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1、1.6　推理與證明 命題角度1合情推理與演繹推理　 高考真題體驗·對方向 1.(2019全國Ⅱ·5)在“一帶一路”知識測驗后,甲、乙、丙三人對成績進行預測. 甲:我的成績比乙高. 乙:丙的成績比我和甲的都高. 丙:我的成績比乙高. 成績公布后,三人成績互不相同且只有一個人預測正確,那么三人按成績由高到低的次序為(　　) A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙 答案　A 解析　若甲預測正確,則乙、丙預測錯誤,即甲的成績比乙高,丙的成績比乙低,故三人按成績由高到低的次序為甲、乙、丙.若乙預測正確,則丙預測也正確,不符合題意.若丙預測正確,則甲預測錯誤,

2、即丙的成績比乙高,乙的成績比甲高,即丙的成績比甲、乙都高,即乙的預測也正確,不合題意,故選A. 2.(2017全國Ⅰ·12)幾位大學生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣,他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項是20,接下來的兩項是20,21,再接下來的三項是20,21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是(　　) A.440 B.330 C.220 D.110

3、答案　A 解析　設(shè)數(shù)列的首項為第1組,接下來兩項為第2組,再接下來三項為第3組,以此類推,設(shè)第n組的項數(shù)為n,則前n組的項數(shù)和為n(1+n)2.第n組的和為1-2n1-2=2n-1,前n組總共的和為2(1-2n)1-2-n=2n+1-2-n. 由題意,N>100,令n(1+n)2>100,得n≥14且n∈N*,即N出現(xiàn)在第13組之后.若要使最小整數(shù)N滿足:N>100且前N項和為2的整數(shù)冪,則SN-Sn(1+n)2應(yīng)與-2-n互為相反數(shù),即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=29×(1+29)2+5=440,故選A. 3.(20

4、16全國Ⅱ·15)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是　　　　　.? 答案　1和3 解析　由丙說的話可知,丙的卡片上的數(shù)字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的數(shù)字是“1和2”,則由乙說的話可知,乙的卡片上的數(shù)字是“2和3”,甲的卡片上的數(shù)字是“1和3”,此時與甲說的話一致;若丙的卡片上的數(shù)字是“1和3”,則由乙說的話可知,乙的卡片上的數(shù)字是“2和3”,甲的卡片上的數(shù)字是“1和2

5、”,此時與甲說的話矛盾.綜上可知,甲的卡片上的數(shù)字是“1和3”. 4.(2015山東·11)觀察下列各式: C10=40; C30+C31=41; C50+C51+C52=42; C70+C71+C72+C73=43; …… 照此規(guī)律,當n∈N*時,C2n-10+C2n-11+C2n-12+…+C2n-1n-1=　　　　　.? 答案　4n-1 解析　觀察各式有如下規(guī)律:等號左側(cè)第n個式子有n項,且上標分別為0,1,2,…,n-1,第n行每項的下標均為2n-1.等號右側(cè)指數(shù)規(guī)律為0,1,2,…,n-1.所以第n個式子為C2n-10+C2n-11+C2n-12+…+C2n-1n-

6、1=4n-1. 典題演練提能·刷高分 1.(2019重慶巴蜀中學高三模擬)某演繹推理的“三段”分解如下: ①函數(shù)f(x)=lg x是對數(shù)函數(shù);②對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)是增函數(shù);③函數(shù)f(x)=lg x是增函數(shù),則按照演繹推理的三段論模式,排序正確的是(　　) A.①→②→③ B.③→②→① C.②→①→③ D.②→③→① 答案　C 解析　①函數(shù)f(x)=lgx是對數(shù)函數(shù);②對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)是增函數(shù);③函數(shù)f(x)=lgx是增函數(shù),大前提是②,小前提是①,結(jié)論是③.故排列的次序應(yīng)為:②→①→③,故選C. 2.(2019遼寧朝陽高三四模)甲,乙,丙,丁四名

7、學生,僅有一人閱讀了語文老師推薦的一篇文章.當他們被問到誰閱讀了該篇文章時,甲說:“丙或丁閱讀了”;乙說:“丙閱讀了”;丙說:“甲和丁都沒有閱讀”;丁說:“乙閱讀了”.假設(shè)這四名學生中只有兩人說的是對的,那么讀了該篇文章的學生是(　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案　B 解析　若甲閱讀了語文老師推薦的文章,則甲、乙、丙、丁說的都不對,不滿足題意; 若乙閱讀了語文老師推薦的文章,則甲、乙說的都不對,丙、丁都正確,滿足題意; 若丙閱讀了語文老師推薦的文章,則甲、乙、丙說的都對,丁說的不對,不滿足題意; 若丁閱讀了語文老師推薦的文章,則甲說的對,乙、丙、丁說的都不對,不滿足題意;

8、 故選B. 3.有下列各式:1+12+13>1,1+12+13+…+17>32,1+12+13+…+115>2,…,則按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為　　　　　　　　　　　　　　　.? 答案　1+12+13+…+12n+1-1>n+12(n∈N*) 解析　觀察各式左邊為1n的和的形式,項數(shù)分別為3,7,15,…,∴可猜想第n個式子中左邊應(yīng)有2n+1-1項,不等式右邊分別寫成22,32,42,…,∴猜想第n個式子中右邊應(yīng)為n+12,按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為:1+12+13+…+12n+1-1>n+12(n∈N*). 4.某公司招聘員工,有甲、乙、丙三人應(yīng)聘并進行面試,結(jié)

9、果只有一人被錄用,當三人被問到誰被錄用時,甲說:丙沒有被錄用;乙說:我被錄用;丙說:甲說的是真話.事實證明,三人中只有一人說的是假話,那么被錄用的人是　　　　　.? 答案　甲 解析　如果甲說假話,則丙被錄用,那么乙也說假話了,與題設(shè)矛盾;如果乙說假話,則乙沒有被錄用,丙也沒有被錄用,則甲被錄用,滿足題意;如果丙說假話,則甲也說了假話,與題設(shè)矛盾.綜上所述,被錄用的是甲. 5.(2019陜西榆林高三一模)我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量,在平面直角坐標系中,利用求動點軌跡方程的方法,可以求出過點A(-2,3)且法向量為n=(4,-1)的直線(點法式)方程為4×(x+2)+(

10、-1)×(y-3)=0,化簡得4x-y+11=0.類比以上方法,在空間直角坐標系中,經(jīng)過點B(2,3,4)且法向量為m=(-1,-2,1)的平面(點法式)方程為　　　　　.? 答案　x+2y-z-4=0 解析　類比直線方程的求法,利用空間向量的數(shù)量積可得(-1)(x-2)+(-2)(y-3)+1×(z-4)=0,化簡得x+2y-z-4=0.故答案為:x+2y-z-4=0. 6. 如圖所示,將平面直角坐標系中的格點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)按如下規(guī)則標上標簽: 原點處標數(shù)字0,記為a0;點(1,0)處標數(shù)字1,記為a1; 點(1,-1)處標數(shù)字0,記為a2;點(0,-1)處標數(shù)字

11、-1,記為a3; 點(-1,-1)處標數(shù)字-2,記為a4;點(-1,0)處標數(shù)字-1,記為a5; 點(-1,1)處標數(shù)字0,記為a6;點(0,1)處標數(shù)字1,記為a7; … 以此類推,格點坐標為(i,j)的點處所標的數(shù)字為i+j(i,j均為整數(shù)),記Sn=a1+a2+…+an, 則S2 018=　　　　.? 答案　-249 解析　設(shè)an坐標為(x,y),由歸納推理可知,an=x+y,第一圈從(1,0)點到(1,1)點共8個點,由對稱性可得a1+a2+…+a8=0;第二圈從點(2,1)到(2,2)共16個點,由對稱性可得a9+…+a24=0,第n圈共有8n個點,這8n項和也為零,設(shè)

12、a2018在第n圈, 則Sn=8+16+…+8n=4(n+1)n,可得前22圈共有2024個數(shù),S2024=0, S2018=S2024-(a2024+a2023+…+a2019),a2024所在點坐標為(22,22), a2024=22+22,a2023所在點坐標為(21,22),a2023=21+22,a2022=20+22, a2021=19+22,a2020=18+22,a2019=17+22,可得a2024+…+a2019=249, ∴S2018=0-249=-249,故答案為-249. 命題角度2直接證明與間接證明　 高考真題體驗·對方向 　(2014山東·4)用反

13、證法證明命題“設(shè)a,b為實數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個實根”時,要做的假設(shè)是(　　) A.方程x3+ax+b=0沒有實根 B.方程x3+ax+b=0至多有一個實根 C.方程x3+ax+b=0至多有兩個實根 D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個實根 答案　A 解析　因為至少有一個的反面為一個也沒有,所以要做的假設(shè)是方程x3+ax+b=0沒有實根. 典題演練提能·刷高分 1.設(shè)m,n,t都是正數(shù),則m+4n,n+4t,t+4m三個數(shù)(　　) A.都大于4 B.都小于4 C.至少有一個大于4 D.至少有一個不小于4 答案　D 解析　依題意,令m=n=t=2,則三個數(shù)

14、為4,4,4,排除A,B,C選項,故選D. 2.用反證法證明某命題時,對結(jié)論:“自然數(shù)a,b,c中恰有一個是偶數(shù)”的正確假設(shè)為(　　) A.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個偶數(shù) B.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù) C.自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù) D.自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù) 答案　B 解析　“自然數(shù)a,b,c中恰有一個是偶數(shù)”說明有且只有一個是偶數(shù),其否定是“自然數(shù)a,b,c均為奇數(shù)或自然數(shù)a,b,c中至少有兩個偶數(shù)”.故選B. 3.①已知p3+q3=2,求證p+q≤2,用反證法證明時,可假設(shè)p+q>2;②設(shè)a為實數(shù),f(x)=x2+ax+a,求證|f(1)|與|f(2)

15、|中至少有一個不小于12,用反證法證明時可假設(shè)|f(1)|≥12,且|f(2)|≥12,以下說法正確的是(　　) A.①與②的假設(shè)都錯誤 B.①與②的假設(shè)都正確 C.①的假設(shè)正確,②的假設(shè)錯誤 D.①的假設(shè)錯誤,②的假設(shè)正確 答案　C 解析?、儆梅醋C法證明時,假設(shè)命題為假,應(yīng)為全面否定,所以p+q≤2的假命題應(yīng)為p+q>2,故①的假設(shè)正確;②|f(1)|與|f(2)|中至少有一個不小于12的否定為|f(1)|與|f(2)|中都小于12,故②的假設(shè)錯誤,故選C. 命題角度3數(shù)學歸納法　 高考真題體驗·對方向 (全國卷不考) 典題演練提能·刷高分 1.用數(shù)學歸納法證明f(n)

16、=1n+1+1n+2+…+13n+1>2524(n∈N*)的過程中:假設(shè)n=k(k∈N*)時,不等式f(k)>2524成立,則需證當n=k+1時,f(k+1)>2524也成立,則f(k+1)-f(k)=(　　) A.13k+4 B.13k+4-1k+1 C.13k+2+13k+4-23k+3 D.13k+2+13k+3+13k+4 答案　C 解析　f(k+1)-f(k)=1(k+1)+1+1(k+1)+2+…+13(k+1)+1-1k+1-1k+1+1+…-13k+1=-1k+1+13k+4+13k+3+13k+2=13k+4+13k+2-23k+3.故選C. 2.用數(shù)學歸納法證明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)時,從“n=k到n=k+1”時,左邊應(yīng)增加的代數(shù)式為　　　　　.? 答案　2(2k+1) 解析　首先寫出當n=k時和n=k+1時等式左邊的式子. 當n=k時,左邊等于(k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)…(2k),① 當n=k+1時,左邊等于(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),② ∴從n=k到n=k+1的證明,左邊需增加的代數(shù)式是由②①得到(2k+1)(2k+2)(k+1)=2(2k+1). 9