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(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 階段強(qiáng)化練(七)(含解析)

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1、階段強(qiáng)化練(七) 一、選擇題 1.(2019·成都診斷)已知橢圓C:16x2+4y2=1,則下列結(jié)論正確的是(  ) A.長軸長為 B.焦距為 C.短軸長為 D.離心率為 答案 D 解析 由橢圓方程16x2+4y2=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得 +=1,所以a=,b=,c=, 長軸2a=1,焦距2c=,短軸2b=, 離心率e==.故選D. 2.雙曲線-=1的漸近線方程是(  ) A.y=±3x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 答案 C 解析 因為-=1, 所以a=,b=3,漸近線方程為y=±x, 即為y=±x,故選C. 3.(2019·河北衡水中學(xué)調(diào)研)已知雙

2、曲線my2-x2=1(m∈R)與拋物線x2=8y有相同的焦點,則該雙曲線的漸近線方程為(  ) A.y=±x B.y=±3x C.y=±x D.y=±x 答案 A 解析 ∵拋物線x2=8y的焦點為(0,2), ∴雙曲線的一個焦點為(0,2),∴+1=4,∴m=, ∴雙曲線的漸近線方程為y=±x,故選A. 4.(2019·河北衡水中學(xué)模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)和直線l:+=1,若過C的左焦點和下頂點的直線與l平行,則橢圓C的離心率為(  ) A.B.C.D. 答案 A 解析 直線l的斜率為-,過C的左焦點和下頂點的直線與l平行,所以=, 又b2+c2=a2?2+

3、c2=a2?c2=a2, 所以e==,故選A. 5.(2019·洛陽、許昌質(zhì)檢)若雙曲線x2-=1(b>0)的一條漸近線與圓x2+(y-2)2=1至多有一個交點,則雙曲線離心率的取值范圍是(  ) A.(1,2] B.[2,+∞) C.(1,] D.[,+∞) 答案 A 解析 雙曲線x2-=1(b>0)的一條漸近線方程是bx-y=0,由題意圓x2+(y-2)2=1的圓心(0,2)到bx-y=0的距離不小于1,即≥1,則b2≤3,那么離心率e∈(1,2],故選A. 6.(2019·河北武邑中學(xué)調(diào)研)已知直線l:y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x相交于A,B兩點

4、,F(xiàn)為C的焦點,若|FA|=2|FB|,則k等于(  ) A.B.C.D. 答案 D 解析 由消去y得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0, Δ=(4k2-8)2-16k4>0,又k>0,解得00,x2>0, 由②③解得x1=4,x2=1,代入①得k2=, ∵00,b>0)的漸近線方程為y=±x,則E的離

5、心率為(  ) A.2B.C.2D.2 答案 C 解析 由題意,雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,即=,所以雙曲線的離心率為e====2,故選C. 8.(2019·河北衡水中學(xué)模擬)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1作圓x2+y2=a2的切線,交雙曲線右支于點M,若∠F1MF2=45°,則雙曲線的漸近線方程為(  ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x 答案 A 解析 如圖,作OA⊥F1M于點A,F(xiàn)2B⊥F1M于點B. 因為F1M與圓x2+y2=a2相切,∠F1MF2=45°, 所以|OA|=

6、a,|F2B|=|BM|=2a,|F2M|=2a,|F1B|=2b. 又點M在雙曲線上, 所以|F1M|-|F2M|=2a+2b-2a=2a. 整理,得b=a.所以=. 所以雙曲線的漸近線方程為y=±x.故選A. 9.(2019·湖南五市十校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C:y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,P為C上一點,PQ垂直l于點Q,M,N分別為PQ,PF的中點,直線MN與x軸交于點R,若∠NFR=60°,則|FR|等于(  ) A.2B.C.2D.3 答案 A 解析 由拋物線C:y2=4x,得焦點F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1, 因為M,N分別為PQ,PF的中

7、點, 所以MN∥QF, 所以四邊形QMRF為平行四邊形,|FR|=|QM|, 又由PQ垂直l于點Q,可知|PQ|=|PF|, 因為∠NFR=60°,所以△PQF為等邊三角形, 所以FM⊥PQ,所以|FR|=2,故選A. 10.已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,點M在E上,MF1與x軸垂直,sin∠MF2F1=,則E的離心率為(  ) A.B.C.D.2 答案 A 解析 因為MF1與x軸垂直,所以|MF1|=. 又sin∠MF2F1=,所以=, 即|MF2|=3|MF1|. 由雙曲線的定義,得2a=|MF2|-|MF1|=2|MF1|=,

8、 所以b2=a2,所以c2=b2+a2=2a2, 所以離心率e==. 11.(2019·湖南長沙長郡中學(xué)調(diào)研)已知點P(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與拋物線y2=2x交于不同的兩點A,B,若x軸是∠APB的角平分線,則直線l一定過點(  ) A.B.(1,0) C.(2,0) D.(-2,0) 答案 B 解析 根據(jù)題意,直線的斜率存在且不等于零,設(shè)直線的方程為x=ty+m(t≠0),與拋物線方程聯(lián)立,消元得y2-2ty-2m=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 因為x軸是∠APB的角平分線, 所以AP,BP的斜率互為相反數(shù), 所以+=0, 所以2ty1y2

9、+(m+1)(y1+y2)=0, 結(jié)合根與系數(shù)之間的關(guān)系,整理得出 2t(-2m)+2tm+2t=0,2t(m-1)=0, 因為t≠0,所以m=1,所以過定點(1,0),故選B. 12.(2019·陜西四校聯(lián)考)已知橢圓和雙曲線有共同的焦點F1,F(xiàn)2,P是它們的一個交點,且∠F1PF2=,記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1,e2,則+等于(  ) A.4B.2C.2D.3 答案 A 解析 如圖所示, 設(shè)橢圓的長半軸長為a1,雙曲線的實半軸長為a2, 則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義: |PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2, ∴|PF1|=a1+a2,|

10、PF2|=a1-a2, 設(shè)|F1F2|=2c,∠F1PF2=, 則在△PF1F2中,由余弦定理得 4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos, 化簡得3a+a=4c2, 該式可變成+=4.故選A. 二、填空題 13.已知雙曲線C:x2-y2=1,則點(4,0)到C的漸近線的距離為________. 答案 2 解析 雙曲線C:x2-y2=1的漸近線方程為y=±x,點(4,0)到C的漸近線的距離為=2. 14.(2019·新鄉(xiāng)模擬)設(shè)P為曲線2x=上一點,A(-,0),B(,0),若|PB|=2,則|PA|=________. 答案 4

11、 解析 由2x=,得4x2=4+y2(x>0), 即x2-=1(x>0), 故P為雙曲線x2-=1右支上一點, 且A,B分別為該雙曲線的左、右焦點, 則|PA|-|PB|=2a=2,|PA|=2+2=4. 15.已知拋物線y2=4x,圓F:(x-1)2+y2=1,直線y=k(x-1)(k≠0)自上而下順次與上述兩曲線交于點A,B,C,D,則|AB|·|CD|的值是________. 答案 1 解析 設(shè)A(x1,y1),D(x2,y2), 則|AB|·|CD|=(|AF|-1)(|DF|-1) =(x1+1-1)(x2+1-1)=x1x2, 由y=k(x-1)與y2=4x聯(lián)立

12、方程消y得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0, x1x2=1,因此|AB|·|CD|=1. 16.(2019·四省聯(lián)考診斷)在平面上給定相異兩點A,B,設(shè)P點在同一平面上且滿足=λ,當(dāng)λ>0且λ≠1時,P點的軌跡是一個圓,這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓,現(xiàn)有橢圓+=1(a>b>0),A,B為橢圓的長軸端點,C,D為橢圓的短軸端點,動點P滿足=2,△PAB的面積最大值為,△PCD面積的最小值為,則橢圓的離心率為________. 答案  解析 依題意A(-a,0),B(a,0),設(shè)P(x,y), 依題意得|PA|=2|PB|, =2,

13、兩邊平方化簡得2+y2=2, 故圓心為,半徑r=. 所以△PAB的最大面積為·2a·a=,解得a=2, △PCD的最小面積為·2b·=b·=, 解得b=1. 故橢圓的離心率為e===. 三、解答題 17.(2019·湖南長沙長郡中學(xué)調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓M:(x-3)2+(y-b)2=r2(r為正數(shù),b∈R). (1)若對任意給定的r∈(0,+∞),直線l:y=-x+r+4總能把圓M的周長分成3∶1的兩部分,求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)已知點A(0,3),B(1,0),且r=,若線段AB上存在一點P,使得過點P的某條直線與圓M交于點S,T(其中|PS|<|PT|

14、),且|PS|=|ST|,求實數(shù)b的取值范圍. 解 (1)根據(jù)題意可得,圓心到直線的距離為r恒成立, 即=r,整理得|b-1-r|=r, 去絕對值符號可得b-1-r=r或b-1-r=-r, 根據(jù)恒成立,可得b=1, 所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y-1)2=r2. (2)根據(jù)題意,如果存在滿足條件的點,對應(yīng)的邊界值為過圓心的弦,而從另一個角度,即為線段端點值滿足條件即可,先考慮點A,即為|AM|≤3r, 即(0-3)2+(b-3)2≤9×,解得2≤b≤4, 再考慮點B,即為|BM|≤3r,即(1-3)2+b2≤10, 解得-≤b≤, 兩者取并集,得到b的取值范圍是[-

15、,4]. 18.(2019·陜西四校聯(lián)考)已知拋物線C:y2=2px過點A(1,1). (1)求拋物線C的方程; (2)若過點P(3,-1)的直線與拋物線C交于M,N兩個不同的點(均與點A不重合).設(shè)直線AM,AN的斜率分別為k1,k2,求證:k1·k2為定值. (1)解 由題意得2p=1,所以拋物線方程為y2=x. (2)證明 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 直線MN的方程為x=t(y+1)+3, 代入拋物線方程得y2-ty-t-3=0. 所以Δ=(t+2)2+8>0,y1+y2=t,y1y2=-t-3. 所以k1·k2=·=· == ==-, 所以k1·k2是定值. 9

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