《(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題8 立體幾何與空間向量 第58練 立體幾何中的軌跡問題練習(xí)(含解析)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題8 立體幾何與空間向量 第58練 立體幾何中的軌跡問題練習(xí)(含解析)(10頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第58練 立體幾何中的軌跡問題
[基礎(chǔ)保分練]
1.在等腰直角△ABC中,AB⊥AC,BC=2,M為BC的中點(diǎn),N為AC的中點(diǎn),D為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),△ABD沿AD翻折使BD⊥DC,點(diǎn)A在平面BCD上的投影為點(diǎn)O,當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),以下說法錯(cuò)誤的是( )
A.線段NO為定長
B.CO∈[1,)
C.∠AMO+∠ADB>180°
D.點(diǎn)O的軌跡是圓弧
2.已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1與平面A1B1C1D1垂直,且AD=AB,E為CC1的中點(diǎn),P在對(duì)角面BB1D1D所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),若EP與AC成30°角,則點(diǎn)P的軌跡為( )
A.圓 B.拋物線
2、
C.雙曲線 D.橢圓
3.(2019·杭州二中模擬)如圖,在平行四邊形ABCD中,AD=4,CD=2,∠ADC=,點(diǎn)E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).將△EDC沿EC翻折得到△ED′C(仍在平面ABCD內(nèi)),連接D′A,則D′A的最小值為( )
A.2-2 B.2-1
C. D.+1
4.(2019·嵊州模擬)如圖,已知矩形ABCD,E是邊AB上的點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),且AE=AD,將△ADE沿DE翻折至△A′DE,記二面角A′—BC—D為α,二面角A′—CD—E為β,二面角A′—DE—B為γ,則( )
A.α>β B.α<β
C.β≥γ D.β≤γ
5.如圖,在直三棱柱ABC
3、—A1B1C1中,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,外接球的球心為O,點(diǎn)E是側(cè)棱BB1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).有下列判斷:
①直線AC與直線C1E是異面直線;②A1E一定不垂直于AC1;③三棱錐E—AA1O的體積為定值;④AE+EC1的最小值為2.
其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.1B.2C.3D.4
6.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),F(xiàn)為線段CE(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將△DAF沿AF折起,使得平面ABD⊥平面ABCF.設(shè)直線FD與平面ABCF所成的角為θ,則sinθ的最大值為( )
A.B.C.D.
7.在正方體ABCD-A1B1C1D
4、1中(如圖),已知點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動(dòng),則下列四個(gè)命題:
①三棱錐A-D1PC的體積不變;
②直線AP與平面ACD1所成的角的大小不變;
③二面角P-AD1-C的大小不變;
④若M是平面A1B1C1D1上到點(diǎn)D和C1距離相等的點(diǎn),則M點(diǎn)的軌跡是直線A1D1.
其中真命題的序號(hào)是( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
8.如圖,平面α⊥β,α∩β=l,A,B是l上的兩個(gè)點(diǎn),C,D在α內(nèi),DA⊥l,CB⊥l,AB=BC=2AD=6,在平面β上有一動(dòng)點(diǎn)P使得PC,PD與β所成的角相等(P?l),設(shè)二面角P—CD—B的平面角為θ,則tanθ( )
A.僅有最大值
5、
B.僅有最小值
C.既有最大值又有最小值
D.無最值
9.如圖,在四面體D—ABC中,AD=BD=AC=BC=5,AB=DC=6.若M為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(不包含端點(diǎn)),則二面角D—MC—B的余弦值的取值范圍是__________.
10.(2019·臺(tái)州模擬)如圖,在棱長為2的正四面體S—ABC中,動(dòng)點(diǎn)P在側(cè)面SAB內(nèi),PQ⊥底面ABC,垂足為Q,若PS=PQ,則PC長度的最小值為________.
[能力提升練]
1.(2019·浙江金華十校聯(lián)考)在正方體ABCD—A1B1C1D1中,點(diǎn)M,N分別是直線CD,AB上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P是△A1C1D內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(不包括邊界),
6、記直線D1P與MN所成角為θ,若θ的最小值為,則點(diǎn)P的軌跡是( )
A.圓的一部分
B.橢圓的一部分
C.拋物線的一部分
D.雙曲線的一部分
2.如圖,已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為4,點(diǎn)H在棱AA1上,且HA1=1.在側(cè)面BCC1B1內(nèi)作邊長為1的正方形EFGC1,P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)P到平面CDD1C1距離等于線段PF的長.則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),|HP|2的最小值是( )
A.21B.22C.23D.25
3.如圖在正四面體(所有棱長都相等)D-ABC中,動(dòng)點(diǎn)P在平面BCD上,且滿足∠PAD=30°,若點(diǎn)P在平面ABC上的射影為P′,則sin
7、∠P′AB的最大值為( )
A. B.
C. D.
4.a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),若直線AB與a所成角為60°,則AB與b所成角為( )
A.60°B.30°C.90°D.45°
5.如圖,正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2,點(diǎn)P在正方形ABCD的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),平面區(qū)域W由所有滿足A1P≤的點(diǎn)P組成,則W的面積是____________,四面體P—A1BC的體積的最大值是________.
6.(2019·浙大附中模擬)如圖,矩形ABCD中,AB=1,BC=,將△
8、ABD沿對(duì)角線BD向上翻折,若翻折過程中AC長度在內(nèi)變化,則點(diǎn)A所形成的運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為________.
答案精析
基礎(chǔ)保分練
1.C 2.A 3.A 4.B 5.C 6.A 7.C 8.D
9.
解析 取AB的中點(diǎn)M0,
則CM0=DM0=4,AM0=BM0=3,
∵DM0⊥AB,CM0⊥AB,DM0∩CM0=M0,
∴AB⊥平面DM0C,又AB?平面ABC,
∴平面ABC⊥平面DM0C,交線為M0C.
過點(diǎn)D作DO⊥M0C,則DO⊥平面ABC.
先設(shè)點(diǎn)M在線段M0B上運(yùn)動(dòng),作OG⊥MC,連接DG,則∠DGO為二面角D—MC—B的平面角的補(bǔ)角.
在△DM0C
9、中,
cos∠DM0C==-,
sin∠DM0C=,
∴DO=4×=,OM0=.
設(shè)MM0=t,則CM=,OC=4+=,
又△OGC∽△MM0C?=?OG=,
在△DOG中,DG==6,
∴cos∠DGO==,
又t∈[0,3),∴cos∠DGO∈,由對(duì)稱性知,二面角D—MC—B的余弦值的取值范圍為.
10.
解析 作PH⊥AB于點(diǎn)H,連接QH,則∠PHQ為二面角S—AB—C的平面角,設(shè)AB的中點(diǎn)為G,S在平面ABC內(nèi)的射影為O′(O′為△ABC的中心),連接SG,GO′,SO′,則∠SGO′也是二面角S—AB—C的平面角,則sin∠PHQ==sin∠SGO′==,所以PH
10、=PQ,所以PH=PS,所以點(diǎn)P的軌跡是側(cè)面SAB內(nèi)以AB為準(zhǔn)線,以S為焦點(diǎn)的拋物線,SG的中點(diǎn)O是拋物線的頂點(diǎn),O到C的距離就是PC的最小值,此時(shí)由余弦定理可知,PC2=2+()2-2×××=,所以PCmin=.
能力提升練
1.B [把MN平移到平面A1B1C1D1中,直線D1P與MN所成角為θ,
直線D1P與MN所成角的最小值,是直線D1P與平面A1B1C1D1所成角,
即原問題轉(zhuǎn)化為:直線D1P與平面A1B1C1D1所成角為,點(diǎn)P在以D1為頂點(diǎn)的圓錐的側(cè)面上,
又∵點(diǎn)P是△A1C1D內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(不包括邊界),
∴點(diǎn)P的軌跡是橢圓的一部分.故選B.]
2.B [點(diǎn)P到平面
11、CDD1C1距離就是點(diǎn)P到直線CC1的距離,
所以點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到直線CC1的距離,因此點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn),以CC1為準(zhǔn)線的拋物線,在面A1ABB1中作HK⊥BB1于K,連接KP,
在Rt△HKP中,|HK|2+|PK|2=|HP|2,而|HK|=4,要想|HP|2最小,只要|PK|最小即可,由題意易求得|PK|=6,所以|HP|2最小值為22,故選B.]
3.A [以AD為軸,∠DAP=30°,AP為母線,圍繞AD旋轉(zhuǎn)一周,在平面BCD內(nèi)形成的軌跡為橢圓,
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓的短軸端點(diǎn)(圖中點(diǎn)M的位置)時(shí),∠P′AB最大,此時(shí)AD⊥DM,且DM∥BC.設(shè)正四面
12、體D-ABC的各棱長為2,在Rt△ADM中,AD=2,∠MAD=30°,則MD=,AM=.過點(diǎn)D作正四面體D-ABC的高DO,O為底面正三角形ABC的中心,連接AO,作MP′⊥平面ABC于點(diǎn)P′,連接P′O,并延長交AB于點(diǎn)N,因?yàn)镈M∥BC,MP′⊥平面ABC,DO⊥平面ABC,
所以MP′∥DO且MP′=DO,四邊形MP′OD為矩形,
所以P′O=DM=,ON=,
所以P′N=+.
又在正四面體D-ABC中,
AO=×2×=,
所以DO==,
所以MP′=.
在Rt△AMP′中,AP′==,
于是在△AP′N中,由正弦定理可得=,解得sin∠P′AB=,故選A.]
4.
13、A [由題意知,a,b,AC三條直線兩兩相互垂直,畫出圖形如圖,不妨設(shè)圖中所示正方體棱長為1,
故|AC|=1,|AB|=,
斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸,則A點(diǎn)保持不變,B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心,1為半徑的圓,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),以CD所在直線為x軸,CB所在直線為y軸,CA所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則D(1,0,0),A(0,0,1),直線a的方向單位向量a=(0,1,0),|a|=1,直線b的方向單位向量b=(1,0,0),|b|=1,
設(shè)B點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的坐標(biāo)B′(cosθ,sinθ,0),
其中θ為B′C與CD的夾角,θ∈[0,2π),
∴AB′在運(yùn)動(dòng)過程中的向量
14、
=(cosθ,sinθ,-1),||=,
與b所成夾角為β∈,
與a所成夾角為α∈,
|cosβ|==,
|cosα|==,
當(dāng)與a夾角為60°時(shí),即α=,
|sinθ|=|cosα|==,
當(dāng)與a的夾角為120°時(shí),α=,
|sinθ|==,
∵cos2θ+sin2θ=1,
∴|cosβ|=|cosθ|=,
∵β∈,∴β=或,此時(shí)AB與b所成角為60°.]
5.
解析 由題意可知,滿足A1P≤的點(diǎn)P是以A1為球心,為半徑的球及其內(nèi)部的點(diǎn),又因?yàn)辄c(diǎn)P在正方形ABCD的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),所以平面區(qū)域W是以A為圓心,1為半徑的圓的,所以可知W的面積是;點(diǎn)A1到平面P
15、BC的距離為h=2,所以四面體P—A1BC的體積為·h·S△PBC=·S△PBC,所以當(dāng)點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)時(shí),S△PBC取得最大值為2,四面體P—A1BC的體積取得最大值.
6.π
解析 如圖1,過點(diǎn)A作AO⊥BD,垂足為點(diǎn)O,過點(diǎn)C作直線AO的垂線,垂足為點(diǎn)E,
則易得AO=OE=,CE=1.在圖2中,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得點(diǎn)A在以點(diǎn)O為圓心,以AO為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),且BD垂直于圓O所在的平面.又因?yàn)镃E∥BD,所以CE垂直于圓O所在的平面,設(shè)當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A1處時(shí),CA1=,當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A2處時(shí),CA2=,則有CE⊥EA1,CE⊥EA2,則易得EA1=,EA2=,則易得△OEA2是以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形,在△OEA1中,由余弦定理易得cos∠EOA1=-,所以∠EOA1=120°,所以∠A1OA2=30°,所以點(diǎn)A所形成的軌跡為半徑為OA=,圓心角∠A1OA2=30°的圓弧,所以運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為×π×=π.
10