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1、把握考點，層層遞進，實現難點突破 ——淺談一輪復習《導數與積分》教學設計 在中學數學的新課程中，導數單元作為初等數學和高等數學重要的銜接點，顯得格外引人矚目. 導數的思想及其內涵豐富了對函數等問題的研究方法，已經成為近幾年全國各地高考數學的一大熱點. 另外，導數又具有很強的知識交匯功能，因此在高考中導數與積分是一個極其重要的內容，導數與積分的復習是數學第一輪復習的重點之一. 下面，我將從以下三個部分來談談導數與積分的復習. 一、緊扣《說明》要求與考題規(guī)律，以把握考點定教學應對策略 1.《考試說明》的要求 （1）導數概念及其幾何意義 ①了解導數概念的實際背景. ②通

2、過函數圖象直觀理解導數的幾何意義. （2）導數的運算 ①根據導數的定義求函數(C為常數),,,,,的導數. ②能利用下面給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數（僅限于形如的復合函數）的導數. （3）導數在研究函數中的應用 ①了解函數單調性和導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區(qū)間（其中多項式函數一般不超過三次）. ②了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件； 會用導數求函數的極大值、極小值（其中多項式函數一般不超過三次）；會求閉區(qū)間上函數的最大值、最小值（其中多項式函數一般不超過三次）. （4）生活中的優(yōu)化問題

3、 會用導數解決某些實際問題. （5）定積分與微積分基本定理 ①了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念. ②了解微積分基本定理的含義. 從上述不難發(fā)現：《考試說明》對導數的考查，主要以切線方程、函數單調區(qū)間、極值、最值為主. 2. 全國卷與湖北卷的聯(lián)系與區(qū)別 全國卷和湖北卷在導數考查的整體思路上是一樣的：在考查基礎知識的同時，都注重對數學思想方法和數學能力的考查. 導數的綜合題均作為高考壓軸題的形式出現. 全國卷和湖北卷在導數考查的具體安排上有很區(qū)別： ①以2015年全國卷與湖北卷《考試說明》的對比分析可以發(fā)現，全國卷對導數在研究函數中的應用的

4、考查層次比湖北卷高. ②從近三年高考試卷的內容來看，全國卷特別注重對含參函數的單調性或圖象的研究，難度較大，而湖北卷僅在解答題三個小問題中的第（1）小問出現，主要利用導數研究不含參函數的單調性或最值，為后面的問題作鋪墊；湖北卷注重對積分的考查，而全國卷對此幾乎沒有涉及；全國卷對曲線切線的考查比較頻繁，而湖北卷很少涉及. 考點 全國卷 湖北卷 導數 能求簡單的復合函數（僅限于形如的復合函數）的導數; 能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區(qū)間（其中多項式函數一般不超過三次）; 會用導數求函數的極大值、極小值（其中多項式函數一般不超過三次）；會求閉區(qū)間上函數的最大值、最小值

5、（其中多項式函數一般不超過三次）; 會用導數解決某些實際問題. 理解求簡單的復合函數的導數； 掌握利用導數研究函數的單調性； 掌握函數的極值、最值； 理解利用導數解決某些實際問題. 定積分 了解定積分的實際背景； 了解定積分的基本思想； 了解定積分的概念； 了解微積分基本定理的含義. 了解定積分的概念； 了解定積分基本定理； 了解定積分的簡單應用. 3. 近三年全國卷考試特點與命題規(guī)律 （1）試題分布：近三年全國數學理科卷Ⅰ中導數試題分布表： 年份 題號 題型 分值 考查內容 2013年 16 填空題 5分 利用導數求函數的最值. 21 解

6、答題 12分 利用導數的幾何意義解決曲線切線問題， 利用導數討論含參數函數的單調性并解決不等式問題. 2014年 11 選擇題 5分 利用導數研究函數的圖象解決含參函數零點問題. 21 解答題 12分 利用導數的幾何意義解決曲線切線問題， 利用導數求函數的最值并證明不等式. 2015年 12 選擇題 5分 利用導數研究函數的圖象并解決不等式的有解問題 21 解答題 12分 利用導數的幾何意義解決曲線切線問題， 利用導數研究含參函數的圖象并討論函數零點個數. （2）試題特點： ①從導數在高考中的地位來看, 幾乎每年一道大題和一道小題, 分值17分

7、，約占11.3%,并且試題難度較大. ②從考查的內容來看，考查的熱點是利用導數求曲線的切線方程、求函數的單調區(qū)間、證明不等式、研究函數的圖象，研究函數的零點，或利用導數解決實際問題. 從全國卷《考試說明》對導數的要求以及近幾年全國卷的命題重點來看，無論是小題還是大題，導數與不等式等知識的交匯與綜合往往作為高考卷的把關題或壓軸題，一般有較大難度，但是我們對這類題進行分析后不難發(fā)現，在這類試題中，導數只不過是一種工具，利用導數研究函數（特別是含參函數）的單調性、極值、最值、圖象的工具，真正的難點是將這類試題中的問題轉化為函數的單調性、極值、最值、圖象的問題. 所以函數的單調性、極值、最值、

8、圖象的問題是導數與積分單元復習中的重點，導數與不等式、方程等知識的綜合是復習中的難點. 二、緊繞復習計劃與教學目標，以層層遞進促課堂教學高效 1. 教材分析 “導數與積分”是高中數學人教A版教材選修2-2第一章的內容，是高考考查的重點和難點，題型既有靈活多變的客觀性試題，又有具有一定能力要求的主觀性試題，這要求在復習時要掌握基本題型的解法，樹立利用導數處理問題的意識． 2. 學情分析 高三學生已經具備分析理解常見函數的性質的能力，同時也有通過導數研究函數性質的經驗. 但在具體問題上，學生可能比較模糊，還沒有形成解題規(guī)律和處理技巧. 3．教學目標 （1） 知識與技能：利

9、用導數的幾何意義；利用導數求函數的單調區(qū)間；利用導數求函數的極值以及函數在閉區(qū)間上的最值；解決方程有解及不等式恒成立問題 （2）過程與方法：能夠利用函數性質作圖象，反過來利用函數的圖象研究函數的性質如交點情況，能合理利用數形結合解題；學會利用熟悉的問答過渡到陌生的問題. 4．教學重點、難點 重點是應用導數求單調性，極值，最值；難點是方程有解及不等式恒成立問題. 5. 教學計劃 第一輪復習導數與積分單元分成四個部分，按照層層遞進方式，具體安排如下： 第一部分：導數的概念及幾何意義（1課時）, 是本單元的基礎內容，高考的熱點，但不是難點.這部分要求學生熟練使用求導四則運算，能準確地求出

10、基本函數和簡單復合函數的導數，熟練掌握求曲線的切線方程方法的一般步驟. 第二部分：定積分與微積分基本定理（1課時），是本單元的基礎內容. 這部分要求學生了解計算簡單定積分的一般方法和步驟，了解定積分與曲邊梯形的面積的關系，了解用微積分基本定理求曲邊梯形的面積或求變速運動的路程. 第三部分：導數與函數的單調性、極值與最值（2課時），是本單元的重點內容. 這部分內容要求學生熟練掌握利用導數研究函數（特別是含參函數）的單調性、極值、最值與圖象的一般方法和步驟，掌握對參數分類討論的技巧. 第四部分：導數的實際應用以及與方程、不等式的綜合（2課時），是本單元的難點內容. 這部分內容要求學生掌握導數

11、與不等式、方程、實際問題、參數討論等知識的內在聯(lián)系，培養(yǎng)學生對常見問題的等價轉化、分類討論、數形結合等思想方法的意識. 5．教學設計 以第三部分《導數與函數的單調性、極值與最值》的教學設計為例來闡述“一題多問、 由易到難、層層遞進的模式”提高課堂教學效果. 教學目的：讓學生熟練掌握利用導數研究函數（特別是含參函數）的單調性、極值、最值以及畫函數圖象的基本方法、處理技巧. 為了達到這個教學目的，我本部分的例題的選擇及其意圖如下： 例1. 已知函數. （1）求的單調區(qū)間； （2）求的極值； （3）求在區(qū)間上的最大值與最小值. 設計意圖：例1主要考查

12、不含參數的函數的的單調性、極值、最值等基礎知識，選 自人教A版數學選修2-2第31頁習題1.3A組第2題第（4）小題. 該題由學生演板、互 相糾錯，老師補充完善完成，讓學生加強對求函數單調性、極值與最值的一般方法步驟的掌握，并理解極值與最值的關系，也為例2問題的處理提供了方法步驟上的參考. 例2．已知函數. （1）若在區(qū)間上單調遞增，求a的的取值范圍； （2）求的單調區(qū)間與極值； （3）求在上的最大值. 設計意圖：例2主要考查含參函數的的單調性、極值、最值等基礎知識，問題（1）是函數單調性與導數之間關系的變形運用，培養(yǎng)學生的逆向思維能力，并加深對函數單調性與導數的關系的認識

13、；讓學生認識到，問題（2）（3），雖然在例1的基礎上高了一個層次，但是解方法和步驟的整體框架相同，不同的是需要對參數進行分類討論. 在解答過程中，要讓學生理解為什么要分類討論，學會怎樣進行分類討論，總結解題規(guī)律：討論函數的單調性就討論含參不等式（或）的解集的情況，求最值的過程就是在討論函數的單調性的基礎上比較極值與端點值的大小的過程. 該題是本節(jié)的重點也是難點，由老師引導協(xié)助學生共同完成. 例3．已知函數. （1）當時，畫出的大致圖像； （2）討論零點的個數； （3）（備用）用表示中的最小值，設函數，，討論零點的個數. 設計意圖：例3主要考查利用函數的單調性與

14、極值畫出函數的大致圖象，是在例2的基礎上又上升了一個層次. 該題讓學生獨立完成利用導數研究所給函數的單調性、極值的部分. 問題（1）中的函數不含有參數，問題（2）中的函數含有參數，既是分別對例1、例2的解題規(guī)律的加強鞏固，又為下一步畫圖象或討論零點個數做好準備工作. 問題（3）是今年全國卷21題，主要讓學生體會本節(jié)內容是高考綜合試題的核心，認識到掌握了用導數研究函數的單調性、極值、最值、圖象的規(guī)律與方法，與導數有關綜合試題也就迎刃而解了，減小學生對高考中導數壓軸題的畏懼心理. 利用幾何畫板，動態(tài)演示，直觀的感覺參數的變化對函數的圖象的影響，幫助學生更好地理解參數討論的關鍵點，使探究落到實處

15、. 以上三個例題針對性強，抓住以利用導數來研究函數的單調性、極值與最值以及畫函數圖象為核心內容，突出訓練，總結規(guī)律，提煉通法，從而提高學生的解題能力. 每個例題的三個小問題之間以及三個例題之間均采用了一題多問、由易到難、層層遞進的模式.在前一小問題的基礎上處理下一小問題，在前一個例題的層次上處理下一個例題，既總結了解題方法，又弄清了它們之間的聯(lián)系；既抓住了重點，又節(jié)約了時間；既解決了難點，又樹立了學生的信心. 為下一部分導數的綜合應用打下很好的基礎. 三、緊抓常見題型與解題方法，以難點突破助學生提升能力 題型1：利用導數的幾何意義求曲線的

16、切線（可已知切線方程或切點坐標求參數的值） 例1．設函數，曲線在點處的切線方程為，求a, b. （2014年全國卷Ⅰ理第21題第1問） 解題方法：必須明確切點的“三重身份”，切點在曲線上，切點在切線上，切點處的導函數的值為切線斜率. 題型2：利用微積分基本定理求曲邊梯形的面積 例2. 求由曲線與直線，，所圍成平面圖形的面積. （人教A版數學選修2-2第60頁習題1.7B組第3題.） 解題方法：正確畫出題目中所表示的圖形區(qū)域，由哪些曲邊梯形組成，曲邊梯形在x軸的上方還是下方. 題型3：求單調區(qū)間、極值或最值（或已知單調區(qū)間、極值或最值求參數范圍） 例3．（1）求的單調區(qū)間；（2

17、012年全國卷理第21題第1問） （2）求函數的極值； （3）求函數的最值. 解題方法：若求函數②單調區(qū)間只需解不等式（或），若已知單調性求參數范圍可轉化為（或）在給定區(qū)間上恒成立問題. 求極值問題只需討論方程的根的情況及在每個根的兩側導數值的正負情況，已知函數極值求參數范圍問題轉化為討論方程根的分布問題. 求函數最值問題首先求函數極值和區(qū)間端點函數值，再將極值和端點值比較選出最大值和最小值. 難點：符號判斷的技巧 ①結合的根（有時需要觀察出來）與單調性來確定符號. 如本例中，； ②用放縮法確定的符號，如本例中. 注：當時，，，，. 題型4：證明函數不等式 例4

18、. 證明：.（2014年全國卷Ⅰ理第21題第2問） 解題方法：證明函數不等式一般思路是構造新的函數并求導判斷其單調性，利用函數單調性結合特殊點的函數值（通常是最值）進行證明. 難點：若構造一個函數求最值非常麻煩，可以將不等式適當變形，構造兩個函數，轉化其中一個函數的最小值大于另一函數的最大值，如本例中將不等式變形為， 構造兩個函數，，，其中，. 題型5：方程有解（或方程解的個數，函數有零點，函數零點的個數）求參數范圍 例5. 若關于x的方程有解，求k的取值范圍. 解題方法：對于方程在某區(qū)間上根的個數一般利用構造函數求導得函數單調性和極值，再根據單調性和極值畫出函數圖象利用圖象法求

19、解. 構造函數時可以構造一個函數也可以構造一對函數. 如本例中，若方程變形為，可以轉化為與x軸有交點； 若方程變形為，也可以轉化為與直線有交點； 若方程變形，還可轉化為與直線有交點，再轉化為相切問題. 題型6：不等式恒成立（或有解）求參數范圍 例6：若當, 且時，，求k的取值范圍. （2011年全國卷理第21題第2問） 解題方法：函數不等式恒成立求參數范圍問題一般思路為構造函數轉化為最值問題. 構造函數的方法一般有兩種，一種是將不等式變形構造含參數的函數，另一種是分離參數構造不含參數的函數，對于第一種構造的函數，需要利用逐段篩選討論法求解，有時可取未知數的特殊值來縮小參數的范圍

20、，減少討論的情況. 難點：構造函數有講究：將不等式適當變形，構造便于研究單調性的函數 若不等式變形為，可構造函數，求導得 ，單調性不容易研究； 若不等式變形為，可構造函數. 可取一些求知數x的值代入去縮小參數k的范圍，如取，得 ，接下來只需要在的范圍內去討論的單調性. 四．且行且思，對導數復習的幾點思考 1．把握高考動態(tài)，夯實基礎知識： 緊扣教材，準確把握概念、法則，夯實學生解題的規(guī)范性；總結高考規(guī)律，明確考點要求，抓主線，攻重點，求突破. 2．總結解題規(guī)律，熟悉常見轉化 總結解題規(guī)律是找到一類題的解題方法、答題規(guī)律，從而提高解題效率；熟悉常見轉化，就能把不熟悉的問題

21、轉化為比較熟悉的問題，從而運用已有的數學知識經驗解決新問題. 3．滲透思想方法，注重知識交匯 數學思想方法是數學的靈魂，在教學過程中滲透數形結合、化歸轉化、分類討論等數學思想方法，能提高教學效果，更能提高學生構造函數能力、畫圖、看圖、用圖能力等解題能力. 注意導數知識與其它章節(jié)的聯(lián)系，對于知識的交匯問題，重點放在邏輯思維、推理能力的培養(yǎng)上，盡量減少繁雜運算. 4．針對學生水平，落實查缺補漏 對于學生導數內容掌握欠缺的方面，教師要加以提醒、點撥，使學生的思考能走向深入；對于學生出現的錯誤，教師應及時糾正，并幫助學生分析錯誤的原因，從而達到易錯不錯，錯過不再錯的目的. 總之，一輪復習是高考備考的關鍵. 把握考點，才能有的放矢； 層層遞進，才能個個擊破； 突破難點，才能沖刺高分. 8