2、，過F1的最短弦PQ的長為10，△PF2Q的周長為36，則此橢圓的離心率為( )
A． B．
C． D．
解析：選C.
PQ為過F1垂直于x軸的弦，
則Q，△PF2Q的周長為36.
所以4a＝36，a＝9.
由已知＝5，即＝5.
又a＝9，解得c＝6，解得＝，即e＝.
4．(2019·杭州地區(qū)七校聯(lián)考)以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長軸長的最小值為( )
A．1 B．
C．2 D．2
解析：選D.設(shè)a，b，c分別為橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，依題意知，當(dāng)三角形的高為b時面積最大，所以×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2≥2＝2
3、(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝1時取等號)，故選D.
5．(2019·富陽二中高三調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC頂點A(－4，0)和C(4，0)，頂點B在橢圓＋＝1上，則＝( )
A． B．
C． D．
解析：選D.橢圓＋＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，
故A(－4，0)和C(4，0)是橢圓的兩個焦點，
所以|AB|＋|BC|＝2a＝10，|AC|＝8，由正弦定理得
＝＝＝.
6．若橢圓＋＝1(a＞b＞0)和圓x2＋y2＝(c為橢圓的半焦距)有四個不同的交點，則橢圓的離心率e的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
解析：選A.因為橢圓＋＝1(a＞b＞0)和圓x2
4、＋y2＝(c為橢圓的半焦距)的中心都在原點，
且它們有四個交點，
所以圓的半徑，
由＋c＞b，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，
在橢圓中，a2＝b2＋c2＜5c2，
所以e＝＞；
由＋c＜a，得b＋2c＜2a，
再平方，b2＋4c2＋4bc＜4a2，
所以3c2＋4bc＜3a2，
所以4bc＜3b2，所以4c＜3b，
所以16c2＜9b2，
所以16c2＜9a2－9c2，
所以9a2＞25c2，所以＜，
所以e＜.
綜上所述，＜e＜.
7．(2019·義烏模擬)若橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，短軸長為4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
解析：由題意
5、可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，
所以解得
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
答案：＋＝1
8．(2019·義烏模擬)已知圓(x－2)2＋y2＝1經(jīng)過橢圓＋＝1(a>b>0)的一個頂點和一個焦點，則此橢圓的離心率e＝________．
解析：圓(x－2)2＋y2＝1經(jīng)過橢圓＋＝1(a>b>0)的一個頂點和一個焦點，故橢圓的一個焦點為F(1，0)，一個頂點為A(3，0)，所以c＝1，a＝3，因此橢圓的離心率為.
答案：
9．(2019·瑞安四校聯(lián)考)橢圓＋＝1(a為定值，且a＞)的左焦點為F，直線x＝m與橢圓相交于點A，B.若△FAB的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是______
6、__．
解析：設(shè)橢圓的右焦點為F′，
如圖，由橢圓定義知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.
又△FAB的周長為|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，
當(dāng)且僅當(dāng)AB過右焦點F′時等號成立．
此時周長最大，即4a＝12，則a＝3.故橢圓方程為＋＝1，
所以c＝2，所以e＝＝.
答案：
10．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，點在橢圓上，且點(－1，0)到直線PF2的距離為，其中點P(－1，－4)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
解析：設(shè)F2的坐標(biāo)為(c，0)(c>0)，則kPF2＝，
7、故直線PF2的方程為y＝(x－c)，即x－y－＝0，點(－1，0)到直線PF2的距離d＝＝＝，即＝4，
解得c＝1或c＝－3(舍去)，所以a2－b2＝1.①
又點在橢圓E上， 所以＋＝1，②
由①②可得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
11．已知點P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點的距離分別為5，3，過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點．求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解：由于焦點的位置不確定，所以設(shè)所求的橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，
由已知條件得
解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.
故橢圓方程為＋＝1或＋＝1.
12．已知橢
8、圓＋＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B.
(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；
(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.
(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中c＝，設(shè)B(x，y)．由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，y＝－，即B.將B點坐標(biāo)代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2①.又由·＝(－c，－b)·＝，得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1②.由①②
9、解得c2＝1，a2＝3，從而有b2＝2.所以橢圓的方程為＋＝1.
[能力提升]
1．(2019·浙江百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右頂點和上頂點分別為A、B，左焦點為F.以原點O為圓心的圓與直線BF相切，且該圓與y軸的正半軸交于點C，過點C的直線交橢圓于M、N兩點．若四邊形FAMN是平行四邊形，則該橢圓的離心率為( )
A． B．
C． D．
解析：選A.因為圓O與直線BF相切，所以圓O的半徑為，即|OC|＝，因為四邊形FAMN是平行四邊形，所以點M的坐標(biāo)為，代入橢圓方程得＋＝1，所以5e2＋2e－3＝0，又0
10、Ⅰ)設(shè)A、B是橢圓C：＋＝1長軸的兩個端點．若C上存在點M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是( )
A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
解析：選A.依題意得，或
，所以
或，解得0
11、
利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(當(dāng)P，A，F(xiàn)1共線時等號成立)．
所以|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.
故|PA|＋|PF|的最大值為6＋，最小值為6－.
答案：6＋ 6－
4．(2019·富陽市場口中學(xué)高三期中)如圖，已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF2與圓x2＋y2＝b2相切于點Q，且點Q為線段PF2的中點，則橢圓C的離心率為________．
解析：連接OQ，F(xiàn)1P如圖所示，
由切線的性質(zhì)，得OQ⊥PF2，
又由點Q為線段PF2的中點，O為F1F2的中點，
所以O(shè)Q∥F1P
12、，
所以PF2⊥PF1，
故|PF2|＝2a－2b，
且|PF1|＝2b，|F1F2|＝2c，
則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
得4c2＝4b2＋4(a2－2ab＋b2)，
解得b＝a.
則c＝a，
故橢圓的離心率為.
答案：
5．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點(，1)，且離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)M，N是橢圓上的點，直線OM與ON(O為坐標(biāo)原點)的斜率之積為－.若動點P滿足＝＋2，求點P的軌跡方程．
解：(1)因為e＝，所以＝，
又橢圓C經(jīng)過點(，1)，所以＋＝1，
解得a2＝4，b2＝2，
所以橢圓C的方程為＋＝1.
13、
(2)設(shè)P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由＝＋2得x＝x1＋2x2，y＝y(tǒng)1＋2y2，
因為點M，N在橢圓＋＝1上，
所以x＋2y＝4，x＋2y＝4，
故x2＋2y2＝(x＋4x1x2＋4x)＋2(y＋4y1y2＋4y)＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．
設(shè)kOM，kON分別為直線OM與ON的斜率，由題意知，
kOM·kON＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0，
所以x2＋2y2＝20，
故點P的軌跡方程是＋＝1.
6．已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O，一個長軸端點為(0，2)，短軸端點和焦點所組成
14、的四邊形為正方形，直線l與y軸交于點P(0，m)，與橢圓C交于相異兩點A，B，且＝2.
(1)求橢圓的方程；
(2)求m的取值范圍．
解：(1)由題意知橢圓的焦點在y軸上，可設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，
由題意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，則b＝，
所以橢圓的方程為＋＝1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＝kx＋m，與橢圓方程聯(lián)立，
得
則(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0.
由根與系數(shù)的關(guān)系知，
又由＝2，即(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，
得－x1＝2x2，故
可得＝－2，
整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，
又9m2－4＝0時不符合題意，所以k2＝>0，
解得0，解不等式
（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第5講 橢圓練習(xí)（含解析）
