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1、 2023屆新高考一輪復習 導數 一．函數的切線問題 一、基礎知識： （一）與切線相關的定義 1、切線的定義：在曲線的某點A附近取點B，并使B沿曲線不斷接近A。這樣直線AB的極限位置就是曲線在點A的切線。 （1）此為切線的確切定義，一方面在圖像上可定性的理解為直線剛好與曲線相碰，另一方面也可理解為一個動態(tài)的過程，讓切點A附近的點向不斷接近，當與距離非常小時，觀察直線是否穩(wěn)定在一個位置上 （2）判斷一條直線是否為曲線的切線，不再能用公共點的個數來判定。例如函數在處的切線，與曲線有兩個公共點。 （3）在定義中，點不斷接近包含兩個方向，點右邊的點向左接近，左邊的點向右接近，只有無

2、論從哪個方向接近，直線的極限位置唯一時，這個極限位置才能夠成為在點處的切線。對于一個函數，并不能保證在每一個點處均有切線。例如在處，通過觀察圖像可知，當左邊的點向其無限接近時，割線的極限位置為，而當右邊的點向其無限接近時，割線的極限位置為，兩個不同的方向極限位置不相同，故在處不含切線 （4）由于點沿函數曲線不斷向接近，所以若在處有切線，那么必須在點及其附近有定義（包括左邊與右邊） 2、切線與導數：設函數上點在附近有定義且附近的點，則割線斜率為： 當無限接近時，即接近于零，直線到達極限位置時的斜率表示為： , 即切線斜率，由導數定義可知：。故為在處切線的斜率。這是導數的幾何意義。

3、 3、從導數的幾何意義中可通過數形結合解釋幾類不含導數的點： （1）函數的邊界點：此類點左側（或右側）的點不在定義域中，從而某一側不含割線，也就無從談起極限位置。故切線不存在，導數不存在；與此類似還有分段函數如果不連續(xù)，則斷開處的邊界值也不存在導數 （2）已知點與左右附近點的割線極限位置不相同，則不存在切線，故不存在導數。例如前面例子在處不存在導數。此類情況多出現在單調區(qū)間變化的分界處，判斷時只需選點向已知點左右靠近，觀察極限位置是否相同即可 （3）若在已知點處存在切線，但切線垂直軸，則其斜率不存在，在該點處導數也不存在。例如：在處不可導 綜上所述：（1）-（3）所談的點均不存在導數，

4、而（1）（2）所談的點不存在切線，（3）中的點存在切線，但沒有導數。由此可見：某點有導數則必有切線，有切線則未必有導數 。 （二）方法與技巧： 1、求切線方程的方法：一點一方向可確定一條直線，在求切線時可考慮先求出切線的斜率（切點導數）與切點，在利用點斜式寫出直線方程 2、若函數的導函數可求，則求切線方程的核心要素為切點的橫坐標，因為可“一點兩代”，代入到原函數，即可得到切點的縱坐標，代入到導函數中可得到切線的斜率,從而一點一斜率，切線即可求。所以在解切線問題時一定要盯住切點橫坐標，千方百計的把它求解出來。 3、求切線的問題主要分為兩大類，一類是切點已知，那么只需將切點橫坐標代入到原函

5、數與導函數中求出切點與斜率即可，另一類是切點未知，那么先要設出切點坐標,再考慮利用條件解出核心要素，進而轉化成第一類問題 4、在解析幾何中也學習了求切線的方法，即先設出切線方程，再與二次方程聯(lián)立利用求出參數值進而解出切線方程。解析幾何中的曲線與函數同在坐標系下，所以兩個方法可以互通。若某函數的圖像為圓錐曲線，二次曲線的一部分，則在求切線時可用解析的方法求解，例如：（圖像為圓的一部分）在處的切線方程，則可考慮利用圓的切線的求法進行解決。若圓錐曲線可用函數解析式表示，像焦點在軸的拋物線，可看作關于的函數，則在求切線時可利用導數進行快速求解（此方法也為解析幾何中處理焦點在軸的拋物線切線問題的重要方

6、法） 5、在處理切線問題時要注意審清所給已知點是否為切點。“在某點處的切線”意味著該點即為切點，而“過某點的切線”則意味著該點有可能是切點，有可能不是切點。如果該點恰好在曲線上那就需要進行分類討論了。 二、典型例題 例1：求函數在處的切線方程 例2：已知函數，則： （1）在曲線上是否存在一點，在該點處的切線與直線平行 （2）在曲線上是否存在一點，在該點處的切線與直線垂直 例3：函數上一點處的切線方程為，求的值 例4：曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（　?。? A. B. C. D. 例5：一點在曲線上移動，設點處切線的

7、傾斜角為，則角的取值范圍是( )． A. B. C. D. 例6：求過點，且與曲線相切的直線方程 例7：設函數，若曲線的斜率最小的切線與直線平行，求的值 例9：（2014，北京）已知函數，若過點存在3條直線與曲線相切，求的取值范圍 例10：已知曲線，點在拋物線上且的橫坐標為，過作斜率為的直線交于另一點，交軸于，過點且與垂直的直線與交于另一點，問是否存在實數，使得直線與曲線相切？若存在，求出的值，若不存在，說明理由。 三、近年好題精選： 1、設函數，曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處的切線方程為________ 2、

8、已知直線與曲線切于點，則的值為_________ 3、若曲線與曲線存在公切線，則的最值情況為（ ） A．最大值為 B．最大值為 C．最小值為 D．最小值為 4、已知曲線在點處的切線與曲線相切，則_______ 5、設曲線在點處的切線與曲線上點處的切線垂直，則的坐標為_________ 6、曲線在點處的切線方程為__________ 7、若曲線上點處的切線平行于直線，則點的坐標為__________ 8、已知函數，則過原點且與函數圖像相切的直線方程為______ 9、已知函數，若函數的圖像在處的切線方程為，則_______,_______

9、___ 二．函數的單調區(qū)間 單調性是函數的一個重要性質，對函數作圖起到決定性的作用，而導數是分析函數單調區(qū)間的一個便利工具。求一個已知函數的單調區(qū)間是每一個學生的必備本領，在求解的過程中也要學會一些方法和技巧。 一、基礎知識： 1、函數的單調性：設的定義域為，區(qū)間，若對于，有，則稱在上單調遞增，稱為單調遞增區(qū)間。若對于，有，則稱在上單調遞減，稱為單調遞減區(qū)間。 2、導數與單調區(qū)間的聯(lián)系 （1）函數在可導，那么在上單調遞增 此結論可以這樣理解：對于遞增的函數，其圖像有三種類型： ，無論是哪種圖形，其上面任意一點的切

10、線斜率均大于零。 等號成立的情況：一是單調區(qū)間分界點導數有可能為零，例如：的單調遞增區(qū)間為，而，另一種是位于單調區(qū)間內但導數值等于零的點，典型的一個例子為在處的導數為0，但是位于單調區(qū)間內。 （2）函數在可導，則在上單調遞減 （3）前面我們發(fā)現了函數的單調性可以決定其導數的符號，那么由的符號能否推出在的單調性呢？如果不是常值函數，那么便可由導數的符號對應推出函數的單調性。（這也是求函數單調區(qū)間的理論基礎） 3、利用導數求函數單調區(qū)間的步驟 （1）確定函數的定義域 （2）求出的導函數 （3）令（或），求出的解集，即為的單調增（或減）區(qū)間 （4）列出表格 4、求單調區(qū)間的一些技巧

11、 （1）強調先求定義域，一方面定義域對單調區(qū)間有限制作用（單調區(qū)間為定義域的子集）。另一方面通過定義域對取值的限制，對解不等式有時會起到簡化的作用，方便單調區(qū)間的求解 （2）在求單調區(qū)間時優(yōu)先處理恒正恒負的因式，以簡化不等式 （3）一般可令，這樣解出的解集就是單調增區(qū)間（方便記憶），若不存在常值函數部分，那么求減區(qū)間只需要取增區(qū)間在定義域上的補集即可(簡化求解的步驟） （4）若的解集為定義域，那么說明是定義域上的增函數，若的解集為，那么說明沒有一個點切線斜率大于零，那么是定義域上的減函數 （5）導數只是求單調區(qū)間的一個有力工具，并不是唯一方法，以前學過的一些單調性判斷方法也依然好用，

12、例如：增+增→增，減+減→減，增→減，復合函數單調性同增異減等。如果能夠通過結論直接判斷，那么就無需用導數來判定。 5、求單調區(qū)間的一些注意事項 （1）單調區(qū)間可以用開區(qū)間來進行表示，如果用閉區(qū)間那么必須保證邊界值在定義域內。例如函數的單調減區(qū)間為，若寫成就出錯了（0不在定義域內） （2）如果增（或減）區(qū)間有多個，那么在書寫時用逗號隔開，一定不要用并集的符號。有些同學覺得不等式的解集是多個部分時用“”連接，那么區(qū)間也一樣，這個觀點是錯誤的。并集是指將兩個集合的元素合并到一起成為一個集合，用在單調區(qū)間上會出現問題。依然以為例，如果寫成，那么就意味著從合并在一起的集合中任取兩個變量，滿足單調

13、減的條件。由性質可知，如果在兩個區(qū)間里各取一個，是不滿足單調減的性質的。 6、二階導函數的作用： ①幾何意義：導數的符號決定原函數的單調性，對于而言，決定的是的單調性。當時，單調遞增，意味著隨的增大而增大，由于導數的幾何意義為切線斜率，故切線斜率隨的增大而增大；同理，當時，單調遞減，則切線斜率隨的增大而減少。那么在圖像上起到什么作用呢？ 單調增有三種： 其不同之處在于切線斜率隨自變量變大的變化不同，所以如果說是決定函數單調性的，那么在已知單調性的前提下，能夠告訴我們是怎樣增，怎樣減的，進而對作圖的精細化提供幫助。 （1）當，其圖像特點為：

14、 我們稱這樣的函數為下凸函數 （2）當，其圖像特點為： 我們稱這樣的函數為上凸函數 ②代數意義：當通過無法直接判斷符號時，可通過二階導函數先確定一階導函數的單調性，再看能否利用條件判斷符號。 二、典型例題： 例1：下列函數中，在上為增函數的是（ ） 例2：函數的單調遞增區(qū)間是（ ） A. B. C. D. 例3：求函數的單調區(qū)間（2009寧夏，21題（1）） 例4：求函數的單調區(qū)間 例5：求函數的單調區(qū)間 例6：求函數的單調區(qū)間 例7

15、：（1）若函數在區(qū)間單調遞增，則的取值集合是__________ （2）若函數的遞增區(qū)間是，則的取值集合是___________ 例8：，若在上存在單調遞增區(qū)間，則的取值范圍是_______ 例9：設函數（其中是自然對數的底數），若在其定義域內為單調函數，求實數的取值范圍 例10：若函數在區(qū)間內單調遞增，則取值范圍是( ) A． B． C． D． 三．含參數函數的單調區(qū)間 在高考導數的綜合題中，所給函數往往是一個含參數的函數，且導函數含有參數，在分析函數單調性時面臨的分類討論。本節(jié)通過一些例題總結參

16、數討論的方法與技巧，便于更加快速準確的分析含參數函數的單調區(qū)間。 一、基礎知識： 1、導數解單調區(qū)間的步驟：利用導數求函數單調區(qū)間的方法，大致步驟可應用到解含參函數的單調區(qū)間。即確定定義域→求出導函數→令解不等式→得到遞增區(qū)間后取定義域的補集（減區(qū)間）→單調性列出表格 2、求含參函數單調區(qū)間的實質——解含參不等式，而定義域對的限制有時會簡化含參不等式的求解 3、求單調區(qū)間首先確定定義域，并根據定義域將導數不等式中恒正恒負的項處理掉，以簡化討論的不等式 4、關于分類討論的時機與分界點的確定 （1）分類時機：并不是所有含參問題均需要分類討論，例如解不等式：，其解集為，中間并沒有進行分類

17、討論。思考：為什么？因為無論參數為何值，均是將移到不等號右側出結果。所以不需要分類討論，再例如解不等式，第一步移項得：（同樣無論為何值，均是這樣變形），但是第二步不等式兩邊開方時發(fā)現的不同取值會導致不同結果，顯然是負數時，不等式恒成立，而是正數時，需要開方進一步求解集，分類討論由此開始。體會：什么時候開始分類討論？簡而言之，當參數的不同取值對下一步的影響不相同時，就是分類討論開始的時機。所以一道題是否進行分類討論不是一開始就決定的，而是在做的過程中遇到不同值導致不同步驟和結果，就自然的進行分類討論。（2）分界點的確定：分類討論一定是按參數的符號分類么？不一定。要想找好分界點，首先要明確參數在問

18、題中所扮演的角色。例如上面的不等式，所扮演的角色是被開方數，故能否開方是進行下一步的關鍵，那自然想到按的符號進行分類討論。 （3）當參數取值為一個特定值時，可將其代入條件進行求解 （4）當參數扮演多個角色時，則以其中一個為目標進行分類，在每一大類下再考慮其他角色的情況以及是否要進行進一步的分類。 例如：解不等式：，可得：此時扮演兩個角色，一個是的系數，將決定解集是小大根之外還是小大根之間，另一個角色是決定的大小，進而要和來角逐大小根。那么在處理時可先以其中一個為主要目標，例如以系數的正負，進行分類。 ①當時，此時不等式的解集為小大根之間，而由于，以此為前提，故小大根不存在問題，

19、解集為 ②當時，不等式變?yōu)? ③當時，不等式解集為小大根之外，而，的大小由的取值決定，所以自然考慮再結合小大根進行進一步討論了。（重視①③的對比） 時，不等式解集為 時，不等式化為 時，不等式解集為 希望通過此例能夠體會分類討論的時機與分界，若能領悟，其分類討論不再是一個難點，而是有線索可循了。 二、典型例題： 例1：已知函數，求的單調區(qū)間 例2：已知函數 （1）若的圖像在處的切線與直線垂直，求實數的值 （2）求函數的單調區(qū)間 例3：已知函數，求的單調區(qū)間 例5：已知函數，討論的單調性 例6：已知函數，其中. （1）當時，求曲線在點處的切線方程； （2）求的單調區(qū)

20、間． 例7：已知函數.求函數的單調區(qū)間. 例8：已知函數，求的單調區(qū)間 例9：設函數，求的單調區(qū)間； 例10：已知函數，其中，試討論的單調性 四． 函數的最值 一、基礎知識： 1、函數的最大值與最小值： （1）設函數的定義域為，若，使得對，均滿足，那么稱為函數的一個最大值點，稱為函數的最大值 （2）設函數的定義域為，若，使得對，均滿足，那么稱為函數的一個最小值點，稱為函數的最小值 （3）最大值與最小值在圖像中體現為函數的最高點和最低點 （4）最值為函數值域的元素，即必須是某個自變量的函數值。例如：，由單調性可得有最小值，但由于取不到4，所以盡管函數值無限接近于,但就是

21、達不到。沒有最大值。 （5）一個函數其最大值（或最小值）至多有一個，而最大值點（或最小值點）的個數可以不唯一，例如，其最大值點為，有無窮多個。 2．“最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系 右圖為一個定義在閉區(qū)間上的函數的圖象．圖中與是極小值，是極大值．函數在上的最大值是，最小值是 （1）“最值”是整體概念，是比較整個定義域內的函數值得出的，具有絕對性；而“極值”是個局部概念，是比較極值點附近函數值得出的，具有相對性． （2）從個數上看，一個函數在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一； （3）函數在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數的極值可能不止一個，也可能沒有一個 （4）

22、極值只能在定義域內部取得，而最值可以在區(qū)間的端點處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值． 3、結論：一般地，在閉區(qū)間上函數的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數在上必有最大值與最小值． 4、最值點只可能在極值點或者邊界點處產生，其余的點位于單調區(qū)間中，意味著在這些點的周圍既有比它大的，也有比它小的，故不會成為最值點 5、利用導數求函數的最值步驟: 一般地，求函數在上的最大值與最小值的步驟如下： （1）求在內的極值； （2）將的各極值與端點處的函數值、比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值，得出函數在上的最值 6、求函

23、數最值的過程中往往要利用函數的單調性，所以說，函數的單調區(qū)間是求最值與極值的基礎 7、在比較的過程中也可簡化步驟： （1）利用函數單調性可判斷邊界點是否能成為最大值點或最小值點 （2）極小值點不會是最大值點，極大值點也不會是最小值點 8、最值點的作用 （1）關系到函數的值域 （2）由最值可構造恒成立的不等式： 例如：，可通過導數求出，由此可得到對于任意的，均有，即不等式 二、典型例題： 例1：求函數的最值 例2：已知函數,是的一個極值點，求： （1）實數的值 （2）判斷在區(qū)間上是否存在最大值和最小值 例3：已知函數,是否存在實數，使得在上取得最大值，最小值若存在，求

24、出的值，若不存在，請說明理由 例4：求函數()的最值 例5：已知函數的定義域為，求在上的最值 例6：已知函數在區(qū)間上取得最小值4，則___________． 例7：已知函數在上是增函數，函數.當時，函數的最大值與最小值的差為，則________. 例8：若函數有最小值，則實數的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 例9：已知在區(qū)間上任取三個不同的數,均存在以為邊長的三角形,則的取值范圍是　　　　　. 例10：若函數在上有最小值，則實數的取值范圍是(　 　) A． B． C． D．