào)表示,負(fù)的
2、次方根用符號(hào)表示.正的次方根與負(fù)的次方根可以合并寫成.負(fù)數(shù)沒有偶次方根. ③0的任何次方根都為0,記作. (2)根式的概念與性質(zhì) 根 式 概念 式子叫做根式,這里叫做根指數(shù),叫做被開方數(shù). 性質(zhì) ①. ②當(dāng)為奇數(shù)時(shí),. ③當(dāng)為偶數(shù)時(shí),. 【注】速記口訣: 正數(shù)開方要分清,根指奇偶大不同, 根指為奇根一個(gè),根指為偶雙胞生. 負(fù)數(shù)只有奇次根,算術(shù)方根零或正, 正數(shù)若求偶次根,符號(hào)相反值相同. 負(fù)數(shù)開方要慎重,根指為奇才可行, 根指為偶無意義,零取方根仍為零. 2.實(shí)數(shù)指數(shù)冪 (1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 ①我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是. 于是,在條件下,根式都可
3、以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式. ②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿,我們規(guī)定且 . ③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義. (2)有理數(shù)指數(shù)冪 規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義之后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)冪推廣到了有理數(shù)指數(shù).整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用,即對(duì)于任意有理數(shù),均有下面的運(yùn)算性質(zhì): ①; ②; ③. (3)無理數(shù)指數(shù)冪 對(duì)于無理數(shù)指數(shù)冪,我們可以從有理數(shù)指數(shù)冪來理解,由于無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),因此可以取無理數(shù)的不足近似值和過剩近似值來無限逼近它,最后我們也可得出無理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù). 一般地,無理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)
4、數(shù).有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪. 二、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.指數(shù)函數(shù)的概念 一般地,函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù),其中是自變量,函數(shù)的定義域是. 【注】指數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征: (1)底數(shù):大于零且不等于1的常數(shù); (2)指數(shù):僅有自變量x; (3)系數(shù):ax的系數(shù)是1. 2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 圖象 定義域 值域 奇偶性 非奇非偶函數(shù) 對(duì)稱性 函數(shù)y=a?x與y=ax的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 過定點(diǎn) 過定點(diǎn),即時(shí), 單調(diào)性 在上是減函數(shù) 在上是增函數(shù) 函數(shù)值的變化情況 當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí), 底數(shù)對(duì)
5、圖象的影響
指數(shù)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象的相對(duì)位置與底數(shù)大小關(guān)系如下圖所示,其中0 6、的值域,再由單調(diào)性求出的值域.若a的范圍不確定,則需對(duì)a進(jìn)行討論.
求形如的函數(shù)的值域,要先求出的值域,再結(jié)合的性質(zhì)確定出的值域.
(2)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
令u=f(x),x∈[m,n],如果復(fù)合的兩個(gè)函數(shù)與的單調(diào)性相同,那么復(fù)合后的函數(shù)在[m,n]上是增函數(shù);如果兩者的單調(diào)性相異(即一增一減),那么復(fù)合函數(shù)在[m,n]上是減函數(shù).
(3)研究函數(shù)的奇偶性
一是定義法,即首先是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,然后分析式子與f(?x)的關(guān)系,最后確定函數(shù)的奇偶性.
二是圖象法,作出函數(shù)的圖象或從已知函數(shù)圖象觀察,若圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)或y軸對(duì)稱,則函數(shù)具有奇偶性.
考向一指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算 7、
指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則
(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的,無括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算.
(2)先乘除后加減,負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).
(3)底數(shù)是負(fù)數(shù),先確定符號(hào);底數(shù)是小數(shù),先化成分?jǐn)?shù);底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的,先化成假分?jǐn)?shù).
(4)若是根式,應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,盡可能用冪的形式表示,運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來解答.
(5)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)中,其底數(shù)都大于零,否則不能用性質(zhì)來運(yùn)算.
(6)將根式化為指數(shù)運(yùn)算較為方便,對(duì)于計(jì)算的結(jié)果,不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來表示.如果有特殊要求,要根據(jù)要求寫出結(jié)果.但結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).
典例1 化簡(jiǎn)并求值:
(1) 8、;
(2).
【答案】(1);(2).
【解析】(1);
(2).
【名師點(diǎn)睛】把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,再按照冪的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.
1.________.
考向二與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象問題
指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象變換如下:
【注】可概括為:函數(shù)y=f(x)沿x軸、y軸的變換為“上加下減,左加右減”.
典例2 函數(shù)y=ax-a(a>0,且a≠1)的圖象可能是
【答案】C
【解析】當(dāng)x=1時(shí),y=a1-a=0,
所以y=ax-a的圖象必過定點(diǎn)(1,0),
結(jié)合選項(xiàng)可知選C.
2.函數(shù)的圖像是
A. B.
C. D.
9、考向三指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
1.比較冪的大小的常用方法:
(1)對(duì)于底數(shù)相同,指數(shù)不同的兩個(gè)冪的大小比較,可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷;
(2)對(duì)于底數(shù)不同,指數(shù)相同的兩個(gè)冪的大小比較,可以利用指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律來判斷;
(3)對(duì)于底數(shù)不同,且指數(shù)也不同的冪的大小比較,可先化為同底的兩個(gè)冪,或者通過中間值來比較.
2.解指數(shù)方程或不等式
簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式的求解問題.解決此類問題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,要特別注意底數(shù)a的取值范圍,并在必要時(shí)進(jìn)行分類討論.
典例3 設(shè),則的大小關(guān)系是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】對(duì)于函數(shù),在其定義域上是減函數(shù) 10、,
,,即.
在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象,
可知,即.
從而.
故A正確.
【名師點(diǎn)睛】不管是比較指數(shù)式的大小還是解含指數(shù)式的不等式,若底數(shù)含有參數(shù),需注意對(duì)參數(shù)的值分與兩種情況討論.
3.設(shè),,(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則
A. B.
C. D.
典例4 設(shè)函數(shù),若,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí),不等式可化為,
即,解得;
當(dāng)時(shí),不等式可化為,所以.
故的取值范圍是.
故選C.
【名師點(diǎn)睛】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,分別討論當(dāng)及時(shí),的取值范圍,最后綜合即可得出結(jié)果.
4.若 11、,則
A. B.
C. D.
考向四指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用
1.指數(shù)型函數(shù)中參數(shù)的取值或范圍問題
應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化求解,同時(shí)要特別注意底數(shù)a的取值范圍,并當(dāng)?shù)讛?shù)不確定時(shí)進(jìn)行分類討論.
2.指數(shù)函數(shù)的綜合問題
要把指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)同函數(shù)的其他性質(zhì)(如奇偶性、周期性)相結(jié)合,同時(shí)要特別注意底數(shù)不確定時(shí),對(duì)底數(shù)的分類討論.
典例5 已知函數(shù),則fx是
A.奇函數(shù),且在R上是增函數(shù) B.偶函數(shù),且在0,+∞上是增函數(shù)
C.奇函數(shù),且在R上是減函數(shù) D.偶函數(shù),且在0,+∞上是減函數(shù)
【答案】C
【解析】易知函數(shù)的定義域?yàn)?,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
且,
12、則,
所以是奇函數(shù),
顯然函數(shù)是減函數(shù).
故選C.
5.若函數(shù)f(x)=3x+3-x與g(x)=3x-3-x的定義域均為R,則
A.f(x)與g(x)均為偶函數(shù) B.f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù)
C.f(x)與g(x)均為奇函數(shù) D.f(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù)
典例6 若函數(shù)的最小值為,則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí),f(x)=,單調(diào)遞減,
∴f(x)的最小值為f(2)=1;
當(dāng)x>2時(shí),f(x)=單調(diào)遞增,
若滿足題意,只需恒成立,
即恒成立,
∴,∴a≥0.
故選D.
典例7 函數(shù)的值域?yàn)開 13、_______.
【答案】(0,2]
【解析】設(shè),又由指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),即可求解.
由題意,設(shè),
又由指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),
知當(dāng)時(shí),,
即函數(shù)的值域?yàn)椋?
6.若關(guān)于的不等式的解集包含區(qū)間,則的取值范圍為
A. B.
C. D.
1.計(jì)算:
A.3 B.2
C. D.
2.若函數(shù)f(x)=2x,x<1-log2x,x≥1,則函數(shù)f(x)的值域是
A.(-∞,2) B.[0,+∞)
C.(-∞,0)∪(0,2) D.(-∞,2]
3.設(shè),則的大小關(guān)系是
A. B.
C. D.
4.函數(shù)f(x)=12x2-2x的單調(diào)遞減區(qū)間為 14、
A.0,+∞ B.1,+∞
C.(-∞,1) D.(-∞,-1)
5.函數(shù)的圖象的大致形狀是
A. B.
C. D.
6.已知函數(shù),其值域?yàn)?,在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),則的概率是
A. B.
C. D.
7.已知實(shí)數(shù)滿足,則下列關(guān)系式中恒成立的是
A. B.
C. D.
8.已知函數(shù)在上的值域?yàn)?,函?shù)在上的值域?yàn)?若是的必要不充分條件,則的取值范圍是
A. B.
C. D.
9.已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),且時(shí),,則不等式的解集為
A. B.
C. D.
10.函數(shù)f(x)=log2x+1與g(x)=2-x-1在同一平面直角坐標(biāo)系下的圖象大致是
A. B.
15、
C. D.
11.設(shè)函數(shù)與且)在區(qū)間上具有不同的單調(diào)性,則與的大小關(guān)系是
A. B.
C. D.
12.定義新運(yùn)算?:當(dāng)m≥n時(shí),m?n=m;當(dāng)m 16、值是_______.
18.已知,則__________.
19.若不等式-x2+2x+3≤21-3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,則實(shí)數(shù)a的最大值為________.
20.已知函數(shù),若,則函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)__________.
21.已知函數(shù)的定義域和值域都是,則__________.
22.(1);
(2).
23.已知函數(shù).
(1)若,求方程的根;
(2)若對(duì)任意,恒成立,求的取值范圍.
24.已知函數(shù)(且)是定義在上的奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)求函數(shù)的值域;
(3)當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 17、
1.(2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù))已知,則
A. B.
C. D.
2.(2019年高考天津理數(shù))已知,,,則的大小關(guān)系為
A. B.
C. D.
3.(2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù))若a>b,則
A.ln(a?b)>0 B.3a<3b
C.a(chǎn)3?b3>0 D.│a│>│b│
4.(2019年高考浙江)在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù),(a>0,且a≠1)的圖象可能是
5.(2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù))設(shè)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,則
A.(log3)>()>()
B.(log3)> 18、()>()
C.()>()>(log3)
D.()>()>(log3)
6.(2017年高考新課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知集合A={x|x<1},B={x|},則
A. B.
C. D.
7.(2017年高考北京卷理科)已知函數(shù),則
A.是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù)
C.是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù) D.是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù)
8.(2016年高考新課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知,,,則
A. B.
C. D.
9.(2017年高考新課標(biāo)Ⅲ卷理科)設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是.
10.(2016年高考天津卷理科)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(– 19、,0)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足,則a的取值范圍是.
變式拓展
1.【答案】
【解析】由題意,根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),
可得:
,
故答案為.
2.【答案】A
【解析】由,可得,排除選項(xiàng)C,D;
由指數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì)可得恒成立,排除選項(xiàng)B,
故選A.
【名師點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手:
(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置.
(2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢(shì);
(3)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱性;
(4)從函數(shù)的特征點(diǎn),排除不合要求的圖象.
3.【答案】B
【解析】由題得,
且b>0,
20、
,
所以.
故選B.
【名師點(diǎn)睛】由題意結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定a,b,c的范圍,然后比較其大小即可.對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較,我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,但很多時(shí)候,因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同,不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較,這就必須掌握一些特殊方法.在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí),若底數(shù)不同,則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù),然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較,利用圖象法求解,既快捷,又準(zhǔn)確.
4.【答案】D
【解析】因?yàn)椋杂芍笖?shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,
因?yàn)榈姆?hào)不確定,所以時(shí)可排除選項(xiàng)A、B;
時(shí),可排除選項(xiàng)C,
由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可 21、判斷正確.
故選D.
【名師點(diǎn)睛】用特例代替題設(shè)所給的一般性條件,得出特殊結(jié)論,然后對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn),從而作出正確的判斷,這種方法叫做特殊法.若結(jié)果為定值,則可采用此法.特殊法是“小題小做”的重要策略,排除法解答選擇題是高中數(shù)學(xué)一種常見的解題思路和方法,這種方法既可以提高做題速度和效率,又能提高準(zhǔn)確性.
5.【答案】D
【解析】因?yàn)閒(-x)=3-x+3x=f(x),g(-x)=3-x-3x=-g(x),
所以f(x)是偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù).
故選D.
6.【答案】B
【解析】由題得在(0,1)上恒成立,
設(shè),所以,
由于函數(shù)是增函數(shù),
所以.
故選B.
考點(diǎn)沖 22、關(guān)
1.【答案】D
【解析】原式.
故選D.
2.【答案】A
【解析】因?yàn)閤<1時(shí),2x<2;
x≥1時(shí),-log2x≤0,
所以函數(shù)fx的值域是-∞,2.
故選A.
3.【答案】B
【解析】由的單調(diào)性可知:,
又,.
故選B.
4.【答案】B
【解析】由函數(shù)f(x)=(12)x2-2x,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)可知,它的減區(qū)間,即為y=x2-2x的增區(qū)間.
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得y=x2-2x的增區(qū)間為(1,+∞).
故選B.
5.【答案】A
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?
當(dāng)時(shí),由題意可得,故可排除B,D;
又當(dāng)時(shí),由于,故,故排除C.
故選A.
【 23、名師點(diǎn)睛】由函數(shù)的解析式判斷函數(shù)圖象的形狀時(shí),主要利用排除法進(jìn)行.解題時(shí)要注意以下幾點(diǎn):
(1)先求出函數(shù)的定義域,根據(jù)定義域進(jìn)行排除;
(2)利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷,即根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性進(jìn)行排除;
(3)根據(jù)函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行判斷或根據(jù)函數(shù)的變化趨勢(shì)進(jìn)行判斷.
6.【答案】B
【解析】函數(shù)的值域?yàn)?,即?
則在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)的概率
故選B.
7.【答案】D
【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得,
對(duì)于A,當(dāng)時(shí),滿足,但不成立.
對(duì)于B,若,則等價(jià)為成立,當(dāng)時(shí),滿足,但不成立.
對(duì)于C,當(dāng)時(shí),滿足,但不成立.
對(duì)于D,當(dāng)時(shí),恒成立.
故選D.
【 24、名師點(diǎn)睛】利用指數(shù)函數(shù)即可得出的大小關(guān)系,進(jìn)而判斷出結(jié)論.本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,利用不等式的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.
8.【答案】B
【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以,
又函數(shù)在上單調(diào)遞增,于是.
因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件,所以是的真子集,
故有(等號(hào)不同時(shí)成立),得.
故選B.
9.【答案】D
【解析】由題意得,當(dāng)時(shí),,則不等式,即,解得;
又因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),當(dāng)時(shí),,則不等式,即,解得,
所以不等式的解集為.
故選D.
10.【答案】D
【解析】,由指數(shù)函數(shù)的圖象知,將函數(shù)y=(12)x的圖象向左平移一個(gè) 25、單位,即可得到g(x)的圖象,從而排除選項(xiàng)A,C;
將函數(shù)y=log2x的圖象向上平移一個(gè)單位,即可得到f(x)=log2x+1的圖象,從而排除選項(xiàng)B.
故選D.
11.【答案】D
【解析】由題意,因?yàn)榕c在區(qū)間上具有不同的單調(diào)性,
則,
所以,,所以.
故選D.
12.【答案】C
【解析】由題意得,函數(shù)fx=2x?2-1?log2x?2x=2x,0 26、
【解析】畫出函數(shù)的大致圖象如圖所示.
不妨令,則,則.
結(jié)合圖象可得,故.
∴.
故選B.
【名師點(diǎn)睛】解答本題時(shí)利用函數(shù)圖象進(jìn)行求解,使得解題過程變得直觀形象.解題中有兩個(gè)關(guān)鍵:一是結(jié)合圖象得到;二是根據(jù)圖象判斷出c的取值范圍,進(jìn)而得到的結(jié)果,然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可得所求的范圍.
14.【答案】
【解析】由題意,令,可得,
所以函數(shù)(且)的圖象過定點(diǎn).
15.【答案】
【解析】由題意得,∴,
,.
16.【答案】
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?
∴恒成立,
即恒成立,
,
,
故答案為.
17.【答案】
【解析】∵,
∴,
∵,
∴,
又
27、則a=.
故答案為.
18.【答案】3
【解析】由題設(shè)可得,則,
即,即.
故答案為.
19.【答案】-13
【解析】設(shè)f(x)=-x2+2x+3,不等式-x2+2x+3≤21-3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,只需滿足f(x)max≤21-3a即可,
f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4?f(x)max=4,
所以4≤21-3a?a≤-13,
因此實(shí)數(shù)a的最大值為-13.
20.【答案】
【解析】∵,∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為,
∴,即,
∴.
在中,令,則.
∴函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn).
故答案為.
21.【答案】4
【解析】當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,所以函數(shù)的圖象過點(diǎn) 28、(?1, ?1)和點(diǎn)(0,0),所以,該方程組無解;
當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,所以函數(shù)的圖象過點(diǎn)(?1,0)和點(diǎn)(0, ?1),所以,解得.
所以.
22.【答案】(1)2;(2)
【解析】(1)由題意,根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),可得.
(2)根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),可得.
23.【答案】(1);(2).
【解析】(1)時(shí),,
可得,
,
,解得.
(2)令,,.
由,可得,對(duì)恒成立,
,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取得最小值為,
,故,
的取值范圍為.
24.【答案】(1);(2);(3).
【解析】(1)∵是上的奇函數(shù),
∴,即.
整理可得.
(注:本題也可由解得,但要 29、進(jìn)行驗(yàn)證)
(2)由(1)可得,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,
又,
∴,
∴.
∴函數(shù)的值域?yàn)椋?
(3)當(dāng)時(shí),.
由題意得在時(shí)恒成立,
∴在時(shí)恒成立.
令,則有,
∵當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù),
∴.
∴.
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【名師點(diǎn)睛】解決函數(shù)中恒成立問題的常用方法:
(1)分離參數(shù)法.若所求范圍的參數(shù)能分離出來,則可將問題轉(zhuǎn)化為(或)恒成立的問題求解,此時(shí)只需求得函數(shù)的最大(小)值即可.若函數(shù)的最值不可求,則可利用函數(shù)值域的端點(diǎn)值表示.
(2)若所求的參數(shù)不可分離,則要根據(jù)方程根的分布或函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合函數(shù)的圖象,將問題轉(zhuǎn)化為不等式進(jìn)行處理.
直通高考
1. 30、【答案】B
【解析】
即
則.
故選B.
【名師點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)和對(duì)數(shù)大小的比較,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).采取中間量法,根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大?。?
2.【答案】A
【解析】因?yàn)椋?
,
,即,
所以.
故選A.
【名師點(diǎn)睛】本題考查比較大小問題,關(guān)鍵是選擇中間量和利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.
3.【答案】C
【解析】取,滿足,但,則A錯(cuò),排除A;
由,知B錯(cuò),排除B;
取,滿足,但,則D錯(cuò),排除D;
因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù),,所以,即a3?b3>0,C正確.
故選C.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、冪函數(shù)的性質(zhì)及絕對(duì)值的 31、意義,滲透了邏輯推理和運(yùn)算能力素養(yǎng),利用特殊值排除即可判斷.
4.【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象過定點(diǎn)且單調(diào)遞減,則函數(shù)的圖象過定點(diǎn)且單調(diào)遞增,函數(shù)的圖象過定點(diǎn)且單調(diào)遞減,D選項(xiàng)符合;
當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象過定點(diǎn)且單調(diào)遞增,則函數(shù)的圖象過定點(diǎn)且單調(diào)遞減,函數(shù)的圖象過定點(diǎn)且單調(diào)遞增,各選項(xiàng)均不符合.
綜上,選D.
【名師點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤:一是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不熟練,導(dǎo)致判斷失誤;二是不能通過討論的不同取值范圍,認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性.
5.【答案】C
【解析】是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),.
,
又在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
∴,
即.
故選C.
【名師點(diǎn)睛】本題 32、主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性,先利用函數(shù)的奇偶性化為同一區(qū)間,再利用中間量比較自變量的大小,最后根據(jù)單調(diào)性得到答案.
6.【答案】A
【解析】由可得,則,即,
所以,
.
故選A.
7.【答案】A
【解析】,所以該函數(shù)是奇函數(shù),并且是增函數(shù),是減函數(shù),根據(jù)增函數(shù)?減函數(shù)=增函數(shù),可知該函數(shù)是增函數(shù).
故選A.
【名師點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)題型,根據(jù)與的關(guān)系就可以判斷出函數(shù)的奇偶性,利用函數(shù)的四則運(yùn)算判斷函數(shù)的單調(diào)性,如:增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù),增函數(shù)?減函數(shù)=增函數(shù).
8.【答案】A
【解析】因?yàn)?,,所?
故選A.
9.【答案】
【解析】由題意得:當(dāng)時(shí),恒成立,即;
當(dāng)時(shí),恒成立,即;
當(dāng)時(shí),,即.
綜上,x的取值范圍是.
10.【答案】
【解析】由題意知在上單調(diào)遞減,
又是偶函數(shù),
則不等式可化為,則,
即,解得,
即的取值范圍為.
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