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(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 概率、隨機(jī)變量及其分布 第6講 幾何概型練習(xí)(含解析)

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1、第6講 幾何概型 一、選擇題 1.在區(qū)間[-2,3]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)x,即x≤1,故所求的概率為(  ) A. B. C. D. 解析 在區(qū)間[-2,3]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)x,且x≤1,即-2≤x≤1,故所求的概率為P=. 答案 B 2.如圖所示,半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域,在圓中隨機(jī)扔一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是,則陰影部分的面積是(  ) A. B.π C.2π D.3π 解析 設(shè)陰影部分的面積為S,且圓的面積S′=π·32=9π.由幾何概型的概率,得=,則S=3π. 答案 D 3.(2015·山東卷)在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取

2、一個(gè)數(shù)x,則事件“-1≤log≤1”發(fā)生的概率為(  ) A. B. C. D. 解析 由-1≤log≤1,得≤x+≤2, 解得0≤x≤,所以事件“-1≤log≤1”發(fā)生的 概率為=,故選A. 答案 A 4.(2017·東北師大附中檢測(cè))若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是(  ) A. B. C. D. 解析 設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A,則P(A)===. 答案 B 5.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD

3、-A1B1C1D1 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為(  ) A. B.1- C. D.1- 解析 設(shè)“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為事件A. 則事件A發(fā)生時(shí),點(diǎn)P位于以點(diǎn)O為球心,以1為半徑的半球的外部. ∴V正方體=23=8,V半球=π·13×=π. ∴P(A)==1-. 答案 B 6.已知△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一點(diǎn)D,則使△ABD為鈍角三角形的概率為(  ) A. B. C. D. 解析 如圖,當(dāng)BE=1時(shí),∠AEB為直角,則點(diǎn)D在線段BE(不包含B,E點(diǎn))上時(shí),△ABD為鈍角三角形;當(dāng)BF=4時(shí),

4、∠BAF為直角,則點(diǎn)D在線段CF(不包含C,F(xiàn)點(diǎn))上時(shí),△ABD為鈍角三角形.所以△ABD為鈍角三角形的概率為=. 答案 C 7.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是(  ) A. B. C. D. 解析 如圖所示,正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D,且區(qū)域D的面積為4,而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到原點(diǎn)距離大于2的區(qū)域,易知該陰影部分的面積為4-π,因此滿足條件的概率是.故選D. 答案 D 8.(2017·華師附中聯(lián)考)在區(qū)間[0,4]上隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,使得x+2y≤8的概率為(  ) A. B

5、. C. D. 解析 由x,y∈[0,4]知(x,y)構(gòu)成的區(qū)域是邊長(zhǎng)為4的正方形及其內(nèi)部,其中滿足x+2y≤8的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分. 易知A(4,2),S正方形=16, S陰影==12.故“使得x+2y≤8”的概率P==. 答案 D 9.已知正三棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為4,高為3,在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P,使得VP-ABC<VS-ABC的概率是(  ) A. B. C. D. 解析 當(dāng)點(diǎn)P到底面ABC的距離小于時(shí), VP-ABC<VS-ABC. 由幾何概型知,所求概率為P=1-=. 答案 A 10.設(shè)復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|

6、z|≤1,則y≥x的概率為(  ) A.+π B.+ C.- D.- 解析 因?yàn)閺?fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,y∈R)且|z|≤1,所以|z|=≤1,即(x-1)2+y2≤1, 即點(diǎn)(x,y)在以(1,0)為圓心、1為半徑的圓及其內(nèi)部,而y≥x表示直線y=x左上方的部分(圖中陰影弓形),所以所求概率為弓形的面積與圓的面積之比,即P==-. 答案 D 二、填空題 11.在區(qū)間[-2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,若x滿足|x|≤m的概率為,則m=________. 解析 由|x|≤m,得-m≤x≤m. 當(dāng)m≤2時(shí),由題意得=,解得m=2.5,矛盾,舍去. 當(dāng)2<m<4時(shí),

7、由題意得=,解得m=3. 答案 3 12.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,有一動(dòng)點(diǎn)在此長(zhǎng)方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng),則此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A-A1BD內(nèi)的概率為_(kāi)_______. 解析 因?yàn)閂A-A1BD=VA1-ABD=AA1×S△ABD=×AA1×S矩形ABCD=V長(zhǎng)方體,故所求概率為=. 答案  13.(2016·山東卷)在[-1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為_(kāi)_______. 解析 直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交的充要條件是圓心(5,0)到直線y=kx的距離小于3. 則<3,解之得-<k<,故所求事件的概率

8、P==. 答案  14.(2017·唐山模擬)如圖,將半徑為1的圓分成相等的四段弧,再將四段弧圍成星形放在圓內(nèi)(陰影部分).現(xiàn)在往圓內(nèi)任投一點(diǎn),此點(diǎn)落在星形區(qū)域內(nèi)的概率為_(kāi)_______. 解析 順次連接星形的四個(gè)頂點(diǎn),則星形區(qū)域的面積等于()2-4=4-π,又因?yàn)閳A的面積等于π×12=π,因此所求的概率等于=-1. 答案?。? 15.在區(qū)間[-1,4]內(nèi)取一個(gè)數(shù)x,則2x-x2≥的概率是(  ) A. B. C. D. 解析 由2x-x2≥,得-1≤x≤2.又-1≤x≤4. ∴所求事件的概率P==. 答案 D 16.如圖,“天宮一號(hào)”運(yùn)行的軌跡是如圖的兩個(gè)類同

9、心圓,小圓的半徑為2 km,大圓的半徑為4 km,衛(wèi)星P在圓環(huán)內(nèi)無(wú)規(guī)則地自由運(yùn)動(dòng),運(yùn)行過(guò)程中,則點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離小于3 km的概率為(  ) A. B. C. D. 解析 根據(jù)幾何概型公式,小于3 km的圓環(huán)面積為π(32-22)=5π;圓環(huán)總面積為π(42-22)=12π,所以點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離小于3 km的概率為P(A)==. 答案 B 17.已知平面區(qū)域D={(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1},在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn),則取到的點(diǎn)位于直線y=kx(k∈R)下方的概率為(  ) A. B. C. D. 解析 由題設(shè)知,區(qū)域D是以原點(diǎn)為中心的正方形,根據(jù)圖形的對(duì)

10、稱性知,直線y=kx將其面積平分,如圖,故所求概率為. 答案 A 18.(2017·長(zhǎng)春質(zhì)檢)在區(qū)間[0,π]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得sin x∈的概率為(  ) A. B. C. D. 解析 由0≤sin x≤,且x∈[0,π], 解之得x∈∪. 故所求事件的概率P==. 答案 C 19.(2017·成都診斷)如圖,大正方形的面積是34,四個(gè)全等直角三角形圍成一個(gè)小正方形,直角三角形的較短邊長(zhǎng)為3,向大正方形內(nèi)拋撒一枚幸運(yùn)小花朵,則小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為(  ) A. B. C. D. 解析 ∵大正方形的面積是34,∴大正方形的邊長(zhǎng)是,由

11、直角三角形的較短邊長(zhǎng)為3,得四個(gè)全等直角三角形的直角邊分別是5和3,則小正方形邊長(zhǎng)為2,面積為4,∴小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為P==. 答案 B 20.有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱,點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心,在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為(  ) A. B. C. D. 解析 V圓柱=2π,V半球=×π×13=π,=,故點(diǎn)P到O的距離大于1的概率為. 答案 A 21.(2015·湖北卷)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x,y,記p1為事件“x+y≤”的概率,p2為事件“xy≤”的概率,則(  ) A.p1

12、

13、平面上的點(diǎn),試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)? Ω={(a,b)|-π≤a≤π,-π≤b≤π},其面積SΩ=(2π)2=4π2. 事件A表示函數(shù)f(x)有零點(diǎn), 所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸={(a,b)|a2+b2≥π2},即圖中陰影部分,其面積為SM=4π2-π3,故P(A)===1-. 答案 B 23.(2017·安徽江南名校聯(lián)考)AB是半徑為1的圓的直徑,M為直徑AB上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作垂直于直徑AB的弦,則弦長(zhǎng)大于的概率是________. 解析 依題意知,當(dāng)相應(yīng)的弦長(zhǎng)大于時(shí),圓心到弦的距離小于=,因此相應(yīng)的點(diǎn)M應(yīng)位于線段AB上與圓心的距離小于的地方,所求的概率等于. 答案  24.一只

14、蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行,若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1,稱其為“安全飛行”,則蜜蜂“安全飛行”的概率為_(kāi)_______. 解析 由已知條件,可知蜜蜂只能在一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體內(nèi)飛行,結(jié)合幾何概型,可得蜜蜂“安全飛行”的概率為P==. 答案  25.小波通過(guò)做游戲的方式來(lái)確定周末活動(dòng),他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn),若此點(diǎn)到圓心的距離大于,則周末去 看電影;若此點(diǎn)到圓心的距離小于,則去打籃球;否則,在家看書(shū).則小波周末不在家看書(shū)的概率為_(kāi)_______. 解析 ∵去看電影的概率P1==, 去打籃球的概率P2==, ∴不在家看書(shū)的概率為P=+=. 答案  26.隨機(jī)地向半圓0<y<(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn),點(diǎn)落在圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,則原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于的概率為_(kāi)_______. 解析 由0<y<(a>0). 得(x-a)2+y2<a2. 因此半圓域如圖所示. 設(shè)A表示事件“原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于”,由幾何概型的概率計(jì)算公式得P(A)===+. 答案?。? 9

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