3、X)等于( )
A．5 B．8
C．10 D．16
解析：選B.因?yàn)镋(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
所以D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.
5．設(shè)擲1枚骰子的點(diǎn)數(shù)為ξ，則( )
A．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.52
B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝
C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5
D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝
解析：選B.隨機(jī)變量ξ的分布列為
ξ
1
2
3
4
5
6
P
從而E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5，
D(ξ)＝(1－3.5)2×＋(2
4、－3.5)2×＋(3－3.5)2×＋(4－3.5)2×＋(5－3.5)2×＋(6－3.5)2×＝.
6．如圖，將一個(gè)各面都凃了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝( )
A. B.
C. D.
解析：選B.依題意得X的取值可能為0，1，2，3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
7．(2020·嘉興市一中高考適應(yīng)性考試)隨機(jī)變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)＝( )
X
0
2
5、a
P
p
A.2 B．3
C．4 D．5
解析：選C.由題意可得，＋p＋＝1，解得p＝，因?yàn)镋(X)＝2，所以0×＋2×＋a×＝2，解得a＝3.D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1.D(2X－3)＝4D(X)＝4.故選C.
8．(2020·嘉興質(zhì)檢)簽盒中有編號為1，2，3，4，5，6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個(gè)，則X的數(shù)學(xué)期望為( )
A．5 B．5.25
C．5.8 D．4.6
解析：選B.由題意可知，X可以取3，4，5，6，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P
6、(X＝6)＝＝.
由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25.
9．罐中有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)X為取得紅球的次數(shù)，則X的方差D(X)的值為( )
A. B.
C. D.
解析：選B.因?yàn)槭怯蟹呕氐孛?，所以每次摸?試驗(yàn))摸得紅球(成功)的概率均為，連續(xù)摸4次(做4次試驗(yàn))，X為取得紅球(成功)的次數(shù)，則X～B，所以D(X)＝4××＝.
10．已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球，乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)藍(lán)球(m≥3，n≥3)，從乙盒中隨機(jī)抽取i(i＝1，2)個(gè)球放入甲盒中．
(1)放入i個(gè)球后，甲盒中含有紅球
7、的個(gè)數(shù)記為ξi(i＝1，2)；
(2)放入i個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為pi(i＝1，2)，則( )
A．p1>p2，E(ξ1)E(ξ2)
C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D．p10，所以p1>p2.
11．某射擊運(yùn)動(dòng)員
8、在一次射擊比賽中所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：
ξ
3
4
5
6
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的均值E(ξ)＝4.3，則y的值為____________．
解析：由題意知，x＋0.1＋0.3＋y＝1，又E(ξ)＝3x＋4×0.1＋5×0.3＋6y＝4.3，兩式聯(lián)立解得y＝0.2.
答案：0.2
12．已知X的分布列為
X
－1
0
1
P
且Y＝aX＋3，E(Y)＝，則a的值為__________．
解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝，所以a＝2.
答案：2
13．設(shè)口袋中有黑
9、球、白球共9個(gè)．從中任取2個(gè)球，若取到白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，則口袋中白球的個(gè)數(shù)為________．
解析：設(shè)白球有m個(gè)，則取得白球的數(shù)學(xué)期望是×0＋×1＋×2＝，即＋×2＝，
解得m＝3.
答案：3
14．隨機(jī)變量ξ的分布列如下表：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差數(shù)列．若E(ξ)＝，則D(ξ)的值是________．
解析：由題意可得
解得
所以D(ξ)＝×＋×＋×＝.
答案：
15．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為
ξ
－1
0
1
P
那么ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________，設(shè)η＝2ξ＋1，則η的數(shù)學(xué)期望E(η
10、)＝________．
解析：由離散型隨機(jī)變量的期望公式及性質(zhì)可得，
E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－，
E(η)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×＋1＝.
答案：－
16．(2020·浙江新高考沖刺卷)某中學(xué)的十佳校園歌手有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)，其中3名來自1班，其余7名來自其他互不相同的7個(gè)班，現(xiàn)從10名同學(xué)中隨機(jī)選擇3名參加文藝晚會(huì)，則選出的3名同學(xué)來自不同班級的概率為________，設(shè)X為選出3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，則該變量X的數(shù)學(xué)期望為________．
解析：設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同班級”為事件A，則P(A)＝＝.
隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，
11、2，3，P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)．
所以隨機(jī)變量X的分布列為
X
0
1
2
3
P
隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0＋1×＋2×＋3×＝.
答案：
17．從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同取法有________種，記取出的4只鞋子中成雙的鞋子對數(shù)為X，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________．
解析：①從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同取法有CCCC＝48.
②X＝0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
X的分布列為
X
0
1
2
P
E(X)＝0
12、＋1×＋2×＝.
答案：48
[綜合題組練]
1．袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號的有10個(gè)，記上n號的有n個(gè)(n＝1，2，3，4)，現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號．
(1)求X的分布列、期望和方差；
(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值．
解：(1)X的取值為0，1，2，3，4，其分布列為
X
0
1
2
3
4
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，
D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)
13、由D(Y)＝a2D(X)得2.75a2＝11，得a＝±2，
又E(Y)＝aE(X)＋b，
所以當(dāng)a＝2時(shí)，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
當(dāng)a＝－2時(shí)，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，
所以或
2．設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分．
(1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列；
(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.
解：(1)
14、由題意得ξ＝2，3，4，5，6.
故P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.
所以ξ的分布列為
ξ
2
3
4
5
6
P
(2)由題意知η的分布列為
η
1
2
3
P
所以Eη＝＋＋＝，
Dη＝(1－)2·＋(2－)2·＋(3－)2·＝，
化簡得
解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.
3．C1：y＝ax＋b，a，b∈{1，2，3，4，5}，C2：x2＋y2＝2.
(1)求C1，C2有交點(diǎn)的概率P(A)；
(2)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望E(ξ
15、)．
解：(1)設(shè)圓心(0，0)到直線ax－y＋b＝0的距離為d，若C1，C2有交點(diǎn)，則d＝≤?b2≤2(a2＋1)．
當(dāng)b＝1時(shí)，a＝1，2，3，4，5；當(dāng)b＝2時(shí)，a＝1，2，3，4，5；當(dāng)b＝3時(shí)，a＝2，3，4，5；當(dāng)b＝4時(shí)，a＝3，4，5；當(dāng)b＝5時(shí)，a＝4，5.共5＋5＋4＋3＋2＝19種情況，
所以P(A)＝＝.
(2)當(dāng)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0時(shí)，直線與圓相離，有6種情況；
當(dāng)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1時(shí)，直線與圓相切，b2＝2(a2＋1)，只有a＝1，b＝2這1種情況；
當(dāng)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2時(shí)，由(1)知直線與圓相交，有18種情況．
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
4．(2020·溫州
16、八校聯(lián)考)某公司準(zhǔn)備將1 000萬元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)建設(shè)項(xiàng)目供選擇．若投資甲項(xiàng)目一年后可獲得的利潤ξ1(萬元)的概率分布列如下表所示：
ξ1
110
120
170
P
m
0.4
n
且ξ1的期望E(ξ1)＝120；若投資乙項(xiàng)目一年后可獲得的利潤ξ2(萬元)與該項(xiàng)目建設(shè)材料的成本有關(guān)，在生產(chǎn)的過程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否在第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價(jià)格調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨(dú)立且調(diào)整的概率分別為p(0＜p＜1)和1－p .若乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X(次)與ξ2的關(guān)系如下表所示：
X
0
1
2
ξ2
41.2
117.6
20
17、4
(1)求m，n的值；
(2)求ξ2的分布列；
(3)若E(ξ1)＜E(ξ2)，則選擇投資乙項(xiàng)目，求此時(shí)p的取值范圍．
解：(1)由題意得
解得m＝0.5，n＝0.1.
(2)ξ2的可能取值為41.2，117.6，204，
P(ξ2＝41.2)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)，
P(ξ2＝117.6)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2，P(ξ2＝204)＝p(1－p)，
所以ξ2的分布列為
ξ2
41.2
117.6
204
P
p(1－p)
p2＋(1－p)2
p(1－p)
(3)由(2)可得：
E(ξ2)＝41.2p(1－p)＋117.6[p2＋(1－p)2]＋204p(1－p)＝－10p2＋10p＋117.6，
由E(ξ1)＜E(ξ2)，
得120＜－10p2＋10p＋117.6，
解得0.4＜p＜0.6，
即當(dāng)選擇投資乙項(xiàng)目時(shí)，p的取值范圍是(0.4，0.6)．
10
（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理與古典概率 8 第8講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差高效演練分層突破
