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(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第8講 曲線與方程練習(xí)(含解析)

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1、第8講 曲線與方程 一、選擇題 1.方程(2x+3y-1)(-1)=0表示的曲線是(  ) A.兩條直線 B.兩條射線 C.兩條線段 D.一條直線和一條射線 解析 原方程可化為或-1=0,即2x+3y-1=0(x≥3)或x=4,故原方程表示的曲線是一條直線和一條射線. 答案 D 2.(2017·衡水模擬)若方程x2+=1(a是常數(shù)),則下列結(jié)論正確的是(  ) A.任意實數(shù)a方程表示橢圓 B.存在實數(shù)a方程表示橢圓 C.任意實數(shù)a方程表示雙曲線 D.存在實數(shù)a方程表示拋物線 解析 當(dāng)a>0且a≠1時,方程表示橢圓,故選B. 答案 B 3.(2017·長春模擬)

2、設(shè)圓(x+1)2+y2=25的圓心為C,A(1,0)是圓內(nèi)一定點,Q為圓周上任一點.線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M,則M的軌跡方程為(  ) A.-=1 B.+=1 C.-=1 D.+=1 解析 ∵M為AQ的垂直平分線上一點,則|AM|=|MQ|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故M的軌跡是以定點C,A為焦點的橢圓. ∴a=,∴c=1,則b2=a2-c2=, ∴M的軌跡方程為+=1. 答案 D 4.設(shè)點A為圓(x-1)2+y2=1上的動點,PA是圓的切線,且|PA|=1,則點P的軌跡方程是(  ) A.y2=2x B.(x-1

3、)2+y2=4 C.y2=-2x D.(x-1)2+y2=2 解析 如圖,設(shè)P(x,y),圓心為M(1,0),連接MA,則MA⊥PA,且|MA|=1, 又∵|PA|=1, ∴|PM|==, 即|PM|2=2,∴(x-1)2+y2=2. 答案 D 5.平面直角坐標系中,已知兩點A(3,1),B(-1,3),若點C滿足=λ1+λ2(O為原點),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,則點C的軌跡是(  ) A.直線 B.橢圓 C.圓 D.雙曲線 解析 設(shè)C(x,y),因為=λ1+λ2, 所以(x,y)=λ1(3,1)+λ2(-1,3),即 解得又λ1+λ2=

4、1, 所以+=1,即x+2y=5 , 所以點C的軌跡為直線,故選A. 答案 A 二、填空題 6.已知兩定點A(-2,0),B(1,0),如果動點P滿足|PA|=2|PB|,則點P的軌跡所包圍的圖形的面積為__________. 解析 設(shè)P(x,y),由|PA|=2|PB|, 得=2, ∴3x2+3y2-12x=0,即x2+y2-4x=0. ∴P的軌跡為以(2,0)為圓心,半徑為2的圓. 即軌跡所包圍的面積等于4π. 答案 4π 7.已知點A(1,0),直線l:y=2x-4,點R是直線l上的一點,若=,則點P的軌跡方程為________. 解析 設(shè)P(x,y),R(x1

5、,y1),由=知,點A是線段RP的中點,∴即 ∵點R(x1,y1)在直線y=2x-4上, ∴y1=2x1-4,∴-y=2(2-x)-4,即y=2x. 答案 y=2x 8.在△ABC中,||=4,△ABC的內(nèi)切圓切BC于D點,且||-||=2,則頂點A的軌跡方程為________. 解析 以BC的中點為原點,中垂線為y軸建立如圖所示的坐標系,E,F(xiàn)分別為兩個切點. 則|BE|=|BD|,|CD|=|CF|, |AE|=|AF|. ∴|AB|-|AC|=2<|BC|=4, ∴點A的軌跡為以B,C的焦點的雙曲線的右支(y≠0)且a=,c=2,∴b=, ∴軌跡方程為-=1(x>).

6、 答案?。?(x>) 三、解答題 9.如圖所示,動圓C1:x2+y2=t2,1

7、點M的軌跡方程為-y2=1(x<-3,y<0). 10.(2017·廣州模擬)已知點C(1,0),點A,B是⊙O:x2+y2=9上任意兩個不同的點,且滿足·=0,設(shè)P為弦AB的中點. (1)求點P的軌跡T的方程; (2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點:它到直線x=-1的距離恰好等于到點C的距離?若存在,求出這樣的點的坐標;若不存在,說明理由. 解 (1)連接CP,OP,由·=0,知AC⊥BC, ∴|CP|=|AP|=|BP|=|AB|, 由垂徑定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2, 即|OP|2+|CP|2=9, 設(shè)點P(x,y),有(x2+y2)+[(x-1)2+y2]

8、=9, 化簡,得x2-x+y2=4. (2)存在.根據(jù)拋物線的定義,到直線x=-1的距離等于到點C(1,0)的距離的點都在拋物線y2=2px(p>0)上,其中=1. ∴p=2,故拋物線方程為y2=4x, 由方程組得x2+3x-4=0, 解得x1=1,x2=-4,由x≥0, 故取x=1,此時y=±2. 故滿足條件的點存在,其坐標為(1,-2)和(1,2). 11.已知△ABC的頂點A(-5,0),B(5,0),△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上,則頂點C的軌跡方程是(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1(x>3) D.-=1(x>4) 解析 如圖,|AD|

9、=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6<10=|AB|,根據(jù)雙曲線定義,所求軌跡是以A,B為焦點,實軸長為6的雙曲線的右支(y≠0),方程為-=1(x>3). 答案 C 12.已知兩點M(-2,0),N(2,0),點P為坐標平面內(nèi)的動點,滿足||·||+·=0,則動點P(x,y)的軌跡方程為(  ) A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=4x D.y2=-4x 解析 =(4,0),=(x+2,y),=(x-2,y). ∴||=4,||=,·=4(x-2).根據(jù)已知條件得4=4(2-x). 整理得y2=-8x

10、.∴點P的軌跡方程為y2=-8x. 答案 B 13.如圖,P是橢圓+=1上的任意一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是它的兩個焦點,O為坐標原點,且=+,則動點Q的軌跡方程是________. 解析 由于=+, 又+==2=-2, 設(shè)Q(x,y),則=-=,即P點坐標為,又P在橢圓上,則有+=1,即+=1. 答案?。? 14.(2016·全國Ⅲ卷)已知拋物線C:y2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點,交C的準線于P,Q兩點. (1)若F在線段AB上,R是PQ的中點,證明:AR∥FQ; (2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點的軌跡方程. 解 

11、由題設(shè)F,設(shè)l1:y=a,l2:y=b,則ab≠0, 且A,B,P,Q,R. 記過A,B兩點的直線為l,則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0. (1)證明 由于F在線段AB上,故1+ab=0. 記AR的斜率為k1,F(xiàn)Q的斜率為k2, 則k1====-=-b=k2. 所以 AR∥FQ. (2)設(shè)過AB的直線為l,設(shè)l與x軸的交點為D(x1,0), 則S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|, S△PQF=.由題設(shè)可得|b-a|=,所以x1=1,x1=0(舍去). 設(shè)滿足條件的AB的中點為E(x,y). 當(dāng)AB與x軸不垂直時,由kAB=kDE可得=(x≠1).而=y(tǒng), 所以y2=x-1(x≠1). 當(dāng)AB與x軸垂直時,E與D重合. 所以,所求軌跡方程為y2=x-1. 6

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