《(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理與古典概率 第3講 二項(xiàng)式定理練習(xí)(含解析)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理與古典概率 第3講 二項(xiàng)式定理練習(xí)(含解析)(8頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第3講 二項(xiàng)式定理
[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1.(2019·金華十校期末調(diào)研)在(x2-4)5的展開式中,含x6的項(xiàng)的系數(shù)為( )
A.20 B.40
C.80 D.160
解析:選D.Tr+1=C(x2)5-r(-4)r=(-4)rCx10-2r,
令10-2r=6,解得r=2,
所以含x6的項(xiàng)的系數(shù)為(-4)2C=160.
2.(2019·臺(tái)州高三期末考試)已知在(-)n的展開式中,第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則n=( )
A.9 B.8
C.7 D.6
解析:選D.因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),由C()n-5(-)5=-()n-5C·xn-6,可得n-6=0,解得n=6.故選D.
3.(
2、2019·溫州市普通高中???在的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為64,則x3的系數(shù)為( )
A.15 B.45
C.135 D.405
解析:選C.由題意=64,n=6,Tr+1=Cx6-r=3rCx6-,令6-=3,r=2,32C=135.
4.(2019·湖州市高三期末考試)若(x+)(2x-)5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項(xiàng)是( )
A.-40 B.-20
C.40 D.20
解析:選C.令x=1,(1+a)×(2-1)5=2,解得a=1.
所以(2x-)5的通項(xiàng)公式
Tr+1=C(2x)5-r(-)r=(-1)r25-rCx5-2r,
3、令5-2r=-1,5-2r=1.
解得r=3或2.
所以該展開式中常數(shù)項(xiàng)=(-1)322C+(-1)2×23C=40.
5.(x2-x+1)10的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為( )
A.-210 B.210
C.30 D.-30
解析:選A.(x2-x+1)10=[x2-(x-1)]10=C(x2)10-C(x2)9(x-1)+…-Cx2(x-1)9+C(x-1)10,
所以含x3項(xiàng)的系數(shù)為:-CC+C(-C)=-210.
6.(x2+x+y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為( )
A.10 B.20
C.30 D.60
解析:選C.(x2+x+y)5的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=
4、C(x2+x)5-r·yr,令r=2,則T3=C(x2+x)3y2,又(x2+x)3的展開式的通項(xiàng)為C(x2)3-k·xk=Cx6-k,令6-k=5,則k=1,所以(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為CC=30,故選C.
7.已知(ax+b)6的展開式中x4項(xiàng)的系數(shù)與x5項(xiàng)的系數(shù)分別為135與-18,則(ax+b)6的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為( )
A.-1 B.1
C.32 D.64
解析:選D.由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可知x4項(xiàng)的系數(shù)為Ca4b2,x5項(xiàng)的系數(shù)為Ca5b,則由題意可得,解得a+b=±2,故(ax+b)6的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為(a+b)6=64,選D.
5、
8.在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( )
A.45 B.60
C.120 D.210
解析:選C.因?yàn)閒(m,n)=CC,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=CC+CC+CC+CC=120.
9.(2019·義烏調(diào)研測(cè)試)若(x2-a)的展開式中x6的系數(shù)為30,則a等于( )
A. B.
C.1 D.2
解析:選D.因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為Tr+1=Cx10-r·=Cx10-2r,所以(x2-a)的展開式中含x6的項(xiàng)為x2·Cx4-aCx6=(C-aC)
6、x6,則C-aC=30,解得a=2,故選D.
10.(2019·臺(tái)州模擬)(x+2y)7的展開式中,系數(shù)最大的項(xiàng)是( )
A.68y7 B.112x3y4
C.672x2y5 D.1 344x2y5
解析:選C.設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大,則有
即
即解得
又因?yàn)閞∈Z,所以r=5.所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T6=Cx2·25y5=672x2y5.故選C.
11.(2019·金華市東陽二中高三調(diào)研)在二項(xiàng)式的展開式中恰好第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是________.
解析:因?yàn)樵诙?xiàng)式的展開式中恰好第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以n=8,
展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=
7、C·(-1)r·x8-2r,
令8-2r=2,則r=3,所以展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是-C=-56.
答案:-56
12.(2019·溫州中學(xué)高三???已知(1+x+x2)(n∈N*)的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng),且2≤n≤8,則n=________.
解析:因?yàn)榈耐?xiàng)公式Tr+1=Cxn-r·x-3r=Cxn-4r,故當(dāng)n-4r=0,-1,-2時(shí)存在常數(shù)項(xiàng),即n=4r,4r-1,4r-2,故n=2,3,4,6,7,8時(shí)為常數(shù)項(xiàng),所以當(dāng)n=5時(shí)沒有常數(shù)項(xiàng)符合題設(shè).
答案:5
13.若直線x+ay-1=0與2x-y+5=0垂直,則二項(xiàng)式的展開式中x4的系數(shù)為________.
解析:由兩條直
8、線垂直,得1×2+a×(-1)=0,得a=2,所以二項(xiàng)式為,其通項(xiàng)公式Tr+1=C(2x2)5-r·=(-1)r25-rCx10-3r,令10-3r=4,解得r=2,所以二項(xiàng)式的展開式中x4的系數(shù)為23C=80.
答案:80
14.已知(1+x)5的展開式中xr(r∈Z且-1≤r≤5)的系數(shù)為0,則r=________.
解析:依題意,(1+x)5的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=Cxr,故展開式為(x5+5x4+10x3+10x2+5x+1),故可知展開式中x2的系數(shù)為0,故r=2.
答案:2
15.(2019·杭州市高考模擬)若(2x-)n的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為64,則n=__
9、______;展開式中的常數(shù)項(xiàng)是________.
解析:因?yàn)?2x-)n的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為2n=64,則n=6;根據(jù)(2x-)n=(2x-)6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C·(-1)r·(2x)6-r·x-2r=C·(-1)r·26-r·x6-3r,
令6-3r=0,求得r=2,可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)是C·24=240.
答案:6 240
16.(2019·浙江東陽中學(xué)高三檢測(cè))已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,則a0=________;(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5+a7)2=________.
解析:由(1-2x)7=a0+a
10、1x+a2x2+…+a7x7,
觀察:可令x=0得:(1-2×0)7=a0+a1×0+…+a7×0=1,a0=1.
(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5+a7)2=(a0+a1+…+a7)[a0+a2+a4+a6-(a1+a3+a5+a7)],
則可令x=1得:
(1-2×1)7=a0+a1+a2+…+a7=-1,
再可令x=-1得:
(1+2×1)7=a0-a1+a2-a3+…-a7=37=2 187,
可得:(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5+a7)2
=-1×2 187=-2 187.
答案:1 -2 187
17.設(shè)f(x)是(x2+)6展
11、開式中的中間項(xiàng),若f(x)≤mx在區(qū)間[,]上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
解析:(x2+)6的展開式中的中間項(xiàng)為第四項(xiàng),即f(x)=C(x2)3()3=x3,因?yàn)閒(x)≤mx在區(qū)間[,]上恒成立,所以m≥x2在[,]上恒成立,所以m≥(x2)max=5,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是
[5,+∞).
答案:[5,+∞)
[能力提升]
1.C+C+…+C+…+C(n∈N*)的值為( )
A.2n B.22n-1
C.2n-1 D.22n-1-1
解析:選D.(1+x)2n=C+Cx+Cx2+Cx3+…+Cx2n.
令x=1,得C+C+C+…+C+C=22n;
12、再令x=-1,得C-C+C-…+(-1)rC+…-C+C=0.
兩式相加,可得C+C+…+C=-1=22n-1-1.
2.(2019·杭州七校聯(lián)考)若(x+y)9按x的降冪排列的展開式中,第二項(xiàng)不大于第三項(xiàng),且x+y=1,xy<0,則x的取值范圍是( )
A. B.
C. D.(1,+∞)
解析:選D.二項(xiàng)式(x+y)9的展開式的通項(xiàng)是
Tr+1=C·x9-r·yr.
依題意,有
由此得
解之得x>1,即x的取值范圍為(1,+∞).
3.若的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為A,B,C,且滿足4A=9(C-B),則展開式為x2的系數(shù)為________.
解析:易得A=1,B=,
13、C==,所以有4=9,即n2-7n-8=0,解得n=8或n=-1(舍).在中,因?yàn)橥?xiàng)Tr+1=Cx8-r=·x8-2r,令8-2r=2,得r=3,所以展開式中x2的系數(shù)為.
答案:
4.已知(xtan θ+1)5的展開式中x2的系數(shù)與的展開式中x3的系數(shù)相等,則tan θ=________.
解析:的通項(xiàng)為Tr+1=C·x4-r·,令4-r=3,則r=1,所以的展開式中x3的系數(shù)是C·=5,(xtan θ+1)5的通項(xiàng)為TR+1=C·(xtan θ)5-R,令5-R=2,得R=3,所以(xtan θ+1)5的展開式中x2的系數(shù)是C·tan2θ=5,所以tan2θ=,所以tan θ=±.
14、
答案:±
5.(2019·臺(tái)州市書生中學(xué)高三期中)設(shè)m,n∈N,f(x)=(1+x)m+(1+x)n.
(1)當(dāng)m=n=5時(shí),若f(x)=a5(1-x)5+a4(1-x)4+…+a1(1-x)+a0,求a0+a2+a4的值;
(2)f(x)展開式中x的系數(shù)是9,當(dāng)m,n變化時(shí),求x2系數(shù)的最小值.
解:(1)當(dāng)m=n=5時(shí),f(x)=2(1+x)5,
令x=0,則f(0)=a5+a4+…+a1+a0=2,
令x=2,則f(2)=-a5+a4-…-a1+a0=2×35,
所以a0+a2+a4==35+1=244.
(2)由題意得f(x)展開式中x的系數(shù)是
C+C=m+n=9
15、,
x2系數(shù)為C+C=+==,
又==,
因?yàn)閙,n∈N,所以當(dāng)m=4或m=5時(shí)最小,最小值為16.
6.(2019·金麗衢十二校聯(lián)考)已知.
(1)若展開式中第5項(xiàng),第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù);
(2)若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79,求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).
解:(1)通項(xiàng)Tr+1=C·(2x)r=22r-nCxr,
由題意知C,C,C成等差數(shù)列,
所以2C=C+C,所以n=14或7.
當(dāng)n=14時(shí),第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,該項(xiàng)的系數(shù)為22×7-14C=3 432;
當(dāng)n=7時(shí),第4、5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大,
其系數(shù)分別為22×3-7C=,22×4-7C=70.
(2)由題意知C+C+C=79,
所以n=12或n=-13(舍).
所以Tr+1=22r-12Cxr.
由得所以r=10.
所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11=22×10-12·Cx10=(2x)10.
8