《2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 瘋狂專練20 新定義類創(chuàng)新題(文)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 瘋狂專練20 新定義類創(chuàng)新題(文)(11頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、瘋狂專練20 新定義類創(chuàng)新題
一、選擇題
1.若,則,就稱是伙伴關(guān)系集合,集合的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)是()
A.1 B.3 C.7 D.31
2.如圖所示的Venn圖中,是非空集合,定義集合為陰影部分表示的集合.若,,,則為()
A. B.
C.或 D.或
3.對(duì)于復(fù)數(shù),若集合具有性質(zhì)“對(duì)任意,必有”,則當(dāng)時(shí),()
A. B. C. D.
4.定義一種新運(yùn)算:,已知函數(shù),若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()
A. B. C. D.
5.設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,對(duì)于給定的正數(shù),定義函數(shù),
取函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()
A.
2、B. C. D.
6.約定與是兩個(gè)運(yùn)算符號(hào),其運(yùn)算法則如下:對(duì)任意實(shí)數(shù),,有:,,設(shè),,用列舉法表示集合為()
A. B. C. D.
7.設(shè)為復(fù)數(shù)集的非空子集.若對(duì)任意,,都有,,,則稱為封閉集.
下列命題:
①集合為整數(shù),為虛數(shù)單位為封閉集;
②若為封閉集,則一定有;
③封閉集一定是無限集;
④若為封閉集,則滿足的任意集合也是封閉集.
上面命題中真命題共有哪些?()
A.① B.①② C.①②③ D.①②④
8.定義:對(duì)于一個(gè)定義域?yàn)榈暮?,若存在兩條距離為的直線和,使得時(shí),恒有,則稱在內(nèi)有一個(gè)寬度為的通道.下列函數(shù):
①;②;③;④.
其中有一個(gè)寬度為的通道的函數(shù)
3、的序號(hào)為()
A.①② B.②③ C.②④ D.②③④
9.由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到世紀(jì).直到年,德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā),用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)(史稱戴德金分割),并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上,才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代,也結(jié)束了持續(xù)多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).所謂戴德金分割,是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與.且滿足,,中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素,則稱為戴德金分割.試判斷,對(duì)于任一戴德金分割,下列選項(xiàng)中,不可能成立的是()
A.沒有最大元素,有一個(gè)最小元素 B.沒有最大元素,也沒有最小元素
C.有一個(gè)最大元素,有一個(gè)最小元素 D.
4、有一個(gè)最大元素,沒有最小元素
10.如果定義在上的函數(shù)滿足:對(duì)于任意,都有,
則稱為“函數(shù)”.給出下列函數(shù):①;②;③;
④,其中“函數(shù)”的個(gè)數(shù)是()
A. B. C. D.
11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,如果,存在唯一的,使(為常?shù))成立.
則稱函數(shù)在上的“均值”為.已知四個(gè)函數(shù):
①;②;③;④上述四個(gè)函數(shù)中,滿足所在定義域上“均值”為的函數(shù)的序號(hào)是()
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
12.定義:如果函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,在區(qū)間上存在使得,,則稱為區(qū)間上的“雙中值函數(shù)”.已知函數(shù)是上的“雙中值函數(shù)”,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()
A. B. C. D.
二、填空題
5、
13.對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù),定義某種運(yùn)算“※”如下:當(dāng)都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時(shí),※;當(dāng)中一個(gè)為正偶數(shù),另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí),※.則在此定義下,集合※中的元素個(gè)數(shù)為.
14.若數(shù)列滿足,,為非零數(shù)列,則稱數(shù)列為“放飛”數(shù)列.已知正項(xiàng)數(shù)列為“放飛”數(shù)列,且,則的最小值是.
15.如果對(duì)定義在上的函數(shù),對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù),,
都有,則稱函數(shù)為“函數(shù)”.
給出下列函數(shù)①;②;③;④.
以上函數(shù)是“函數(shù)”的所有序號(hào)為.
16.在平面直角坐標(biāo)系中,當(dāng)不是原點(diǎn)時(shí),定義的“伴隨點(diǎn)”為;當(dāng)是原點(diǎn)時(shí),定義的“伴隨點(diǎn)”為它自身,平面曲線上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線定義為曲線的“伴隨曲線”,現(xiàn)有下列命題
6、:
①若點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn),則點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn);
②單位圓的“伴隨曲線”是它自身;
③若曲線關(guān)于軸對(duì)稱,則其“伴隨曲線”關(guān)于軸對(duì)稱;
④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.
其中的真命題是(寫出所有真命題的序號(hào)).
答 案 與解析
一、選擇題
1.【答案】B
【解析】由已知條件得,可以單獨(dú)存在于伙伴關(guān)系中,和同時(shí)存在于伙伴關(guān)系中,
所以具有伙伴關(guān)系的元素組是,
所以具有伙伴關(guān)系的集合有個(gè):,,.
2.【答案】D
【解析】因?yàn)?,?
,,
所以或.
3.【答案】B
【解析】∵,由集合中元素的互異性可知,當(dāng)時(shí),,,
∴,
由“對(duì)任意,必有
7、”知,
∴,或,,∴.
4.【答案】D
【解析】由題可知,,畫出圖象如圖,
當(dāng)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),
即函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍為.
5.【答案】C
【解析】依題意可知,當(dāng),時(shí),
,
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,故選C.
6.【答案】C
【解析】根據(jù)運(yùn)算法則,得①,
當(dāng)時(shí),或(不符合題意舍去);
當(dāng)時(shí),,把,分別代入①式,得或,
故.
7.【答案】B
【解析】①成立,因?yàn)榧侠锏脑兀还苁窍嗉?,還是相減,還是相乘,都是復(fù)數(shù),
并且實(shí)部,虛部都是整數(shù);
②當(dāng)時(shí),所以成立;
③不成立,舉例:就是封閉集,但是有限集;
④舉例,
8、,,集合就不是封閉集,所以不成立.
8.【答案】D
【解析】①當(dāng)時(shí),,且函數(shù)單調(diào)遞增,故不存在寬度為的通道;
②,故存在和,滿足有一個(gè)寬度為的通道;
③,故存在和,滿足有一個(gè)寬度為的通道;
④,故存在和,滿足有一個(gè)寬度為的通道;
故有一個(gè)寬度為的通道的函數(shù)的序號(hào)為②③④.
9.【答案】C
【解析】A正確,例如是所有小于的有理數(shù),是所有不小于的有理數(shù);
B正確,如是所有負(fù)的有理數(shù),零和平方小于的正有理數(shù),是所有平方大于的正有理數(shù),顯然和的并集是所有的有理數(shù),因?yàn)槠椒降扔诘臄?shù)不是有理數(shù);
D正確,例如是所有不大于的有理數(shù),是所有大于的有理數(shù);
C錯(cuò),有最大元素,且有最小元素是
9、不可能的,
因?yàn)檫@樣就有一個(gè)有理數(shù)不存在于和兩個(gè)集合中,與和的并集是所有的有理數(shù)矛盾.
10.【答案】C
【解析】∵對(duì)于任意給定的不等實(shí)數(shù),,
不等式恒成立,
∴不等式等價(jià)為恒成立,
即函數(shù)是定義在上的增函數(shù).
①;,則函數(shù)在定義域上不單調(diào);
②;,函數(shù)單調(diào)遞增,滿足條件;
③為增函數(shù),滿足條件;
④,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,不滿足條件,
綜上滿足“函數(shù)”的函數(shù)為②③,一共個(gè).
11.【答案】B
【解析】①對(duì)于函數(shù),定義域?yàn)椋?
設(shè),由,得,所以,
所以函數(shù)是定義域上的“均值”為的函數(shù);
②對(duì)于函數(shù),定義域?yàn)椋?
設(shè),由,得,
當(dāng)時(shí),,不存在實(shí)數(shù)
10、的值,使,
所以該函數(shù)不是定義域上均值為的函數(shù);
③對(duì)于函數(shù),定義域是,
設(shè),得,則,
所以該函數(shù)是定義域上的均值為的函數(shù);
④對(duì)于函數(shù),定義域?yàn)椋?
設(shè),由,得,
當(dāng),,不存在唯一的實(shí)數(shù),使得,
所以函數(shù)在其定義域上不是均值為的函數(shù).
故滿足所在定義域上“均值”為的函數(shù)是的序號(hào)是①③.
12.【答案】D
【解析】∵函數(shù),∴,
∵函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù),
∴區(qū)間上存在,
滿足,∴,
∴,即方程在區(qū)間有兩個(gè)解,
令,∴,解得.
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是,故選D.
二、填空題
13.【答案】
【解析】因?yàn)?,,,,,,,,?
集合中的元素是有序數(shù)對(duì),所
11、以集合中的元素共有個(gè).
14.【答案】
【解析】依題意可得,則數(shù)列為等比數(shù)列.
又,則.
,當(dāng)且僅當(dāng),即該數(shù)列為常數(shù)列時(shí)取等號(hào).
15.【答案】①③
【解析】因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù),,都有,
即總有不等式恒成立,
即為函數(shù)是定義在上的增函數(shù),
對(duì)于①,由于與均為上增函數(shù),則函數(shù)在為增函數(shù);
對(duì)于②,明顯先減后增,不符合;
對(duì)于③,因?yàn)樵谏虾愠闪?,則在為增函數(shù);
對(duì)于④,當(dāng)時(shí)為減函數(shù),當(dāng)為增函數(shù),不符合,
故選①③.
16.【答案】②③
【解析】①設(shè)的坐標(biāo),伴隨點(diǎn),
的伴隨點(diǎn)橫坐標(biāo)為,同理可得縱坐標(biāo)為,
故,錯(cuò)誤;
②設(shè)單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為,
則的伴隨點(diǎn)的坐標(biāo)為,
所以也在單位圓上,即:點(diǎn)是點(diǎn)延順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),正確;
③設(shè)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo),其關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)也在曲線上,
所以點(diǎn)的伴隨點(diǎn),點(diǎn)的伴隨點(diǎn),
與關(guān)于軸對(duì)稱.正確;
④反例:例如這條直線,則,,,而這三個(gè)點(diǎn)的伴隨點(diǎn)分別是,,,而這三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上.
下面給出嚴(yán)格證明:
設(shè)點(diǎn)在直線,點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為,
則,解得.
代入直線方程可知:,
化簡得:,
當(dāng)時(shí),是一個(gè)常數(shù),的軌跡是一條直線;
當(dāng)時(shí),不是一個(gè)常數(shù),的軌跡不是一條直線.
所以,直線“伴隨曲線”不一定是一條直線,錯(cuò)誤.
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