《(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第3講 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例練習(xí)(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第3講 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例練習(xí)(含解析)(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第3講 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例
一、選擇題
1.兩個變量y與x的回歸模型中,分別選擇了4個不同模型,它們的相關(guān)指數(shù)R2如下,其中擬合效果最好的模型是( )
A.模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98
B.模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80
C.模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50
D.模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.25
解析 相關(guān)指數(shù)R2越大,擬合效果越好,因此模型1擬合效果最好.
答案 A
2.已知變量x與y正相關(guān),且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)=3,=3.5,則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是( )
A.=0.4x+2.3 B.=2x-2.4
C.=-2x+9.5 D.
2、=-0.3x+4.4
解析 因為變量x和y正相關(guān),則回歸直線的斜率為正,故可以排除選項C和D.因為樣本點的中心在回歸直線上,把點(3,3.5)的坐標(biāo)代入檢驗,A滿足.
答案 A
3.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是( )
A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系
B.回歸直線過樣本點的中心(x,y)
C.若該大學(xué)某女生身高增加1 cm,則其體重約增加0.85 kg
D.若該大學(xué)某女生身高為170 cm,則可斷定其體重必
3、為58.79 kg
解析 ∵0.85>0,∴y與x正相關(guān),∴A正確;
∵回歸直線經(jīng)過樣本點的中心(,),∴B正確;
∵Δy=0.85(x+1)-85.71-(0.85x-85.71)=0.85,
∴C正確.
答案 D
4.通過隨機詢問110名性別不同的學(xué)生是否愛好某項運動,得到如下的列聯(lián)表:
男
女
總計
愛好
40
20
60
不愛好
20
30
50
總計
60
50
110
由K2=算得,
K2=≈7.8.
附表:
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
參照附
4、表,得到的正確結(jié)論是( )
A.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
B.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
C.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
D.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
解析 根據(jù)獨立性檢驗的定義,由K2≈7.8>6.635,可知我們在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,即有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”.
答案 A
5.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系,隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表:
收入x(萬元)
8.2
8.6
5、
10.0
11.3
11.9
支出y(萬元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根據(jù)上表可得回歸直線方程=x+,其中=0.76,=-,據(jù)此估計,該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為( )
A.11.4萬元 B.11.8萬元
C.12.0萬元 D.12.2萬元
解析 由題意知,==10,
==8,
∴=8-0.76×10=0.4,
∴當(dāng)x=15時,=0.76×15+0.4=11.8(萬元).
答案 B
二、填空題
6.若8名學(xué)生的身高和體重數(shù)據(jù)如下表:
編號
1
2
3
4
5
6
7
8
身高/cm
165
6、
165
157
170
175
165
155
170
體重/kg
48
57
54
64
61
43
59
第3名學(xué)生的體重漏填,但線性回歸方程是=0.849x-85.712,則第3名學(xué)生的體重估計為________.
解析 設(shè)第3名學(xué)生的體重為a,則
(48+57+a+54+64+61+43+59)=0.849×(165+165+157+170+175+165+155+170)-85.712.解之得a≈50.
答案 50
7.(2017·廣州模擬)為了判斷高中三年級學(xué)生選修文理科是否與性別有關(guān),現(xiàn)隨機抽取50名學(xué)生,得到2×2列聯(lián)表如下:
7、理科
文科
總計
男
13
10
23
女
7
20
27
總計
20
30
50
已知P(K2≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025.
根據(jù)表中數(shù)據(jù),得到K2=≈4.844,則認為選修文理科與性別有關(guān)系出錯的可能性約為________.
解析 由K2=4.844>3.841.故認為選修文理科與性別有關(guān)系出錯的可能性約為5%.
答案 5%
8.某單位為了了解用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系,隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫,并制作了對照表:
氣溫(℃)
18
13
10
-1
用電量(度)
24
34
38
8、
64
由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程=x+中的=-2,預(yù)測當(dāng)氣溫為-4 ℃時,用電量約為________度.
解析 根據(jù)題意知x==10,y==40,因為回歸直線過樣本點的中心,所以=40-(-2)×10=60,所以當(dāng)x=-4時,y=(-2)×(-4)+60=68,所以用電量約為68度.
答案 68
三、解答題
9.(2017·鄭州調(diào)研)某地區(qū)2009年至2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
年份
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
年份代號t
1
2
3
4
5
6
7
人均純收入y
2.
9、9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2009年至2015年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測該地區(qū)2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
=,=-.
解 (1)由所給數(shù)據(jù)計算得=(1+2+3+4+5+6+7)=4,
=×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
(ti-)2=9+4+1+0+1+4+9=28,
(ti-)(yi-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+
(-1)×(-
10、0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
===0.5,
=-=4.3-0.5×4=2.3,所求回歸方程為=0.5t+2.3.
(2)由(1)知,=0.5>0,故2009至2015年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加,平均每年約增加0.5千元.
將2017年的年份代號t=9代入(1)中的回歸方程,得=0.5×9+2.3=6.8,故預(yù)測該地區(qū)2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元.
10.(2017·西安質(zhì)檢)某省會城市地鐵將于2017年6月開始運營,為此召開了一個價格聽證會,擬定價格后又進行了一次調(diào)查,隨機抽查了50人,他們的收入與態(tài)度如下:
月收入
11、(單位:百元)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
贊成定價
者人數(shù)
1
2
3
5
3
4
認為價格偏
高者人數(shù)
4
8
12
5
2
1
(1)若以區(qū)間的中點值為該區(qū)間內(nèi)的人均月收入,求參與調(diào)查的人員中“贊成定價者”與“認為價格偏高者”的月平均收入的差距是多少(結(jié)果保留2位小數(shù));
(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表分析是否有99%的把握認為“月收入以55百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異”.
月收入不低于
55百元的人數(shù)
月收入低于
55百元的人數(shù)
總計
認為價
12、格偏高者
贊成定價者
總計
附:K2=
P(K2≥k0)
0.05
0.01
k0
3.841
6.635
解 (1)“贊成定價者”的月平均收入為
x1=≈50.56.
“認為價格偏高者”的月平均收入為
x2==38.75,
∴“贊成定價者”與“認為價格偏高者”的月平均收入的差距是x1-x2=50.56-38.75=11.81(百元).
(2)根據(jù)條件可得2×2列聯(lián)表如下:
月收入不低于
55百元的人數(shù)
月收入低于
55百元的人數(shù)
總計
認為價格偏高者
3
29
32
贊成定價者
7
11
18
13、總計
10
40
50
K2=≈6.27<6.635,
∴沒有99%的把握認為“月收入以55百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異”.
11.某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家的市場部在對4家商場進行調(diào)研時,獲得該產(chǎn)品售價x(單位:元)和銷售量y(單位:件)之間的四組數(shù)據(jù)如下表:
售價x
4
4.5
5.5
6
銷售量y
12
11
10
9
為決策產(chǎn)品的市場指導(dǎo)價,用最小二乘法求得銷售量y與售價x之間的線性回歸方程為=-1.4x+,那么方程中的值為( )
A.17 B.17.5 C.18 D.18.5
解析?。剑?,
==10.5,
∵回歸直線過樣本點的中心
14、,
∴=10.5+1.4×5=17.5.
答案 B
12.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
-0.5
0.5
-2.0
-3.0
得到的回歸方程為=x+,則( )
A.>0,>0 B.>0,<0
C.<0,>0 D.<0,<0
解析 作出散點圖如下:
觀察圖象可知,回歸直線=x+的斜率<0,當(dāng)x=0時,=>0.故>0,<0.
答案 B
13.(2017·贛中南五校聯(lián)考)心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間想象能力與性別有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗證這個結(jié)論,從所在學(xué)校中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30
15、,女20),給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題,讓各位同學(xué)自由選擇一道題進行解答.選題情況如下表:(單位:人)
幾何題
代數(shù)題
總計
男同學(xué)
22
8
30
女同學(xué)
8
12
20
總計
30
20
50
根據(jù)上述數(shù)據(jù),推斷視覺和空間想象能力與性別有關(guān)系,則這種推斷犯錯誤的概率不超過________.
附表:
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解析 由列聯(lián)表計算K2的觀測值
16、
k0=≈5.556>5.024.
∴推斷犯錯誤的概率不超過0.025.
答案 0.025
14.(2015·全國Ⅰ卷)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響,對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.
表中wi=,w=wi.
(1)根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型(給出判斷即可,不必說明理由)?
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的
17、回歸方程;
(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:
①年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少?
②年宣傳費x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大?
附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為:
=,α^=-
解 (1)由散點圖可以判斷,y=c+d適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型.
(2)令w=,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程,由于
===68,
=y(tǒng)-=563-68×6.8=100.6,
所以y關(guān)于w的線性回歸方程為=100.6+68w,因此y關(guān)于x的回歸方程為=100.6+68.
(3)①由(2)知,當(dāng)x=49時,年銷售量y的預(yù)報值
=100.6+68=576.6,
年利潤z的預(yù)報值=576.6×0.2-49=66.32.
②根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤z的預(yù)報值
=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.
所以當(dāng)==6.8,即x=46.24時,取得最大值.
故年宣傳費為46.24千元時,年利潤的預(yù)報值最大.
9