(全國通用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題提分教程 第二編 專題七 選修4系列 第2講 不等式選講練習(xí) 理
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1、第2講 不等式選講 「考情研析」 不等式選講主要考查平均值不等式的應(yīng)用,絕對值三角不等式的理解及應(yīng)用、含絕對值不等式的解法、含參不等式解法和恒成立問題以及不等式的證明方法(比較法、綜合法、分析法、放縮法)及它們的應(yīng)用.其中絕對值不等式的解法及證明方法的應(yīng)用是重點.難度不大,分值10分,一般會出現(xiàn)在選考部分第二題的位置. 核心知識回顧 1.絕對值的三角不等式 定理1:如果a,b是實數(shù),則|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當ab≥0時,等號成立. 定理2:如果a,b,c是實數(shù),那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當且僅當(a-b)(b-c)≥0時,等號成立. 2.|ax+b|
2、≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax+b|≤c(c>0)?-c≤ax+b≤c. (2)|ax+b|≥c(c>0)?ax+b≥c或ax+b≤-c. 3.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)利用絕對值不等式幾何意義求解,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想. (2)利用“零點分段法”求解,體現(xiàn)分類討論思想. (3)通過構(gòu)建函數(shù),利用函數(shù)圖象求解,體現(xiàn)函數(shù)與方程思想. 4.證明不等式的基本方法 (1)比較法;(2)綜合法;(3)分析法; (4)反證法;(5)放縮法. 5.二維形式的柯西不等式 若a,b,c
3、,d都是實數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,當且僅當ad=bc時,等號成立.
熱點考向探究
考向1 絕對值不等式的解法及應(yīng)用
角度1 絕對值不等式的解法
例1 (2019·烏魯木齊高三第二次質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)=2|x+1|-|x-a|,a∈R.
(1)當a=1時,求不等式f(x)<0的解集;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x) 4、(x)<0得2(x+1)+(x-1)<0,
即3x+1<0,得x<-,此時-1≤x<-,
當x>1時,由f(x)<0得2(x+1)-(x-1)<0,
即x+3<0,得x<-3,此時無解,
綜上,不等式的解集為.
(2)∵f(x)<x?2|x+2|-x<|x-a|有解,等價于函數(shù)y=2|x+2|-x的圖象上存在點在函數(shù)y=|x-a|的圖象下方,
由函數(shù)y=2|x+2|-x與函數(shù)y=|x-a|的圖象可知,a>0或a<-4.
解絕對值不等式的步驟和方法
(1)用零點分段法解絕對值不等式的步驟
①求零點.
②劃區(qū)間、去絕對值號.③分別解去掉絕對值的不等式.
④取每個結(jié)果的 5、并集,注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值.
(2)用圖象法求解不等式
用圖象法,數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對值的不等式,使得代數(shù)問題幾何化,既通俗易懂,又簡潔直觀,是一種較好的方法.
(3)用絕對值不等式的幾何意義求解.
(1)解關(guān)于x的不等式x|x+4|+3<0;
(2)關(guān)于x的不等式|x|+2|x-9|f(x)min.
f(x) 6、=所以f(x)的最小值為9.
所以a>9,即實數(shù)a的取值范圍為(9,+∞).
角度2 絕對值不等式恒成立(或存在性)問題
例2 (2019·德陽市高三第二次診斷)已知函數(shù)f(x)=|x-a|-|x+2|.
(1)當a=1時,求不等式f(x)≤-x的解集;
(2)若f(x)≤a2+1恒成立,求a的取值范圍.
解 (1)當a=1時,f(x)=|x-1|-|x+2|,
即f(x)=不等式f(x)≤-x即為或或
即有x≤-3或-1≤x<1或1≤x≤3,得x≤-3或-1≤x≤3,
所以不等式的解集為{x|x≤-3或-1≤x≤3}.
(2)因為|x-a|-|x+2|≤|x-a-x-2| 7、=|a+2|,
所以f(x)≤|a+2|,
若f(x)≤a2+1恒成立,則|a+2|≤a2+1,
即或
解得a≤或a≥,
解答含參數(shù)的絕對值不等式應(yīng)熟記的幾個轉(zhuǎn)化
f(x)>a恒成立?f(x)min>a;f(x)a有解?f(x)max>a;f(x)a無解?f(x)max≤a;f(x)
8、不等式|g(x)|-c≥|x-1|恒成立,求實數(shù)c的取值范圍.
解 (1)由題意可得,g(x)=2x-1,
所以g(x)≥|x-1|即2x-1≥|x-1|.
①當x≥1時,2x-1≥x-1,解得x≥0,所以x≥1;
②當x<1時,2x-1≥1-x,解得x≥,所以≤x<1.
考向2 絕對值不等式的證明
例3 已知a>0,b>0,函數(shù)f(x)=|x+a|-|x-b|.
(1)當a=1,b=1時,解關(guān)于x的不等式f(x)>1;
(2)若函數(shù)f(x)的最大值為2,求證:+≥2.
解 (1)當a=1,b=1時,
f(x)=|x+1|-|x-1|=
①當x≥1時,f(x)=2> 9、1,不等式恒成立,
此時不等式的解集為{x|x≥1};
②當-1≤x<1時,f(x)=2x>1,所以x>,
此時不等式的解集為;
③當x<-1時,f(x)=-2>1,不等式不成立,此時無解.
綜上所述,不等式f(x)>1的解集為.
(2)證法一:由絕對值三角不等式可得
|x+a|-|x-b|≤|a+b|,a>0,b>0,∴a+b=2,
∴+=(a+b)=≥2,
當且僅當a=b=1時,等號成立.
證法二:∵a>0,b>0,∴-a<0
10、
∴+=(a+b)=≥2,當且僅當a=b=1時,等號成立.
不等式證明的常用方法
(1)不等式的證明常利用綜合法、分析法、基本不等式和柯西不等式等,要根據(jù)題目特點靈活選用方法.
(2)證明含絕對值的不等式主要有以下三種方法:
①利用絕對值的定義去掉絕對值符號,轉(zhuǎn)化為普通不等式再證明.
②利用三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|進行證明.
③轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,利用數(shù)形結(jié)合進行證明.
(2019·延安市高考模擬)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|,x∈R.
(1)解不等式f(x)<|x|+1;
(2)若對x,y∈R,有|x-y-1|≤,|2y+1|≤,求證: 11、f(x)≤.
解 (1)因為f(x)<|x|+1,所以|2x-1|<|x|+1,
即或或
解得≤x<2或0 12、時等號成立,∴++≤ .
(2)證法一:∵+(3a+1)≥2=4,
∴≥3-3a.同理得≥3-3b,≥3-3c,
以上三式相加得,4≥9-3(a+b+c)=6,
∴++≥.
證法二:由柯西不等式得
[(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)]≥+·+·2=9,
又a+b+c=1,∴6≥9,
∴++≥.
柯西不等式的應(yīng)用方法
(1)使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當變形,化為符合它的結(jié)構(gòu)形式,當一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時,就可使用柯西不等式進行證明.
(2)利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為(a+a+…+a)≥(1+1+…+1)2=n2.在使用柯西不等式時 13、,要注意右邊為常數(shù)且應(yīng)注意等號成立的條件.
(2019·南通市高三下學(xué)期模擬)已知a,b,c均為正數(shù),且a+2b+4c=3,求++的最小值,并指出取得最小值時a,b,c的值.
解 因為a+2b+4c=3,所以(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10,
因為a,b,c為正數(shù),所以由柯西不等式得,[(a+1)+2(b+1)+4(c+1)]·++≥(1++2)2,
當且僅當(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2等式成立,
所以++≥,
所以++的最小值是,
此時a=,b=,c=.
真題押題
『真題模擬』
1.(2019·哈爾濱市第六中學(xué)高三第二次模擬)設(shè)函數(shù)f(x) 14、=|2x-1|+2|x+1|-a.
(1)當a=4時,求不等式f(x)>0的解集;
(2)若函數(shù)f(x)的定義域為R,求a的取值范圍.
解 (1)當a=4時,f(x)>0為|2x-1|+2|x+1|>4,
當x≤-1時,1-2x-2x-2>4?x<-;
當-1 15、3,∴a<3.
2.(2019·赤峰市高三模擬)已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-1|,g(x)=x2-2x-1.
(1)若m,n∈R,不等式f(m)≥g(n)恒成立,求實數(shù)n的取值范圍;
(2)設(shè)a>0,b>0,且a+b=2,求證:+≤2.
解 (1)由f(m)=|m-1|+|m+1|≥|(m-1)-(m+1)|=2,
∴f(m)min=2,∴n2-2n-1≤2,∴-1≤n≤3,所以n的取值范圍是[-1,3].
(2)證明:由(1)可知,2≥2,
∴(+)2=a+b+2+2≤4+(a+1)+(b+1)=8,∴+≤2,
當且僅當a=b=1時等號成立,
∴+≤2.
3.(2 16、019·全國卷Ⅰ)已知a,b,c為正數(shù),且滿足abc=1.
證明:(1)++≤a2+b2+c2;
(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
證明 (1)因為a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca==++.
當且僅當a=b=c=1時,等號成立.
所以++≤a2+b2+c2.
(2)因為a,b,c為正數(shù)且abc=1,
故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3
≥3=3(a+b)(b+c)(c+a)
≥3×(2)×(2)×(2)=24.
當且僅當a=b=c=1時,等號成立.
所以(a+b 17、)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
『金版押題』
4.已知函數(shù)f(x)=|2x-3|-|x+1|.
(1)若不等式f(x)≤a的解集是空集,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若存在x0∈R,使得2f(x0)≤-t2+4|t|成立,求實數(shù)t的取值范圍.
解 (1)f(x)=|2x-3|-|x+1|
=
y=f(x)的圖象如圖所示,
易得f(x)min=-.
∵不等式f(x)≤a的解集是空集,
∴a的取值范圍為.
(2)?x0∈R,使得2f(x0)≤-t2+4|t|成立,
即2f(x)min≤-t2+4|t|,由(1)知f(x)min=-,
∴t2-4|t|-5≤0, 18、解得-5≤t≤5,∴t的取值范圍為[-5,5].
配套作業(yè)
1.(2019·西安八校高三聯(lián)考)已知a,b均為實數(shù),且|3a+4b|=10.
(1)求a2+b2的最小值;
(2)若|x+3|-|x-2|≤a2+b2對任意的a,b∈R恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.
解 (1)因為102=(3a+4b)2≤(32+42)(a2+b2)=25(a2+b2),所以a2+b2≥4,當且僅當=,
即或時取等號,即a2+b2的最小值為4.
(2)由(1)知|x+3|-|x-2|≤a2+b2對任意的a,b∈R恒成立?|x+3|-|x-2|≤4?或或?x<-3或-3≤x≤?x≤,所以實數(shù)x的取值范圍為 19、(-∞,].
2.已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+|x-1|.
(1)當a=3時,求不等式f(x)≥2的解集;
(2)若f(x)≥5-x對任意x∈R恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
解 (1)當a=3時,即求解|2x-3|+|x-1|≥2,
①當x≥時,2x-3+x-1≥2,∴x≥2;
②當1 20、函數(shù)f(x)=|x-5|-|x-2|.
(1)若?x∈R,使得f(x)≤m成立,求m的范圍;
(2)求不等式x2-8x+15+f(x)≤0的解集.
解 (1)f(x)=|x-5|-|x-2|=其對應(yīng)圖象如圖所示.易知f(x)min=-3,
∴m≥-3,即m的取值范圍為[-3,+∞).
(2)x2-8x+15+f(x)=
①x≤2,x2-8x+18≤0,解集為?.
②2 21、x)=x2-x+1,實數(shù)a滿足|x-a|<1,求證:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
解 (1)當x<0時,原不等式可化為-2x+x<0,
解得x>0,所以x不存在;
當0≤x<時,原不等式可化為-2x-x<0,
解得x>0,所以0 22、a)|<2(|a|+1).
5.(2019·益陽市高三4月模擬)已知f(x)=|2x+1|-|ax-1|.
(1)當a=1時,求不等式f(x)≤2的解集;
(2)當x∈(-,0)時,不等式f(x)>2x成立,求a的取值范圍.
解 (1)當a=1時,
f(x)=|2x+1|-|x-1|=
由f(x)≤2,得或或
解得x∈?或-≤x≤或-4≤x<-,
6.已知函數(shù)f(x)=|x-m|,m<0.
(1)當m=-1時,解不等式f(x)+f(-x)≥2-x;
(2)若不等式f(x)+f(2x)<1的解集非空,求m的取值范圍.
解 (1)當m=-1時,f(x)+f(-x)=| 23、x+1|+|x-1|,
設(shè)F(x)=|x+1|+|x-1|=
當x<-1時,-2x≥2-x,解得x≤-2;
當-1≤x<1時,2≥2-x,解得0≤x<1;
當x≥1時,2x≥2-x,解得x≥1.
綜上,原不等式的解集為{x|x≤-2或x≥0}.
(2)f(x)+f(2x)=|x-m|+|2x-m|,m<0.
設(shè)g(x)=f(x)+f(2x),
當x≤m時,g(x)=m-x+m-2x=2m-3x,則g(x)≥-m;
當m 24、
由題知不等式f(x)+f(2x)<1的解集非空,則1>-,解得m>-2,由于m<0,故m的取值范圍是(-2,0).
7.(2019·寶雞市高考模擬)已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x+3|.
(1)求不等式f(x)≤2的解集;
(2)若不等式f(x) 25、x)min
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