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(魯京津瓊專(zhuān)用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 概率、隨機(jī)變量及其分布 階段自測(cè)卷(八)(含解析)

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1、階段自測(cè)卷(八) (時(shí)間:120分鐘 滿(mǎn)分:150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1.(2019·陜西四校聯(lián)考)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次,則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為大于8的偶數(shù)的概率為(  ) A.B.C.D. 答案 B 解析 將先后兩次的點(diǎn)數(shù)記為有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),則共有6×6=36(個(gè))基本事件,其中點(diǎn)數(shù)之和為大于8的偶數(shù)有(4,6),(6,4),(5,5),(6,6),共4種,則滿(mǎn)足條件的概率為=.故選B. 2.(2019·成都七中診斷)若隨機(jī)變量X~N(3,σ2),且P(X≥5)

2、=0.2,則P(1

3、其中恰好有1名徒步愛(ài)好者獲得紀(jì)念品的概率是(  ) A.B.C.D. 答案 C 解析 “男性獲得紀(jì)念品,女性沒(méi)有獲得紀(jì)念品”的概率為×=,“男性沒(méi)有獲得紀(jì)念品,女性獲得紀(jì)念品”的概率為×=,故“恰好有1名徒步愛(ài)好者獲得紀(jì)念品”的概率為+=.故選C. 4.(2019·新鄉(xiāng)模擬)從區(qū)間[0,π]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)x,則sinx+cosx>1的概率為(  ) A.B.C.D. 答案 B 解析 由sinx+cosx>1,得sin>, 因?yàn)閤∈[0,π],所以x∈, 由幾何概型可知所求概率P==,故選B. 5.設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能的取值為1,2,3,4,P(X=k)=ak+b,又X的均

4、值為E(X)=3,則a+b等于(  ) A.B.0C.-D. 答案 A 解析 依題意可得X的分布列為 X 1 2 3 4 P a+b 2a+b 3a+b 4a+b 依題意得 解得a=,b=0,故a+b=.故選A. 6.某班級(jí)在2018年國(guó)慶節(jié)晚會(huì)上安排了迎國(guó)慶演講節(jié)目,共有6名選手依次演講,則選手甲不在第一個(gè)也不在最后一個(gè)演講的概率為(  ) A.B.C.D. 答案 D 解析 6名選手依次演講有A種方法,選手甲不在第一個(gè)也不在最后一個(gè)演講的安排方法有4A,所以6名選手依次演講,則選手甲不在第一個(gè)也不在最后一個(gè)演講的概率為=. 7.(2019·長(zhǎng)春外國(guó)

5、語(yǔ)學(xué)校月考)從甲、乙、丙三人中任選兩名代表,甲被選中的概率是(  ) A.B.C.D.1 答案 C 解析 從甲、乙、丙三人中任選兩名代表的選法數(shù)為C=3,再確定甲被選中的選法數(shù)為2,所以概率為,故選C. 8.(2019·青島調(diào)研)已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率是40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下10組隨機(jī)數(shù):907 966 191 925 271 431 932 458 569 683.

6、則該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為(  ) A.B.C.D. 答案 C 解析 由題意知模擬三次投籃的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了10組隨機(jī)數(shù),在10組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的有:191,932,271,共3組隨機(jī)數(shù),故所求概率為.故選C. 9.(2019·湖南五市十校聯(lián)考)一只螞蟻在三邊長(zhǎng)分別為6,8,10的三角形內(nèi)自由爬行,某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的任意一個(gè)頂點(diǎn)的距離不超過(guò)1的概率為(  ) A.B.C.D. 答案 B 解析 因?yàn)槿切稳呴L(zhǎng)分別為6,8,10,由勾股定理,該三角形為直角三角形,且面積為×6×8=24,距離三角形的任意一個(gè)頂點(diǎn)的距離不超過(guò)1的部分是以三角形

7、三個(gè)角分別為圓心角,1為半徑的扇形區(qū)域,因?yàn)槿齻€(gè)圓心角之和為180°,所以三個(gè)扇形面積之和為×π×12=,所以某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的任意一個(gè)頂點(diǎn)的距離不超過(guò)1的概率為=,故選B. 10.(2019·長(zhǎng)春質(zhì)檢)要將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到A,B,C三個(gè)班級(jí)中,要求每個(gè)班級(jí)至少分到一人,則甲被分到A班的分法種數(shù)為(  ) A.6B.12C.24D.36 答案 B 解析 甲和另一個(gè)人一起分到A班有CA=6(種)分法,甲一個(gè)人分到A班的方法有CA=6(種)分法,共有12種分法.故選B. 11.(2019·河北衡水中學(xué)模擬)如圖是希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里德在證明勾股定理時(shí)所繪制的一個(gè)圖形,該圖

8、形由三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a,b,c的正方形和一個(gè)直角三角形圍成.現(xiàn)已知a=3,b=4,若從該圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自其中的直角三角形區(qū)域的概率為(  ) A.B.C.D. 答案 A 解析 ∵a=3,b=4,∴c=5, ∴S=a2+b2+c2+ab=9+16+25+6=56, 其中S△=6,∴該點(diǎn)取自其中的直角三角形區(qū)域的概率為=,故選A. 12.(2019·衡水中學(xué)摸擬)趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約在公元222年,趙爽為《周碑算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí),介紹了“勾股圓方圖”,亦稱(chēng)“趙爽弦圖”(以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的).類(lèi)比“趙爽

9、弦圖”,可類(lèi)似地構(gòu)造如圖所示的圖形,它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形,設(shè)DF=2AF=2,若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小等邊三角形的概率是(  ) A.B.C.D. 答案 A 解析 在△ABD中,AD=3,BD=1,∠ADB=120°, 由余弦定理,得AB= =, 所以=. 所以所求概率為=2=.故選A. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13.從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次性隨機(jī)地取出2個(gè)數(shù),則所取2個(gè)數(shù)的乘積為奇數(shù)的概率是________. 答案  解析 從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)中隨機(jī)地取2個(gè)數(shù)有(

10、1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6種情形,其中滿(mǎn)足所取2個(gè)數(shù)的乘積為奇數(shù)的有(1,3)共1種情形,∴所求概率為. 14.一個(gè)不透明袋中裝有大小、質(zhì)地完全相同的四個(gè)球,四個(gè)球上分別標(biāo)有數(shù)字2,3,4,6.現(xiàn)從中隨機(jī)選取三個(gè)球,則所選的三個(gè)球上的數(shù)字能構(gòu)成等差數(shù)列的概率是________. 答案  解析 因?yàn)閺乃膫€(gè)球中隨機(jī)選三個(gè)共有C=4(種)不同的選法,其中能構(gòu)成等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)分別為(2,3,4),(2,4,6),共2種不同的選法,所以根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式,得P==. 15.(2019·衡水中學(xué)模擬)由數(shù)字0,1組成的一串?dāng)?shù)字代碼,其中恰好有

11、7個(gè)1,3個(gè)0,則這樣的不同數(shù)字代碼共有________個(gè). 答案 120 解析 依題意得,一串?dāng)?shù)字代碼一共有10個(gè)數(shù)字,則取7個(gè)位置排1,剩下的位置排0,則不同數(shù)字的代碼有C=120(個(gè)). 16.(2019·廣州執(zhí)信中學(xué)測(cè)試)大正方形的面積為13,四個(gè)全等的直角三角形圍成中間的小正方形,較短的直角邊長(zhǎng)為2,向大正方形內(nèi)投擲飛鏢,則飛鏢落在中間小正方形內(nèi)的概率是________. 答案  解析 大正方形的面積是13,則大正方形的邊長(zhǎng)是, 又直角三角形的較短邊長(zhǎng)為2, 所以另一邊為=3, 得出四個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別是3和2, 則小正方形的邊長(zhǎng)為3-2=1,面積為

12、1. 又大正方形的面積為13, 故飛鏢扎在小正方形內(nèi)的概率為. 三、解答題(本大題共70分) 17.(10分)(2019·涼山診斷)從某市統(tǒng)考的學(xué)生數(shù)學(xué)考試試卷中隨機(jī)抽查100份數(shù)學(xué)試卷作為樣本,分別統(tǒng)計(jì)出這些試卷總分,由總分得到如下的頻率分布直方圖. (1)求這100份數(shù)學(xué)試卷成績(jī)的中位數(shù); (2)從總分在[55,65)和[135,145)的試卷中隨機(jī)抽取2份試卷,求抽取的2份試卷中至少有一份總分少于65分的概率. 解 (1)記這100份數(shù)學(xué)試卷成績(jī)的中位數(shù)為x(95

13、0.024=0.5, 解得x=100,所以中位數(shù)為100. (2)總分在[55,65)的試卷共有0.002×10×100=2(份),記為A,B, 總分在[135,145)的試卷共有0.004×10×100=4(份),記為a,b,c,d, 則從上述6份試卷中隨機(jī)抽取2份的抽取結(jié)果為 {A,B},{A,a},{A,b},{A,c},{A,d}, {B,a},{B,b},{B,c},{B,d}, {a,b},{a,c},{a,d}, {b,c},{b,d}, {c,d}, 共計(jì)15種結(jié)果,且每個(gè)結(jié)果是等可能的. 至少有一份總分少于65分的有:{A,B},{A,a},{A,b},

14、{A,c},{A,d},{B,a},{B,b},{B,c},{B,d},共計(jì)9種結(jié)果, 所以抽取的2份至少有一份總分少于65分的概率 P==. 18.(12分)將4名大學(xué)生隨機(jī)安排到A,B,C,D四個(gè)公司實(shí)習(xí). (1)求4名大學(xué)生恰好在四個(gè)不同公司的概率; (2)隨機(jī)變量X表示分到B公司的學(xué)生的人數(shù),求X的分布列和均值E(X). 解 (1)將4人安排到四個(gè)公司中,共有44=256(種)不同排法. 記“4個(gè)人恰好在四個(gè)不同的公司”為事件A, 事件A共包含A=24(個(gè))基本事件, 所以P(A)==, 所以4名大學(xué)生恰好在四個(gè)不同公司的概率為. (2)方法一 X的可能取值為0,

15、1,2,3,4, P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==,P(X=4)==. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 所以X的均值E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=1. 方法二 每個(gè)同學(xué)分到B公司的概率為 P(B)=,P()=1-=. 根據(jù)題意X~B, 所以P(X=k)=Ck4-k,k=0,1,2,3,4, 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 所以X的均值E(X)=4×=1. 19.(12分)某市有A,B,C,D四個(gè)景點(diǎn),一位游客來(lái)該市游

16、覽,已知該游客游覽A的概率為,游覽B,C和D的概率都是,且該游客是否游覽這四個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立. (1)求該游客至多游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率; (2)用隨機(jī)變量X表示該游客游覽的景點(diǎn)的個(gè)數(shù),求X的分布列和均值E(X). 解 (1)記“該游客游覽i個(gè)景點(diǎn)”為事件Ai,i=0,1, 則P(A0)==, P(A1)=3+C··2 =. 所以該游客至多游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率為 P(A0)+P(A1)=+=. (2)隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4, P(X=0)=P(A0)=, P(X=1)=P(A1)=, P(X=2)=×C××2+×C×2×=, P(X=3)=×C×2×+×C×

17、3=, P(X=4)=×3=, 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 故E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=. 20.(12分)(2019·漢中質(zhì)檢)在中學(xué)生綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)某個(gè)維度的測(cè)評(píng)中,分優(yōu)秀、合格、尚待改進(jìn)三個(gè)等級(jí)進(jìn)行學(xué)生互評(píng).某校高一年級(jí)有男生500人,女生400人,為了了解性別對(duì)該維度測(cè)評(píng)結(jié)果的影響,采用分層抽樣方法從高一年級(jí)抽取了45名學(xué)生的測(cè)評(píng)結(jié)果,并作出頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表如下: 表一:男生 男生 等級(jí) 優(yōu)秀 合格 尚待改進(jìn) 頻數(shù) 15 x 5 表二:女生 女生 等級(jí) 優(yōu)秀 合格 尚待改進(jìn) 頻數(shù)

18、 15 3 y (1)求x,y的值; (2)從表一、表二中所有尚待改進(jìn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行交談,記其中抽取的女生人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列及均值; (3)由表中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下列2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“測(cè)評(píng)結(jié)果優(yōu)秀與性別有關(guān)”. 男生 女生 總計(jì) 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) 45 參考公式:K2=,其中n=a+b+c+d. 參考數(shù)據(jù): P(K2≥k0) 0.01 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 解 (1)設(shè)從高一年級(jí)男生中抽取m人, 則=, 解得m

19、=25,則從女生中抽取20人, 所以x=25-15-5=5,y=20-15-3=2. (2)表一、表二中所有尚待改進(jìn)的學(xué)生共7人,其中女生有2人,則X的所有可能的取值為0,1,2. P(X=0)===, P(X=1)===, P(X=2)===. 則隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 P 所以X的均值E(X)=×0+×1+×2=. (3)2×2列聯(lián)表如下: 男生 女生 總計(jì) 優(yōu)秀 15 15 30 非優(yōu)秀 10 5 15 總計(jì) 25 20 45 K2====1.125<2.706, 因?yàn)?-0.9=0.1,P(K

20、2≥2.706)=0.10, 所以沒(méi)有90%的把握認(rèn)為“測(cè)評(píng)結(jié)果優(yōu)秀與性別有關(guān)”. 21.(12分)(2019·長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)調(diào)研)為了響應(yīng)全國(guó)文明城市建設(shè)的號(hào)召,某市文明辦對(duì)本市市民進(jìn)行了一次文明創(chuàng)建知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查.每一位市民僅有一次參加機(jī)會(huì),通過(guò)隨機(jī)抽樣,得到參加問(wèn)卷調(diào)查的1000人的得分(滿(mǎn)分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示. 組別 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 頻數(shù) 25 150 200 250 225 100 50 (1)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為,此次問(wèn)卷調(diào)

21、查的得分Z服從正態(tài)分布N(μ,210),μ近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表),請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求P(36<Z≤79.5); (2)在(1)的條件下,文明辦為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案: (i)得分不低于μ的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話(huà)費(fèi),得分低于μ的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話(huà)費(fèi); (ii)每次贈(zèng)送的隨機(jī)話(huà)費(fèi)及對(duì)應(yīng)的概率為 贈(zèng)送的隨機(jī)話(huà)費(fèi)(單位:元) 20 40 概率 現(xiàn)市民小王要參加此次問(wèn)卷調(diào)查,記X(單位:元)為該市民參加問(wèn)卷調(diào)查獲贈(zèng)的話(huà)費(fèi),求X的分布列及均值. 附:≈14.5,若X~N(μ,σ2),則 ①P(μ-σ

22、σ)≈0.6826; ②P(μ-2σ

23、個(gè)20元,概率P=×+××=, 得60元的情況為兩次機(jī)會(huì),一次40元一次20元, 概率P=×2××=, 得80元的情況為兩次機(jī)會(huì),都是40元, 概率為P=××=, 所以X的分布列為 X 20 40 60 80 P 所以均值E(X)=20×+40×+60×+80×=. 22.(12分)(2019·佛山禪城區(qū)調(diào)研)一項(xiàng)研究機(jī)構(gòu)培育一種新型水稻品種,首批培育幼苗2000株,株長(zhǎng)均介于185mm~235mm,從中隨機(jī)抽取100株對(duì)株長(zhǎng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到如下頻率分布直方圖. (1)求樣本平均株長(zhǎng)和樣本方差s2(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替); (2)假

24、設(shè)幼苗的株長(zhǎng)X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù),σ2近似為樣本方差s2,試估計(jì)2000株幼苗的株長(zhǎng)位于區(qū)間(201,219)內(nèi)的株數(shù); (3)在第(2)問(wèn)的條件下,選取株長(zhǎng)在區(qū)間(201,219)內(nèi)的幼苗進(jìn)入育種試驗(yàn)階段,若每株幼苗開(kāi)花的概率為,開(kāi)花后結(jié)穗的概率為,設(shè)最終結(jié)穗的幼苗株數(shù)為ξ,求ξ的均值. 附:≈9;若X~N(μ,σ2), 則P(μ-σ

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