《(魯京津瓊專用)2020版高考數學大一輪復習 第八章 立體幾何與空間向量 第2講 空間幾何體的表面積與體積練習(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《(魯京津瓊專用)2020版高考數學大一輪復習 第八章 立體幾何與空間向量 第2講 空間幾何體的表面積與體積練習(含解析)(7頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、第2講 空間幾何體的表面積與體積
一、選擇題
1.(2015·全國Ⅰ卷)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有( )
A.14斛 B.22斛
C.36斛 D.66斛
解析 設米堆的底面半徑為r尺,則r=8,所以r=.
所以米堆的體積為V=×π·r2·5=··5≈(立方尺).
故堆放的米
2、約有÷1.62≈22(斛).
答案 B
2.某幾何體的三視圖如圖所示,且該幾何體的體積是3,則正視圖中的x的值是( )
A.2 B. C. D.3
解析 由三視圖知,該幾何體是四棱錐,底面是直角梯形,且S底=(1+2)×2=3.∴V=x·3=3,解得x=3.
答案 D
3.(2017·合肥模擬)一個四面體的三視圖如圖所示,則該四面體的表面積是( )
A.1+ B.2+ C.1+2 D.2
解析 四面體的直觀圖如圖所示.
側面SAC⊥底面ABC,且△SAC與△ABC均為腰長是的等腰直角三角形,SA=SC=AB=BC=,AC=2.
設AC的中
3、點為O,連接SO,BO,則SO⊥AC,又SO?平面SAC,平面SAC∩平面ABC=AC,
∴SO⊥平面ABC,又BO?平面ABC,∴SO⊥BO.
又OS=OB=1,∴SB=,
故△SAB與△SBC均是邊長為的正三角形,故該四面體的表面積為2×××+2××()2=2+.
答案 B
4.(2015·全國Ⅱ卷)已知A,B是球O的球面上兩點,∠AOB=90°,C為該球面上的動點.若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為( )
A.36π B.64π C.144π D.256π
解析 因為△AOB的面積為定值,所以當OC垂直于平面AOB時,三棱錐O-ABC的體積
4、取得最大值.由×R2×R=36,得R=6.從而球O的表面積S=4πR2=144π.
答案 C
5.(2017·青島模擬)如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形,NB=2PN,則三棱錐N-PAC與三棱錐D-PAC的體積比為( )
A.1∶2 B.1∶8
C.1∶6 D.1∶3
解析 設點P,N在平面ABCD內的投影分別為點P′,N′,則PP′⊥平面ABCD,NN′⊥平面ABCD,所以PP′∥NN′,
則在△BPP′中,由BN=2PN得=.
V三棱錐N-PAC=V三棱錐P-ABC-V三棱錐N-ABC
=S△ABC·PP′-S△ABC·NN′
=S△ABC
5、·(PP′-NN′)=S△ABC·PP′
=S△ABC·PP′,V三棱錐D-PAC=V三棱錐P-ACD=S△ACD·PP′,
又∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴S△ABC=S△ACD,
∴=.故選D.
答案 D
二、填空題
6.現有橡皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個,則新的底面半徑為________.
解析 設新的底面半徑為r,由題意得πr2·4+πr2·8=π×52×4+π×22×8,解得r=.
答案
7.已知底面邊長為1,側棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一
6、個球面上,則該球的體積為________.
解析 依題意可知正四棱柱體對角線的長度等于球的直徑,可設球半徑為R,則2R==2,
解得R=1,所以V=R3=.
答案 π
8.(2017·鄭州質檢)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為________.
解析 由三視圖可知,該幾何體是一個底面半徑為1,高為2的圓柱和底面半徑為1,高為1的半圓錐拼成的組合體.
∴體積V=π×12×2+×π×12×1=π.
答案 π
三、解答題
9.已知一個幾何體的三視圖如圖所示.
(1)求此幾何體的表面積;
(2)如果點P,Q在正視圖中所示位置,P為所在線段中點,Q為頂點,求在
7、幾何體表面上,從P點到Q點的最短路徑的長.
解 (1)由三視圖知該幾何體是由一個圓錐與一個圓柱組成的組合體,其表面積是圓錐的側面積、圓柱的側面積和圓柱的一個底面積之和.
S圓錐側=(2πa)·(a)=πa2,
S圓柱側=(2πa)·(2a)=4πa2,
S圓柱底=πa2,
所以S表=πa2+4πa2+πa2=(+5)πa2.
(2)沿P點與Q點所在母線剪開圓柱側面,如圖.
則PQ===a,
所以從P點到Q點在側面上的最短路徑的長為a.
10.(2015·全國Ⅱ卷)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F分別在A1B1,D1C1
8、上,A1E=D1F=4.過點E,F的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.
(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);
(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值.
解 (1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示.
(2)如圖,作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.
因為四邊形EHGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.
于是MH==6,AH=10,HB=6.
故S四邊形A1EHA=×(4+10)×8=56,
S四邊形EB1BH=×(12+6)×8=72.
因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱,
所以其體積的
9、比值為.
11.若某一幾何體的正視圖與側視圖均為邊長是1的正方形,且其體積為,則該幾何體的俯視圖可以是( )
解析 若俯視圖為A,則該幾何體為正方體,其體積為1,不滿足條件.若俯視圖為B,則該幾何體為圓柱,其體積為π×1=,不滿足條件.若俯視圖為C,則該幾何體為三棱柱,其體積為×1×1×1=,滿足條件.若俯視圖為D,則該幾何體為圓柱的,體積為π×1=,不滿足條件.
答案 C
12.(2015·全國Ⅰ卷)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=( )
A.1 B.2
10、 C.4 D.8
解析 該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體,球的半徑為r,圓柱的底面半徑為r,高為2r,如圖.
則表面積
S=×4πr2+πr2+(2r)2+πr·2r=(5π+4)r2,
又S=16+20π,∴(5π+4)r2=16+20π,解得r=2.
答案 B
13.圓錐被一個平面截去一部分,剩余部分再被另一個平面截去一部分后,與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示,若r=1,則該幾何體的體積為________.
解析 根據三視圖中的正視圖和俯視圖知,該幾何體是由一個半徑r=1的半球,一個底面半徑r=1、高2r=2的圓
11、錐組成的,則其體積為V=πr3×+πr2×2r×=.
答案
14.四面體ABCD及其三視圖如圖所示,平行于棱AD,BC的平面分別交四面體的棱AB,BD,DC,CA于點E,F,G,H.
(1)求四面體ABCD的體積;
(2)證明:四邊形EFGH是矩形.
(1)解 由該四面體的三視圖可知,
BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,
又BD∩DC=D,∴AD⊥平面BDC,
∴四面體ABCD的體積V=××2×2×1=.
(2)證明 ∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,
平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH,
∴FG∥EH.
同理,EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
又∵AD⊥平面BDC,BC?平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四邊形EFGH是矩形.
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