《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 第42講 合情推理與演繹推理練習(xí) 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 第42講 合情推理與演繹推理練習(xí) 理（含解析）新人教A版（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第42講　合情推理與演繹推理 夯實基礎(chǔ)　【p90】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用． 2．通過具體實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進(jìn)行一些簡單推理． 3．通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異． 【基礎(chǔ)檢測】 1．有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b?平面α，直線a?平面α，直線b∥平面α，則直線b∥直線a”，結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為(　　) A．大前提錯誤B．小前提錯誤 C．

2、推理形式錯誤D．非以上錯誤 【解析】在推理過程“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b?平面α，直線a?平面α，直線b∥平面α，則直線b∥直線a”中，直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線為大前提，由線面平行的性質(zhì)易得，直線平行于平面，則直線可與平面內(nèi)的直線平行、異面，這是一個假命題，故這個推理過程錯誤的原因是：大前提錯誤． 【答案】A 2．對大于或等于2的自然數(shù)的正整數(shù)冪運算有如下分解方式： 22＝1＋3， 32＝1＋3＋5， 42＝1＋3＋5＋7， 23＝3＋5， 33＝7＋9＋11， 43＝13＋15＋17＋19. 根據(jù)上述分解規(guī)律，若m2＝1＋3＋5＋…

3、＋11，n3的分解中最小的正整數(shù)是21，則m＋n＝(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 【解析】∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝×6＝36， ∴m＝6， ∵23＝3＋5，33＝7＋9＋11， 43＝13＋15＋17＋19， ∴53＝21＋23＋25＋27＋29， ∵n3的分解中最小的正整數(shù)是21， ∴n3＝53，n＝5， ∴m＋n＝6＋5＝11. 【答案】B 3．在平面直角坐標(biāo)系中，方程＋＝1表示在x軸、y軸上的截距分別為a，b的直線，類比到空間直角坐標(biāo)系中，在x軸、y軸、z軸上的截距分別為a，b，c(abc≠0)的平面方程為(　　) A.＋＋＝1 B

4、.＋＋＝1 C.＋＋＝1 D．a(chǎn)x＋by＋cz＝1 【解析】由類比推理得：若平面在x軸、y軸、z軸上的截距分別為a，b，c，則該平面的方程為：＋＋＝1. 【答案】A 4．一名法官在審理一起珍寶盜竊案時，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說：“我沒有作案，是丙偷的”；丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說：“乙說的是事實”．經(jīng)過調(diào)查核實，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是(　　) A．丁B．丙C．乙D．甲 【解析】 甲 乙 丙 丁 甲 √ √ √ 乙 √

5、 丙 √ √ 丁 √ 由四名嫌疑人所說，得上面的表，由于是兩對兩錯，如果乙說的是對的，則甲也對丁也對，不符．所以乙說假話，小偷不是丙．同時丁說的也是假話．即甲、丙說的是真話，小偷是乙． 【答案】C 【知識要點】 1．合情推理 歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，統(tǒng)稱為合情推理． 當(dāng)前提為真時，結(jié)論可能為真的推理叫__合情推理__．?dāng)?shù)學(xué)中常見的合情推理有：__歸納推理和類比推理__． (1)根據(jù)某類事物的部分對象具有的某些特征推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事

6、實概括出一般結(jié)論的推理，稱為__歸納推理__(簡稱歸納)．簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理． (2)由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為__類比推理__(簡稱類比)．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理． 2．演繹推理 (1)定義：演繹推理是根據(jù)__已有的事實的正確的結(jié)論__(包括定義、公理、定理等)，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程，簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理． (2)演繹推理的一般模式——“三段論” ①大前提——已知的一般性的原理； ②小前提——所研究的特殊情況； ③結(jié)論——根據(jù)一般原

7、理，對特殊情況做出的判斷． 典例剖析　【p90】 考點1　歸納推理 (1)已知x>0，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推廣為x＋≥n＋1，則a的值為(　　) A．n2 B．nn C．2n D．22n－2 【解析】由題意，當(dāng)分母的指數(shù)為1時，分子為11＝1； 當(dāng)分母的指數(shù)為2時，分子為22＝4； 當(dāng)分母的指數(shù)為3時，分子為33＝27； 據(jù)此歸納可得：x＋≥n＋1中，a的值為nn. 【答案】B (2)觀察下列等式： ①cos 2α＝2cos2α－1； ②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1； ③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18co

8、s2α－1； ④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1； ⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 可以推測，m－n＋p＝________． 【解析】觀察得：式子中所有項的系數(shù)和為1，∴m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，∴m＋n＋p＝162，又p＝10×5＝50，m＝29＝512，∴n＝－400，∴m－n＋p＝962. 【答案】962 (3)如圖，第n個圖形是由正n＋2邊形“擴(kuò)展”而來(n＝1，2，3，…)，則在第n個圖形中共有(　　)個頂點． A．

9、(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3) C．n2 D．n 【解析】第一個圖形由三角形“擴(kuò)展”而來，共有頂點3＋3×3＝3×(3＋1)；第二個圖形由四邊形“擴(kuò)展”而來，共有頂點4＋4×4＝4×(4＋1)；第三個圖形由五邊形“擴(kuò)展”而來，共有頂點5＋5×5＝5×(5＋1)；第四個圖形由六邊形“擴(kuò)展”而來，共有頂點6＋6×6＝6×(6＋1)；第n個圖形由n＋2邊形“擴(kuò)展”而來，共有頂點(n＋2)＋(n＋2)(n＋2)＝(n＋2)(n＋3)．故選B. 【答案】B 【點評】歸納推理問題的常見類型及解題策略 常見類型 解題策略 與數(shù)字有關(guān)的等式的推理 觀察數(shù)字特點，找出等式左右

10、兩側(cè)的規(guī)律及符號求解 與式子有關(guān)的推理 觀察每個式子的特點，找到規(guī)律后求解 與圖形變化有關(guān)的推理 合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡? 考點2　類比推理 (1)在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立．類比以上性質(zhì)，相應(yīng)地在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則成立的等式是(　　) A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b17－n(n＜17，n∈N*) B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b18－n(n＜18，n∈N*) C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b

11、17－n(n＜17，n∈N*) D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b18－n(n＜18，n∈N*) 【解析】在等差數(shù)列{an}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0， ∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1. 又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n. 若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n(n<17，n∈N*)， 相應(yīng)

12、的，在等比數(shù)列{bn}中，可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)． 【答案】A (2)已知邊長分別為a、b、c的三角形ABC面積為S，內(nèi)切圓O半徑為r，連接OA、OB、OC，則△OAB、△OBC、△OAC的面積分別為cr, ar, br，由S＝cr＋ar＋br得r＝，類比得四面體的體積為V，四個面的面積分別為S1, S2, S3, S4，則內(nèi)切球的半徑R＝__________． 【解析】由條件可知，三角形的面積公式是利用等積法來計算的． ∴根據(jù)類比可以得到，將四面體分解為四個小錐體，每個小錐體的高為內(nèi)切球的半徑， ∴根據(jù)體積相等可得R(S1＋S2＋S3＋S4)

13、＝V， 即內(nèi)切球的半徑R＝. 【答案】 【點評】類比推理的分類及處理方法 類別 解讀 適合題型 類比 定義 在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時，可以借助原定義來求解 已知熟悉定義類比新定義 類比 性質(zhì) 從一個特殊式子的性質(zhì)、一個特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵 平面幾何與立體幾何、等差數(shù)列與等比數(shù)列 類比 方法 有一些處理問題的方法具有類比性，可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，注意知識的遷移 已知熟悉的處理方法類比未知問題的處理方法

14、 考點3　演繹推理 已知函數(shù)y＝x＋有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a>0，那么該函數(shù)在(0，]上是減函數(shù)，在(，＋∞)上是增函數(shù)． (1)如果函數(shù)y＝x＋(x>0)的值域為[6，＋∞)，求b的值； (2)研究函數(shù)y＝x2＋(常數(shù)c>0)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由． 【解析】(1)用三段論方式進(jìn)行說明． ∵y＝x＋有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a>0，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在(，＋∞)上是增函數(shù)． 又y＝x＋(x>0)中，2b>0為常數(shù)． ∴y＝x＋是“y＝x＋(a>0)型”函數(shù)， ∴y＝x＋在上是減函數(shù)，在(，＋∞)上是增函數(shù)，∴當(dāng)x＝時，y＝x＋取最小值，又y＝x＋的值域為[6，＋∞)，∴

15、＋＝6，即＝3，∴2b＝9?b＝log29. (2)設(shè)f(x)＝y(tǒng)＝x2＋，則x∈R且x≠0，有f(－x)＝f(x)，故f(x)為偶函數(shù)． 先研究x>0時的單調(diào)性，然后根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求x<0時的單調(diào)性． 當(dāng)x>0時，令t＝x2，則y＝t＋(c>0)，則y＝t＋在(0，)上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)． ∴y＝x2＋(x>0，c>0)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，得y＝x2＋在上是減函數(shù)，在[－，0)上是增函數(shù)． 【點評】演繹推理是一種必然性推理．演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊(yùn)涵關(guān)系，因而，只要前提是真實的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論必定是真實的，但錯誤的前提可能導(dǎo)致錯誤的結(jié)

16、論． 方法總結(jié)　　【p91】 1．合情推理主要包括歸納推理和類比推理 在數(shù)學(xué)研究中，在得到一個新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論．證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向． 2．合情推理的過程 →→→ 3．演繹推理 演繹推理是從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況的結(jié)論的推理方法．是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論．?dāng)?shù)學(xué)問題的證明主要通過演繹推理來進(jìn)行． 4．注意歸納和類比的結(jié)論的可靠性有待于證明． 走進(jìn)高考　　【p91】 1．(2015·山東)觀察下列各式： C＝40； C＋C＝41； C＋C＋C＝42； C＋C＋C＋C＝43； …

17、 照此規(guī)律，當(dāng)n∈N*時， C＋C＋C＋…＋C＝________． 【解析】觀察每行等式的特點，每行等式的右端都是冪的形式，底數(shù)均為4，指數(shù)與等式左端最后一個組合數(shù)的上標(biāo)相等，故有C＋C＋C＋…＋C＝4n－1. 【答案】4n－1 2．(2017·全國卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則(　　) A．乙可以知道四人的成績 B．丁可以知道四人的成績 C．乙、丁可以知道對方的成績 D．乙、丁可以知道自己的成績

18、 【解析】依題意，四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成績，但還是不知道自己的成績，則乙、丙必有1位優(yōu)秀，1位良好，甲、丁必有1位優(yōu)秀，1位良好，因此，乙知道丙的成績后，必然知道自己的成績；丁知道甲的成績后，必然知道自己的成績，因此選擇D. 【答案】D 考點集訓(xùn)　　【p223】 A組題 1．因為對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)是增函數(shù)，而y＝logx是對數(shù)函數(shù)，所以y＝logx是增函數(shù)，上面的推理錯誤的是(　　) A．大前提B．小前提 C．推理形式D．以上都是 【解析】大前提“對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)是增函數(shù)”是錯誤的，只有當(dāng)a>1時，對數(shù)函數(shù)y

19、＝logax(a>0且a≠1)才是增函數(shù)． 【答案】A 2．下面圖形由小正方形組成，請觀察圖1至圖4的規(guī)律，并依此規(guī)律，則第n個圖形中小正方形的個數(shù)是(　　) A．2n－1 B．n2－1 C．2n－1 D. 【解析】由題圖知第n個圖形的小正方形個數(shù)為1＋2＋3＋…＋n. ∴總個數(shù)為. 【答案】D 3．在平面幾何中，可以得出正確結(jié)論：“正三角形的內(nèi)切圓半徑等于這個正三角形的高的.”拓展到空間中，類比平面幾何的上述結(jié)論，則正四面體的內(nèi)切球半徑等于這個正四面體的高的(　　) A.B.C.D. 【解析】從平面圖形類比空間圖形，從二維類比三維，可得如下的結(jié)論： 正四面體的內(nèi)

20、切球半徑等于這個正四面體高的， 證明如下：球心到正四面體的一個面的距離即為球的半徑r，連接球心與正四面體的四個頂點，把正四面體分成四個高為r的三棱錐，所以4×·S·r＝·S·h，解得r＝h， 所以正四面體的內(nèi)切球半徑等于這個正四面體的高的. 【答案】A 4．“現(xiàn)代五項”是由現(xiàn)代奧林匹克之父顧拜旦先生創(chuàng)立的運動項目，包含射擊、擊劍、游泳、馬術(shù)和越野跑五項運動．已知甲、乙、丙共三人參加“現(xiàn)代五項”．規(guī)定每一項運動的前三名得分都分別為a，b，c(a>b>c且a，b，c∈N*)，選手最終得分為各項得分之和．已知甲最終得22分，乙和丙最終各得9分，且乙的馬術(shù)比賽獲得了第一名，則游泳比賽的第三

21、名是(　　) A．甲B．乙 C．丙D．乙和丙都有可能 【解析】 射擊 擊劍 游泳 馬術(shù) 越野跑 總分 甲 5 5 5 2 5 22 乙 1 1 1 5 1 9 丙 2 2 2 1 2 9 總分為5(a＋b＋c)＝22＋9＋9＝40，所以a＋b＋c＝8，只有兩種可能5>2>1或4>3>1.顯然4>3>1不符，因為即使五個第一名也不夠22分．所以a＝5，b＝2，c＝1.所以由上面可知，甲其余四個選項都是第一名，馬術(shù)第二名，記2分，總共22分．由于丙馬術(shù)第三名，記1分，所以其余四項均第二名，記2分，共9分．乙馬術(shù)第一名，記5分，其余四

22、項均第三名，記1分，共9分． 【答案】B 5．在正項等差數(shù)列中有＝成立，則在正項等比數(shù)列中，類似的結(jié)論為__________． 【解析】結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，類比題中的結(jié)論可得：在正項等比數(shù)列中，類似的結(jié)論為＝. 【答案】＝ 6．甲、乙、丙三人到戶外植樹，三人分工合作，一人挖坑和填土，一人施肥，一人澆水，他們的身高各不同，現(xiàn)了解到以下情況： ①甲不是最高的； ②最高的沒澆水； ③最矮的施肥； ④乙不是最矮的，也沒挖坑和填土． 可以判斷丙的分工是__________(從挖坑和填土，施肥，澆水中選一項)． 【解析】由③④可知，乙澆水，由①②可知，丙是最高的，所以丙的分

23、工是挖坑和填土． 【答案】挖坑和填土 7．在銳角三角形ABC中，求證：sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C. 【解析】∵△ABC為銳角三角形， ∴A＋B＞， ∴A＞－B， ∵y＝sinx在上是增函數(shù)， ∴sin A＞sin＝cos B， 同理可得sin B＞cos C，sin C＞cos A， ∴sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C. 8．將各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成數(shù)表，如圖所示．記表中各行的第一個數(shù)a1，a2，a4，a7，…構(gòu)成數(shù)列{bn}，各行的最后一個數(shù)a1

24、，a3，a6，a10，…構(gòu)成數(shù)列{cn}，第n行所有數(shù)的和為Sn(n＝1，2，3，4，…)．已知數(shù)列{bn}是公差為d的等差數(shù)列，從第二行起，每一行中的數(shù)按照從左到右的順序，每一個數(shù)與它前面一個數(shù)的比是常數(shù)q，且a1＝a13＝1，a31＝. (1)求數(shù)列{cn}，{Sn}的通項公式； (2)求數(shù)列{cn}的前n項和Tn的表達(dá)式． 【解析】(1)bn＝dn－d＋1，前n行共有1＋2＋3＋…＋n＝個數(shù)，因為13＝＋3，所以a13＝b5×q2， 即(4d＋1)q2＝1，又因為31＝＋3，所以a31＝b8×q2， 即(7d＋1)q2＝，解得d＝2，q＝， 所以bn＝2n－1，cn＝bn

25、＝， Sn＝＝(2n－1)·. (2)Tn＝＋＋＋…＋，① Tn＝＋＋＋…＋.② ①－②，得 Tn＝1＋2－ ＝1＋2×－＝2－， 所以Tn＝3－. B組題 1．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝(　　) A．28 B．76 C．123 D．199 【解析】記an＋bn＝f(n)，則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，則f(6)＝f

26、(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123. 【答案】C 2．如圖，我們知道，圓環(huán)也可以看作線段AB繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的平面圖形，又圓環(huán)的面積S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×.所以，圓環(huán)的面積等于以線段AB＝R－r為寬，以AB中點繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長2π×為長的矩形面積．請你將上述想法拓展到空間，并解決下列問題：若將平面區(qū)域M＝{(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0

27、的旋轉(zhuǎn)體的體積是(　　) A．2πr2d B．2π2r2d C．2πrd2 D．2π2rd2 【解析】平面區(qū)域M的面積為πr2，由類比知識可知：平面區(qū)域M繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為實心的車輪內(nèi)胎，旋轉(zhuǎn)體的體積等于以圓(面積為πr2)為底，以O(shè)為圓心、d為半徑的圓的周長2πd為高的圓柱的體積，所以旋轉(zhuǎn)體的體積V＝πr2×2πd＝2π2r2d. 【答案】B 3．分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路．按照如圖所示的分形規(guī)律可得如圖乙所示的一個樹形圖： 若記圖乙中第n行白圈的個數(shù)為an，

28、則an＝________． 【解析】根據(jù)圖甲所示的分形規(guī)律，1個白圈分形為2個白圈1個黑圈，1個黑圈分形為1個白圈2個黑圈，第一行記為(1，0)，第二行記為(2，1)，第三行記為(5，4)，第四行的白圈數(shù)為2×5＋4＝14；黑圈數(shù)為5＋2×4＝13，∴第四行的”坐標(biāo)”為(14，13)；第五行的”坐標(biāo)”為(41，40)，各行白圈數(shù)乘以2，分別是2，4，10，28，82，即1＋1，3＋1，9＋1，27＋1，81＋1，∴可以歸納出第n行的白圈數(shù)為an＝(n∈N*)． 【答案】(n∈N*) 4．某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： ①sin213°＋cos217

29、°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°. (1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． 【解析】(1)選擇②式，計算如下： sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30° ＝1－＝. (

30、2)法一：三角恒等式為 sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝. 證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α) ＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sinαcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ＝sin2α＋cos2α＝. 法二：三角恒等式為 sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝. 證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝＋－sin α·(cos 30°cos α＋ sin 30°sin α) ＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α ＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α) ＝1－cos 2α－＋cos 2α＝. 15