(京津魯瓊專用)2020版高考數(shù)學二輪復習 第一部分 基礎(chǔ)考點 自主練透 第4講 計數(shù)原理與二項式定理練習(含解析)
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1、第4講 計數(shù)原理與二項式定理 兩個計數(shù)原理 [考法全練] 1.甲、乙兩人都計劃在國慶節(jié)的七天假期中,到東亞文化之都——泉州“二日游”,若他們不同一天出現(xiàn)在泉州,則他們出游的不同方案共有( ) A.16種 B.18種 C.20種 D.24種 解析:選C.任意相鄰兩天組合在一起,一共有6種情況:①②,②③,③④,④⑤,⑤⑥,⑥⑦. 若甲選①②或⑥⑦,則乙各有4種選擇, 若甲選②③或③④或④⑤或⑤⑥,則乙各有3種選擇, 故他們不同一天出現(xiàn)在泉州的出游方案共有2×4+4×3=20(種). 2.如果一個三位正整數(shù)“a1a2a3”滿足a1<a2且a3<a2,則稱
2、這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275),那么所有凸數(shù)的個數(shù)為( ) A.240 B.204 C.729 D.920 解析:選A.分8類, 當中間數(shù)為2時,有1×2=2(個); 當中間數(shù)為3時,有2×3=6(個); 當中間數(shù)為4時,有3×4=12(個); 當中間數(shù)為5時,有4×5=20(個); 當中間數(shù)為6時,有5×6=30(個); 當中間數(shù)為7時,有6×7=42(個); 當中間數(shù)為8時,有7×8=56(個); 當中間數(shù)為9時,有8×9=72(個). 故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240(個). 3.某社區(qū)新建了一個休閑小公園,幾條小徑將公
3、園分成5塊區(qū)域,如圖.社區(qū)準備從4種顏色不同的花卉中選擇若干種種植在各塊區(qū)域,要求每個區(qū)域種植一種顏色的花卉,且相鄰區(qū)域(有公共邊的)所選花卉的顏色不能相同,則不同種植方法的種數(shù)為( ) A.96 B.114 C.168 D.240 解析:選C.先在a中種植,有4種不同方法,再在b中種植,有3種不同方法,再在c中種植,若c與b同色,則d有3種不同方法,若c與b不同色,c有2種不同方法,d有2種不同方法,再在e中種植,有2種不同方法,所以共有4×3×1×3×2+4×3×2×2×2=168(種),故選C. 4.用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復數(shù)字且大于3 000的四位數(shù),這樣的四
4、位數(shù)有________個. 解析:①當千位上的數(shù)字為4時,滿足條件的四位數(shù)有A=24(個); ②當千位上的數(shù)字為3時,滿足條件的四位數(shù)有A=24(個). 由分類加法計數(shù)原理得所有滿足條件的四位數(shù)共有24+24=48(個). 答案:48 5.將3張不同的奧運會門票分給10名同學中的3人,每人1張,則不同分法的種數(shù)是________. 解析:按分步來完成此事.第1張有10種分法,第2張有9種分法,第3張有8種分法,故共有10×9×8=720種分法. 答案:720 6.在學校舉行的田徑運動會上,8名男運動員參加100米決賽,其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條
5、跑道的奇數(shù)號跑道上,則安排這8名運動員比賽的方式共有________種. 解析:分兩步安排這8名運動員.第一步,安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四條跑道可安排,所以安排方式有4×3×2=24(種);第二步,安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號跑道上安排,所以安排方式有5×4×3×2×1=120(種).所以安排這8名運動員的方式共有24×120=2 880(種). 答案:2 880 應(yīng)用兩個計數(shù)原理解題的方法 (1)在應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時,一般先分類再分步,每一步當中又可能用到分類加法計數(shù)原理. (2)對于復雜的兩個原理綜合應(yīng)用的問題,可
6、恰當列出示意圖或表格,使問題形象化、直觀化. 排列、組合的應(yīng)用 [考法全練] 1.(2019·長春市質(zhì)量監(jiān)測(一))要將甲、乙、丙、丁4名同學分到A、B、C三個班級中,要求每個班級至少分到一人,則甲被分到A班的分法種數(shù)為( ) A.6 B.12 C.24 D.36 解析:選B.由題意可知,可以分兩類,第一類,甲與另一人一同被分到A班,分法有CA=6(種);第二類,甲單獨被分到A班,分法有CA=6(種).所以共有12種,故選B. 2.(一題多解)(2019·安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負責人座談,其中甲企業(yè)有2人到會,其余5家企
7、業(yè)各有1人到會,會上有3人發(fā)言,則發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為( ) A.15 B.30 C.35 D.42 解析:選B.法一:甲企業(yè)有2人,其余5家企業(yè)各有1人,共有7人,所以從7人中任選3人共有C種情況,發(fā)言的3人來自2家企業(yè)的情況有CC種,所以發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況共有C-CC=30(種),故選B. 法二:發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)且含甲企業(yè)的人的情況有CC=20(種);發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)且不含甲企業(yè)的人的情況有C=10(種),所以發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況共有20+10=30(種),故選B. 3.(2019·合
8、肥市第二次質(zhì)量檢測)某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行A,B,C,D,E,F(xiàn)六項不同的任務(wù),要求是:任務(wù)A必須排在前三項執(zhí)行,且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E,任務(wù)B,C不能相鄰,則不同的執(zhí)行方案共有( ) A.36種 B.44種 C.48種 D.54種 解析:選B.由題意知任務(wù)A,E必須相鄰,且只能安排為AE,由此分三類完成,(1)當AE排第一、二位置時,用○表示其他任務(wù),則順序為AE○○○○,余下四項任務(wù),先全排D,F(xiàn)兩項任務(wù),然后將任務(wù)B,C插入D,F(xiàn)兩項任務(wù)形成的三個空隙中,有AA種方法.(2)當AE排第二、三位置時,順序為○AE○○○,余下四項任務(wù)又分為兩類:①B,C兩項任務(wù)中一項
9、排在第一位置,剩余三項任務(wù)排在后三個位置,有AA種方法;②D,F(xiàn)兩項任務(wù)中一項排第一位置,剩余三項任務(wù)排在后三個位置,且任務(wù)B,C不相鄰,有AA種方法.(3)當AE排第三、四位置時,順序為○○AE○○,第一、二位置必須分別排來自B,C和D,F(xiàn)中的一個,余下兩項任務(wù)排在后兩個位置,有CCAA種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知不同的執(zhí)行方案共有AA+AA+AA+CCAA=44(種),故選B. 4.用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字,可以組成________個無重復數(shù)字的三位數(shù),也可以組成________個能被5整除且無重復數(shù)字的五位數(shù). 解析:第一個空:第一步,先確定三位數(shù)的最高數(shù)位上的數(shù),有C=
10、5種方法; 第二步,確定另外兩個數(shù)位上的數(shù),有A=5×4=20種方法, 所以可以組成5×20=100個無重復數(shù)字的三位數(shù); 第二個空:被5整除且無重復數(shù)字的五位數(shù)的個位上的數(shù)有2種情況: 當個位上的數(shù)字是0時,其他數(shù)位上的數(shù)有A=5×4×3×2=120個; 當個位上的數(shù)字是5時,先確定最高數(shù)位上的數(shù),有C=4種方法,而后確定其他三個數(shù)位上的數(shù)有A=4×3×2=24種方法,所以共有24×4=96個數(shù), 根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有120+96=216個數(shù). 答案:100 216 5.(一題多解)(2019·長沙市統(tǒng)一模擬考試)為培養(yǎng)學生的綜合素養(yǎng),某校準備在高二年級開設(shè)A,B,C,D
11、,E,F(xiàn),共6門選修課程,學校規(guī)定每個學生必須從這6門課程中選3門,且A,B兩門課程至少要選1門,則學生甲共有________種不同的選法. 解析:通解:根據(jù)題意,可分三類完成:(1)選A課程不選B課程,有C種不同的選法;(2)選B課程不選A課程,有C種不同的選法;(3)同時選A和B課程,有C種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,得C+C+C=6+6+4=16(種),故學生甲共有16種不同的選法. 優(yōu)解:從6門課程中選3門不同選法有C種,而A和B兩門課程都不選的選法有C種,則學生甲不同的選法共有C-C=20-4=16(種). 答案:16 6.(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預測)《中國詩詞大
12、會》(第三季)亮點頗多,在“人生自有詩意”的主題下,十場比賽每場都有一首特別設(shè)計的開場詩詞在聲光舞美的配合下,百人團齊聲朗誦,別有韻味.若《沁園春·長沙》《蜀道難》《敕勒歌》《游子吟》《關(guān)山月》《清平樂·六盤山》排在后六場,且《蜀道難》排在《游子吟》的前面,《沁園春·長沙》與《清平樂·六盤山》不相鄰且均不排在最后,則后六場的排法有________種.(用數(shù)字作答) 解析:分兩步完成:(1)《蜀道難》《敕勒歌》《游子吟》《關(guān)山月》進行全排有A種,若《蜀道難》排在《游子吟》的前面,則有A種;(2)《沁園春·長沙》與《清平樂·六盤山》插入已經(jīng)排列好的四首詩詞形成的前4個空位(不含最后一個空位)中,
13、插入法有A種.由分步乘法計數(shù)原理,知滿足條件的排法有AA=144(種). 答案:144 排列、組合應(yīng)用問題的8種常見解法 (1)特殊元素(特殊位置)優(yōu)先安排法. (2)相鄰問題捆綁法. (3)不相鄰問題插空法. (4)定序問題縮倍法. (5)多排問題一排法. (6)“小集團”問題先整體后局部法. (7)構(gòu)造模型法. (8)正難則反,等價轉(zhuǎn)化法. 二項式定理 [考法全練] 1.的展開式中x4的系數(shù)為( ) A.10 B.20 C.40 D.80 解析:選C.Tr+1=C(x2)5-r=C2rx10-3r,由10-3r=4,得r=
14、2,所以x4的系數(shù)為C×22=40. 2.(2019·四省八校雙教研聯(lián)考)二項式(1+x+x2)(1-x)10展開式中x4的系數(shù)為( ) A.120 B.135 C.140 D.100 解析:選B.(1-x)10的展開式的通項Tr+1=C(-x)r=(-1)rCxr,分別令r=4,r=3,r=2,可得展開式中x4的系數(shù)為(-1)4C+(-1)3C+(-1)2C=135,故選B. 3.(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為( ) A.10 B.20 C.30 D.60 解析:選C.(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5, 含y2的項為T3=C(x2+x)3·y2
15、. 其中(x2+x)3中含x5的項為Cx4·x=Cx5. 所以x5y2的系數(shù)為CC=30.故選C. 4.若(3x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,則a1+2a2+3a3+4a4+5a5=( ) A.80 B.120 C.180 D.240 解析:選D.由(3x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5兩邊求導,可得15(3x-1)4=a1+2a2x+3a3x2+…+5a5x4,令x=1得,15×(3-1)4=a1+2a2+3a3+…+5a5,即a1+2a2+3a3+4a4+5a5=240,故選D. 5.已知二項式的展開式中,第5項是常數(shù)項,則n=_______
16、_,二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是________. 解析:二項式展開式的通項為Tr+1=C(2x)n-r=2n-rCxn-r,因為第5項是常數(shù)項,所以n-×4=0,即n=6.當r=3時,二項式系數(shù)C最大,故二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是26-3C=160. 答案:6 160 6.(2019·廣州市調(diào)研測試)已知(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=________. 解析:因為(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,所以取x=1得(+2)4=(a0+a2+a4)+(a1+a3)①;取x=-1得(-2)4=(a
17、0+a2+a4)-(a1+a3)②.①②相乘得(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(+2)4×(-2)4=[()2-22]4=16. 答案:16 對于“多項式乘二項式”型的二項式問題,通用的解法是系數(shù)配對法,即將多項式中的每一項xk的系數(shù)與后面二項式展開式中xr-k的系數(shù)相乘,然后把所有這些滿足條件的情況相加,即得到xr項的系數(shù). [提醒] 關(guān)注2個常失分點:(1)混淆“項的系數(shù)”與“二項式系數(shù)”概念,項的系數(shù)與a,b有關(guān),可正可負,二項式系數(shù)只與n有關(guān),恒為正.(2)注意“常數(shù)項”“有理項”“系數(shù)最大的項”等概念. 一、選擇題 1.在某夏令營活動中,教官給6位“萌
18、娃”布置一項搜尋空投食物的任務(wù).已知:①食物投擲地點有遠、近兩處;②由于Grace年齡尚小,所以要么不參與該項任務(wù),但此時另需一位小孩在大本營陪同,要么參與搜尋近處投擲點的食物;③所有參與搜尋任務(wù)的小孩須被均分成兩組,一組去遠處,一組去近處.那么不同的搜尋方案有( ) A.10種 B.40種 C.70種 D.80種 解析:選B.若Grace不參與任務(wù),則需要從剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同,有C種挑法,再從剩下的4位小孩中挑出2位搜尋遠處,有C種挑法,最后剩下的2位小孩搜尋近處,因此一共有CC=30種搜尋方案;若Grace參加任務(wù),則其只能去近處,需要從剩下的5位小孩中挑
19、出2位搜尋近處,有C種挑法,剩下3位小孩去搜尋遠處,因此共有C=10種搜尋方案.綜上,一共有30+10=40種搜尋方案,故選B. 2.(2019·合肥市第一次質(zhì)量檢測)若的展開式的常數(shù)項為60,則a的值為( ) A.4 B.±4 C.2 D.±2 解析:選D.的展開式的通項為Tr+1=C·(ax)6-r·=(-1)r·a6-r·C·x6-r,令6-r=0,得r=4,則(-1)4·a2·C=60,解得a=±2,故選D. 3.(2019·重慶市七校聯(lián)合考試)(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為( ) A.15 B.20 C.30 D.35 解析:選C.由多項式乘法知,若求(1+x)
20、6展開式中x2的系數(shù),只需求(1+x)6展開式中x2和x4的系數(shù).(1+x)6展開式中含x2和x4的項分別是Cx2=15x2和Cx4=15x4,所以(1+x)6展開式中x2的系數(shù)是30.故選C. 4.若4個人按原來站的位置重新站成一排,恰有1個人站在自己原來的位置,則不同的站法共有( ) A.4種 B.8種 C.12種 D.24種 解析:選B.將4個人重排,恰有1個人站在自己原來的位置,有C種站法,剩下3人不站原來位置有2種站法,所以共有C×2=8種站法,故選B. 5.設(shè)(x2-3x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,則a1等于( ) A.80 B.-80 C
21、.-160 D.-240 解析:選D.因為(x2-3x+2)5=(x-1)5(x-2)5,所以二項展開式中含x項的系數(shù)為C×(-1)4×C×(-2)5+C×(-1)5×C×(-2)4=-160-80=-240,故選D. 6.(2019·廣州市綜合檢測(一))(2-x3)(x+a)5的展開式的各項系數(shù)和為32,則該展開式中x4的系數(shù)是( ) A.5 B.10 C.15 D.20 解析:選A.在(2-x3)(x+a)5中,令x=1,得展開式的各項系數(shù)和為(1+a)5=32,解得a=1,故(x+1)5的展開式的通項Tr+1=Cx5-r.當r=1時,得T2=Cx4=5x4,當r=4時,得T
22、5=Cx=5x,故(2-x3)(x+1)5的展開式中x4的系數(shù)為2×5-5=5,選A. 7.(2019·柳州模擬)從{1,2,3,…,10}中選取三個不同的數(shù),使得其中至少有兩個數(shù)相鄰,則不同的選法種數(shù)是( ) A.72 B.70 C.66 D.64 解析:選D.從{1,2,3,…,10}中選取三個不同的數(shù),恰好有兩個數(shù)相鄰,共有C·C+C·C=56種選法,三個數(shù)相鄰共有C=8種選法,故至少有兩個數(shù)相鄰共有56+8=64種選法,故選D. 8.(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)某校從甲、乙、丙等8名教師中選派4名同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1名教師),其中甲和乙不能都去,甲和丙都去或
23、都不去,則不同的選派方案有( ) A.900種 B.600種 C.300種 D.150種 解析:選B.第一類,甲去,則丙一定去,乙一定不去,再從剩余的5名教師中選2名,不同的選派方案有C×A=240(種);第二類,甲不去,則丙一定不去,乙可能去也可能不去,從乙和剩余的5名教師中選4名,不同的選派方案有C×A=360(種).所以不同的選派方案共有240+360=600(種).故選B. 9.已知(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,則(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2的值為( ) A.39 B.310 C.311 D.31
24、2 解析:選D.對(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9兩邊同時求導,得9(x+2)8=a1+2a2x+3a3x2+…+8a8x7+9a9x8,令x=1,得a1+2a2+3a3+…+8a8+9a9=310,令x=-1,得a1-2a2+3a3-…-8a8+9a9=32.所以(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2=(a1+2a2+3a3+…+8a8+9a9)(a1-2a2+3a3-…-8a8+9a9)=312,故選D. 10.(一題多解)某校畢業(yè)典禮上有6個節(jié)目,考慮整體效果,對節(jié)目演出順序有如下要求:節(jié)目甲必須排在前三位,且節(jié)目丙、丁必須
25、排在一起,則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有( ) A.120種 B.156種 C.188種 D.240種 解析:選A.法一:記演出順序為1~6號,對丙、丁的排序進行分類,丙、丁占1和2號,2和3號,3和4號,4和5號,5和6號,其排法分別為AA,AA,CAA,CAA,CAA,故總編排方案有AA+AA+CAA+CAA+CAA=120(種). 法二:記演出順序為1~6號,按甲的編排進行分類,①當甲在1號位置時,丙、丁相鄰的情況有4種,則有CAA=48(種);②當甲在2號位置時,丙、丁相鄰的情況有3種,共有CAA=36(種);③當甲在3號位置時,丙、丁相鄰的情況有3種,共有CAA=
26、36(種).所以編排方案共有48+36+36=120(種). 11.(多選)若二項式展開式中的常數(shù)項為15,則實數(shù)m的值可能為( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 解析:選AB.二項式展開式的通項Tr+1=Cx6-r=Cx6-rmr.令6-r=0,得r=4,常數(shù)項為Cm4=15,則m4=1,得m=±1.故選AB. 12.(多選)已知(3x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),設(shè)(3x-1)n的展開式的二項式系數(shù)之和為Sn,Tn=a1+a2+…+an(n∈N*),則( ) A.a(chǎn)0=1 B.Tn=2n-(-1)n C.n為奇數(shù)時,Sn<Tn;n為偶
27、數(shù)時,Sn>Tn D.Sn=Tn 解析:選BC.由題意知Sn=2n,令x=0,得a0=(-1)n,令x=1,得a0+a1+a2+…+an=2n,所以Tn=2n-(-1)n,故選BC. 13.(多選)(2019·山東日照期末)把四個不同的小球放入三個分別標有1號、2號、3號的盒子中,不允許有空盒子的放法有( ) A.CCCC種 B.CA種 C.CCA種 D.18種 解析:選BC.根據(jù)題意,四個不同的小球放入三個分別標有1號、2號、3號的盒子中,且沒有空盒,三個盒子中有1個盒子中放2個球,剩下的2個盒子中各放1個球,則分兩步進行分析:法一:①先將四個不同的小球分成3組,有C種分組方法
28、;②將分好的3組全排列,對應(yīng)放到3個盒子中,有A種放法.則不允許有空盒子的放法有CA=36種. 法二:①在4個小球中任選2個,在3個盒子中任選1個,將選出的2個小球放入選出的盒子中,有CC種情況;②將剩下的2個小球全排列,放入剩下的2個盒子中,有A種放法,則不允許有空盒的放法有CCA=36種,故選BC. 二、填空題 14.在的展開式中,x3的系數(shù)是________. 解析:的展開式的通項Tr+1=C(-4)5-r·,r=0,1,2,3,4,5,的展開式的通項Tk+1=Cxr-k=4kCxr-2k,k=0,1,…,r.令r-2k=3,當k=0時,r=3;當k=1時,r=5.所以x3的系數(shù)
29、為40×C×(-4)5-3×C+4×C×(-4)0×C=180. 答案:180 15.(2019·福州市質(zhì)量檢測)(1+ax)2(1-x)5的展開式中,所有x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為-64,則正實數(shù)a的值為________. 解析:設(shè)(1+ax)2(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7,令x=1得0=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7①, 令x=-1得(1-a)225=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7②, ②-①得:(1-a)225=-2(a1+a3+a5+a7),又a1+a3+a5+a7=-64,所以(1-a)
30、225=128,解得a=3或a=-1(舍). 答案:3 16.(2019·湖南郴州一模改編)若的展開式中各項系數(shù)之和為256,則n的值為________,展開式中的系數(shù)是________. 解析:令x=1,可得的展開式中各項系數(shù)之和為2n=256,所以n=8,所以=,它的展開式的通項公式Tr+1=C·(-1)r·38-r·x8-r. 令8-=-2,可得r=6,則展開式中的系數(shù)為C·32=252. 答案:8 252 17.(一題多解)現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張.從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張,不同取法的種數(shù)為_____
31、___. 解析:法一:從16張不同的卡片中任取3張,不同取法的種數(shù)為C,其中有2張紅色卡片的不同取法的種數(shù)為C×C,其中3張卡片顏色相同的不同取法的種數(shù)為C×C,所以3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張的不同取法的種數(shù)為C-C×C-C×C=472. 法二:若沒有紅色卡片,則需從黃、藍、綠三種顏色的卡片中選3張,若都不同色,則不同取法的種數(shù)為C×C×C=64,若2張顏色相同,則不同取法的種數(shù)為C×C×C×C=144.若紅色卡片有1張,則剩余2張不同色時,不同取法的種數(shù)為C×C×C×C=192,剩余2張同色時,不同取法的種數(shù)為C×C×C=72,所以不同的取法共有64+144+192+72=472(種). 答案:472 - 11 -
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