《九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 人教新課標(biāo)版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 人教新課標(biāo)版（9頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn) 一、二次函數(shù)概念： 1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)． 2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： ⑴ 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2． ⑵ 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)． 二、二次函數(shù)的基本形式 1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)： a 的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。 的符號(hào) 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) 向上 軸 時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．

2、 向下 軸 時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值． 2. 的性質(zhì)： 上加下減。 的符號(hào) 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) 向上 軸 時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值． 向下 軸 時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值． 3. 的性質(zhì)： 左加右減。 的符號(hào) 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) 向上 X=h 時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值． 向下 X=h 時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增

3、大而增大；時(shí)，有最大值． 4. 的性質(zhì)： 的符號(hào) 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) 向上 X=h 時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值． 向下 X=h 時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值． 三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟： 方法一：⑴ 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； ⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”． 概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”． 方法二

4、： ⑴沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，變成 （或） ⑵沿軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成（或） 四、二次函數(shù)與的比較 從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中． 五、二次函數(shù)圖象的畫法 五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）. 畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn). 六、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當(dāng)時(shí)

5、，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為． 當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，有最小值． 2. 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。划?dāng)時(shí)，有最大值． 七、二次函數(shù)解析式的表示方法 1. 一般式：（，，為常數(shù)，）； 2. 頂點(diǎn)式：（，，為常數(shù)，）； 3. 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）. 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化. 八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)

6、系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項(xiàng)系數(shù) 二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然． ⑴ 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； ⑵ 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大． 總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大?。? 2. 一次項(xiàng)系數(shù) 在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對(duì)稱軸． ⑴ 在的前提下， 當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸在軸左側(cè)； 當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸； 當(dāng)時(shí)，，即拋物線對(duì)稱軸在軸的右側(cè)． ⑵ 在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即 當(dāng)時(shí)，，

7、即拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)； 當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸； 當(dāng)時(shí)，，即拋物線對(duì)稱軸在軸的左側(cè)． 總結(jié)起來，在確定的前提下，決定了拋物線對(duì)稱軸的位置． 的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異” 總結(jié)： 3. 常數(shù)項(xiàng) ⑴ 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； ⑵ 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； ⑶ 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)． 總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置． 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確

8、定的． 二次函數(shù)解析式的確定： 根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況： 1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式； 2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式； 3. 已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式； 4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式． 九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) 1. 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸

9、對(duì)稱后，得到的解析式是； 2. 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 4. 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°） 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是． 5. 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是 根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選

10、擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式． 十、二次函數(shù)與一元二次方程： 1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況）： 一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊情況. 圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： ① 當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點(diǎn)間的距離. ② 當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)； ③ 當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒有交點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有； 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有． 2. 拋物線

11、的圖象與軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： ⑴ 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； ⑵ 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； ⑶ 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，，的符號(hào)，或由二次函數(shù)中，，的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； ⑷ 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo). 拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn) 二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù) 一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根 拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn) 二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)

12、一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 拋物線與軸無交點(diǎn) 二次三項(xiàng)式的值恒為正 一元二次方程無實(shí)數(shù)根. ⑸ 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系： 圖像參考： 十一、函數(shù)的應(yīng)用 二次函數(shù)應(yīng)用 二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見題型 1． 考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如： 已知以為自變量的二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)， 則的值是 2． 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)

13、的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如： 如圖，如果函數(shù)的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)的圖像大致是（ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3

14、． 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如： 已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為，求這條拋物線的解析式。 4． 考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如： 已知拋物線（a≠0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－1、3，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是－ （1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo). 5．考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項(xiàng)壓軸題。 【例題經(jīng)典】 由拋物線的位置確定系數(shù)的符號(hào) 例1 （1）二次函數(shù)的圖像如圖1，則點(diǎn)在（

15、 ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結(jié)論：①a、b同號(hào)；②當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=-2時(shí)，x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是（ ） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) (1) (2) 【點(diǎn)評(píng)】弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵． 例2.已知二次

16、函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2，O)、(x1，0)，且1O；③4a+cO，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( ) A 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D．4個(gè) 答案：D 會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 例3.已知：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個(gè)根為x=-2，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2) 答案：C

17、例4、（2006年煙臺(tái)市）如圖（單位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動(dòng)，直到AB與CD重合．設(shè)x秒時(shí)，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2． （1）寫出y與x的關(guān)系式； （2）當(dāng)x=2，3.5時(shí)，y分別是多少？ （3）當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí)， 三角形移動(dòng)了多長時(shí)間？求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、 對(duì)稱軸. 例5、已知拋物線y=x2+x-． （1）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸． （2）若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，求線段AB的長． 【點(diǎn)評(píng)】本題（1）是對(duì)二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系． 例6.已

18、知：二次函數(shù)y=ax2-(b+1)x-3a的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(4，10)，交x軸于，兩點(diǎn)，交y軸負(fù)半軸于C點(diǎn)，且滿足3AO=OB． (1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)M，使銳角∠MCO>∠ACO?若存在，請(qǐng)你求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)你說明理由． (1)解：如圖∵拋物線交x軸于點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，O)， 則x1·x2=3<0，又∵x1O，x1

19、O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 ∴．二次函數(shù)的解析式為y-2x2-4x-6． (2)存在點(diǎn)M使∠MC0<∠ACO． (2)解：點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A’(1，O)， ∴直線A，C解析式為y=6x-6直線A'C與拋物線交點(diǎn)為(0，-6)，(5，24)． ∴符合題意的x的范圍為-1∠ACO． 例7、 “已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c，－2）， 求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=3?！鳖}目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字。 （1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，

20、你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請(qǐng)寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請(qǐng)說明理由。 （2）請(qǐng)你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。 點(diǎn)評(píng)： 對(duì)于第（1）小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=3”當(dāng)作已知來用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c，－2）”，就可以列出兩個(gè)方程了，而解析式中只有兩個(gè)未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對(duì)于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個(gè)

21、任意點(diǎn)的坐標(biāo)，可以給出頂點(diǎn)的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)等。 [解答] （1）根據(jù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c，－2），圖象的對(duì)稱軸是x=3，得 解得 所以所求二次函數(shù)解析式為圖象如圖所示。 （2）在解析式中令y=0，得，解得 所以可以填“拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3+”或“拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是 令x=3代入解析式，得 所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 所以也可以填拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為等等。 函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實(shí)背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系。

22、 用二次函數(shù)解決最值問題 例1已知邊長為4的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1．試在AB上求一點(diǎn)P，使矩形PNDM有最大面積． 【評(píng)析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力．同時(shí)，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間． 例2 某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表： x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … 若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)． （1）求出日銷售量y（件

23、）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式； （2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤是多少元？ 【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b．則 解得k=-1，b=40，即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+40． （2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤為w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225． 產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為25元，此時(shí)每日獲得最大銷售利潤為225元． 【點(diǎn)評(píng)】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：（1）設(shè)未知數(shù)在“

24、當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（或最小、最?。钡脑O(shè)問中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 例3.你知道嗎?平時(shí)我們?cè)谔罄K時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線．如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4 m，距地面均為1m，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2．5 m處．繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過他們的頭頂．已知學(xué)生丙的身高是1．5 m，則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示) ( ) A．1．5 m B．1．625 m　　　　　　 C．1．66 m D．1．67 m 分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用 答案：B