《(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學大一輪復習 第九章 平面解析幾何 第3講 圓的方程練習(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學大一輪復習 第九章 平面解析幾何 第3講 圓的方程練習(含解析)(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第3講 圓的方程
一、選擇題
1.已知點A(1,-1),B(-1,1),則以線段AB為直徑的圓的方程是( )
A.x2+y2=2 B.x2+y2=
C.x2+y2=1 D.x2+y2=4
解析 AB的中點坐標為(0,0),
|AB|==2,
∴圓的方程為x2+y2=2.
答案 A
2.(2017·漳州模擬)圓(x-1)2+(y-2)2=1關(guān)于直線y=x對稱的圓的方程為( )
A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y-2)2=1
C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+(y+2)2=1
解析 已知圓的圓心C(1,2)關(guān)
2、于直線y=x對稱的點為C′(2,1),∴圓(x-1)2+(y-2)2=1關(guān)于直線y=x對稱的圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=1,故選A.
答案 A
3.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,-2)∪ B.
C.(-2,0) D.
解析 方程為+(y+a)2=1-a-表示圓,則1-a->0,解得-2<a<.
答案 D
4.(2017·淄博調(diào)研)點P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點連線的中點的軌跡方程是( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4
3、)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1
解析 設圓上任一點為Q(x0,y0),PQ的中點為M(x,y),則解得因為點Q在圓x2+y2=4上,所以x+y=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化簡得(x-2)2+(y+1)2=1.
答案 A
5.(2015·全國Ⅱ卷)已知三點A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為( )
A. B. C. D.
解析 由點B(0,),C(2,),得線段BC的垂直平分線方程為x=1,①
由點A(1,0),B(0,),得線段AB的垂直平分線方程為
y-=,②
聯(lián)立①②,解得△
4、ABC外接圓的圓心坐標為,
其到原點的距離為 =.故選B.
答案 B
二、填空題
6.若圓C經(jīng)過坐標原點和點(4,0),且與直線y=1相切,則圓C的方程是________.
解析 設圓心C坐標為(2,b)(b<0),則|b|+1=.解得b=-,半徑r=|b|+1=,故圓C的方程為:(x-2)2+=.
答案 (x-2)2+=
7.(2017·廣州模擬)已知圓C:x2+y2+kx+2y=-k2,當圓C的面積取最大值時,圓心C的坐標為________.
解析 圓C的方程可化為+(y+1)2=-k2+1.所以,當k=0時圓C的面積最大.
答案 (0,-1)
8.已知點M(1,0)是
5、圓C:x2+y2-4x-2y=0內(nèi)的一點,那么過點M的最短弦所在直線的方程是________.
解析 過點M的最短弦與CM垂直,圓C:x2+y2-4x-2y=0的圓心為C(2,1),∵kCM==1,
∴最短弦所在直線的方程為y-0=-(x-1),即x+y-1=0.
答案 x+y-1=0
三、解答題
9.已知三條直線l1:x-2y=0,l2:y+1=0,l3:2x+y-1=0兩兩相交,先畫出圖形,再求過這三個交點的圓的方程.
解 l2平行于x軸,l1與l3互相垂直.三交點A,B,C連線構(gòu)成直角三角形,經(jīng)過A,B,C三點的圓就是以AB為直徑的圓.
解方程組得所以點A的坐標是(-2,-
6、1).
解方程組得
所以點B的坐標是(1,-1).
線段AB的中點坐標是,
又|AB|==3.
故所求圓的標準方程是+(y+1)2=.
10.在△ABC中,已知|BC|=2,且=m,求點A的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形.
解 如圖,以直線BC為x軸、線段BC的中點為原點,建立直角坐標系.
則有B(-1,0),C(1,0),設點A的坐標為(x,y).
由=m,得=m.整理得(m2-1)x2+(m2-1)y2-2(m2+1)x+(m2-1)=0.①
當m2=1時,m=1,方程是x=0,軌跡是y軸.
當m2≠1時,對①式配方,得+y2=.
所以,點A的軌跡是以為圓心,為半徑
7、的圓(除去圓與BC的交點).
11.若直線ax+2by-2=0(a>0,b>0)始終平分圓x2+y2-4x-2y-8=0的周長,則+的最小值為( )
A.1 B.5
C.4 D.3+2
解析 由題意知圓心C(2,1)在直線ax+2by-2=0上,
∴2a+2b-2=0,整理得a+b=1,
∴+=(+)(a+b)=3++
≥3+2 =3+2,
當且僅當=,即b=2-,a=-1時,等號成立.
∴+的最小值為3+2.
答案 D
12.已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其內(nèi)部所覆蓋,則圓C的方程為________.
解析 由題意知
8、,此平面區(qū)域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部,所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓.
∵△OPQ為直角三角形,
∴圓心為斜邊PQ的中點(2,1),半徑r==,
因此圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.
答案 (x-2)2+(y-1)2=5
13.已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1,設點P是圓C上的動點.記d=|PB|2+|PA|2,其中A(0,1),B(0,-1),則d的最大值為________.
解析 設P(x0,y0),d=|PB|2+|PA|2=x+(y0+1)2+x+(y0-1)2=2(x+y)+2.x+y為圓上任一點到
9、原點距離的平方,∴(x+y)max=(5+1)2=36,∴dmax=74.
答案 74
14.(2016·江蘇卷)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2,4).
(1)設圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標準方程;
(2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點,且|BC|=|OA|,求直線l的方程;
(3)設點T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點P和Q,使得+=,求實數(shù)t的取值范圍.
解 (1)圓M的方程化為標準形式為(x-6)2+(y-7)2=25,圓心M(6,7),半徑r=5,
由
10、題意,設圓N的方程為(x-6)2+(y-b)2=b2(b>0),
且=b+5.
解得b=1,∴圓N的標準方程為(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)∵kOA=2,∴可設直線l的方程為y=2x+m,即2x-y+m=0.又|BC|=|OA|==2,
由題意,圓M的圓心M(6,7)到直線l的距離為d===2,
即=2,解得m=5或m=-15.
∴直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)由+=,則四邊形AQPT為平行四邊形,
又∵P,Q為圓M上的兩點,∴|PQ|≤2r=10.
∴|TA|=|PQ|≤10,即≤10,
解得2-2≤t≤2+2.
故所求t的范圍為[2-2,2+2].
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