《(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學大一輪復(fù)習 第九章 平面解析幾何 階段自測卷(六)(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學大一輪復(fù)習 第九章 平面解析幾何 階段自測卷(六)(含解析)(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、階段自測卷(六)
(時間:120分鐘 滿分:150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1.(2019·四川診斷)拋物線y2=4x的焦點坐標是( )
A. B.(0,1)
C.(1,0) D.
答案 C
解析 拋物線y2=2px的焦點坐標為,
由拋物線y2=4x得2p=4,解得p=2,
則焦點坐標為(1,0),故選C.
2.(2019·撫州七校聯(lián)考)過點(2,1)且與直線3x-2y=0垂直的直線方程為( )
A.2x-3y-1=0 B.2x+3y-7=0
C.3x-2y-4=0 D.3x+2y-8=0
答案 B
解析 設(shè)要求的直線方程為
2、2x+3y+m=0,
把點(2,1)代入可得4+3+m=0,解得m=-7.
可得要求的直線方程為2x+3y-7=0,故選B.
3.(2019·陜西四校聯(lián)考)直線ax-by=0與圓x2+y2-ax+by=0的位置關(guān)系是( )
A.相交 B.相切
C.相離 D.不能確定
答案 B
解析 將圓的方程化為標準方程得
2+2=,
∴圓心坐標為,半徑r=,
∵圓心到直線ax-by=0的距離
d===r,
∴圓與直線的位置關(guān)系是相切.故選B.
4.(2018·山西四校聯(lián)考)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0),右焦點F到漸近線的距離為2,點F到原點的距離為3,則雙曲線C的離心率
3、e為( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵右焦點F到漸近線的距離為2,∴F(c,0)到y(tǒng)=x的距離為2,即=2,又b>0,c>0,a2+b2=c2,∴=b=2.∵點F到原點的距離為3,∴c=3,
∴a==,∴離心率e===.
5.(2019·涼山診斷)已知雙曲線E的漸近線方程是y=±2x,則E的離心率為( )
A.或2 B.
C. D.或
答案 D
解析 當雙曲線焦點在x軸上時,依題意得=2,
故雙曲線的離心率為e===.
當雙曲線焦點在y軸上時,依題意得=2,即=,
故雙曲線的離心率為e===.故選D.
6.(2019·河北衡水中學模擬)已知橢圓C
4、:+=1(a>b>0)的離心率為,且橢圓C的長軸長與焦距之和為6,則橢圓C的標準方程為( )
A.+=1 B.+=1
C.+y2=1 D.+=1
答案 D
解析 由橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,得=,
橢圓C的長軸長與焦距之和為6,即2a+2c=6,
解得a=2,c=1,則b=,
所以橢圓C的標準方程為+=1,故選D.
7.若雙曲線-=1(a>0,b>0)上存在一點P滿足以|OP|為邊長的正方形的面積等于2ab(其中O為坐標原點),則雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由條件,得|OP|2=2ab,又P為雙曲線上一點,
5、
從而|OP|≥a,∴2ab≥a2,∴2b≥a,
又∵c2=a2+b2≥a2+=a2,∴e=≥.
8.(2019·唐山模擬)已知F1,F(xiàn)2為橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,過原點O且傾斜角為30°的直線l與橢圓C的一個交點為A,若AF1⊥AF2,=2,則橢圓C的方程為( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
答案 A
解析 由題意,過原點O且傾斜角為30°的直線l與橢圓C的一個交點為A,
且AF1⊥AF2,且=2,則可知|OA|=c,
設(shè)A(x,y),則x=ccos30°=c,y=csin30°=c,
即A,
代入橢圓的方程可得+=1,
又
6、由=2,得S=×2c×c=c2=2,
解得c2=4,且c2=a2-b2,
所以a2=6,b2=2,
所以橢圓的方程為+=1,故選A.
9.(2019·新鄉(xiāng)模擬)已知點M(x,y)是拋物線y2=4x上的動點,則+的最小值為( )
A.3 B.4
C.5 D.6
答案 A
解析 因為表示點M(x,y)到點F(1,0)的距離,即點M(x,y)到拋物線y2=4x的準線x=-1的距離,因為表示點M(x,y)到點A(2,1)的距離,所以+的最小值為點A(2,1)到拋物線y2=4x的準線x=-1的距離3,即(+)min=3.故選A.
10.(2019·河北衡水中學調(diào)研)已知y2=4x的準
7、線交x軸于點Q,焦點為F,過Q且斜率大于0的直線交y2=4x于A,B,兩點∠AFB=60°,則|AB|等于( )
A. B.
C.4 D.3
答案 B
解析 設(shè)A(x1,2),B(x2,2),x2>x1>0,
因為kQA=kQB,即=,整理化簡得x1x2=1,
|AB|2=(x2-x1)2+(2-2)2,
|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,
代入余弦定理
|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF||BF|cos60°,
整理化簡得,x1+x2=,
又因為x1x2=1,所以x1=,x2=3,
|AB|==,故選B.
11.(2019·成都七中診斷)設(shè)拋物線C
8、:y2=12x的焦點為F,準線為l,點M在C上,點N在l上,且=λ(λ>0),若|MF|=4,則λ等于( )
A. B.2
C. D.3
答案 D
解析 如圖,過M向準線l作垂線,垂足為M′,根據(jù)已知條件,結(jié)合拋物線的定義得==,
又|MF|=4,∴|MM′|=4,
又|FF′|=6,
∴==,∴λ=3.
故選D.
12.(2019·長沙長郡中學調(diào)研)已知橢圓+=1(a>b>0)與雙曲線-=1(m>0,n>0)具有相同焦點F1,F(xiàn)2,且在第一象限交于點P,橢圓與雙曲線的離心率分別為e1,e2,若∠F1PF2=,則e+e的最小值是( )
A. B.2+
C. D.
9、
答案 A
解析 根據(jù)題意,可知|PF1|+|PF2|=2a,
|PF1|-|PF2|=2m,
解得|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,
根據(jù)余弦定理,可知
(2c)2=(a+m)2+(a-m)2-2(a+m)(a-m)cos,
整理得c2=,
所以e+e=+=+
=1+≥1+=
(當且僅當a2=m2時取等號),故選A.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.(2019·長春質(zhì)檢)若橢圓C的方程為+=1,則其離心率為________.
答案
解析 根據(jù)橢圓方程得到a=2,b=,c=1,e==.
14.(2019·南昌八一中學、洪都中學聯(lián)考)
10、若F1,F(xiàn)2是橢圓+=1的左、右焦點,點P在橢圓上運動,則|PF1|·|PF2|的最大值是________.
答案 5
解析 因為點P在橢圓+=1上,
由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a=2,
又|PF1||PF2|≤2=()2=5,
當且僅當|PF1|=|PF2|時取等號,
所以|PF1||PF2|的最大值為5.
15.(2018·蘭州調(diào)研)點P在圓C1:x2+y2-8x-4y+11=0上,點Q在圓C2:x2+y2+4x+2y+1=0上,則|PQ|的最小值是________.
答案 3-5
解析 把圓C1、圓C2的方程都化成標準形式,得
(x-4)2+(y-2)
11、2=9,(x+2)2+(y+1)2=4.
圓C1的圓心坐標是(4,2),半徑是3;
圓C2的圓心坐標是(-2,-1),半徑是2.
圓心距d==3.
所以|PQ|的最小值是3-5.
16.(2019·廣東六校聯(lián)考)已知直線l:y=kx+t與圓C1:x2+(y+1)2=2相交于A,B兩點,且△C1AB的面積取得最大值,又直線l與拋物線C2:x2=2y相交于不同的兩點M,N,則實數(shù)t的取值范圍是______________.
答案 (-∞,-4)∪(0,+∞)
解析 根據(jù)題意得到△C1AB的面積為r2sinθ,當角度為直角時面積最大,此時△C1AB為等腰直角三角形,則圓心到直線的距離為
12、d=1,根據(jù)點到直線的距離公式得到=1?1+k2=(1+t)2?k2=t2+2t,直線l與拋物線C2:x2=2y相交于不同的兩點M,N,聯(lián)立直線和拋物線方程得到x2-2kx-2t=0,只需要此方程有兩個不等根即可,Δ=4k2+8t=4t2+16t>0,解得t的取值范圍為(-∞,-4)∪(0,+∞).
三、解答題(本大題共70分)
17.(10分)(2018·重慶朝陽中學月考)已知直線l1:ax+2y+6=0,直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0.
(1)求a為何值時,l1∥l2;
(2)求a為何值時,l1⊥l2.
解 (1)∵l1∥l2,∴
解得a=-1或a=2(舍去),
∴
13、當a=-1時,l1∥l2.
(2)∵l1⊥l2,∴a·1+2·(a-1)=0,
解得a=,∴當a=時,l1⊥l2.
18.(12分)已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.
(1)證明:對任意實數(shù)m,直線l恒過定點且與圓C交于兩個不同點;
(2)求直線l被圓C截得的弦長最小時的方程.
(1)證明 直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0可化為m(2x+y-7)+(x+y-4)=0,
由解得
所以直線l恒過點P(3,1),而點P(3,1)在圓C內(nèi),
所以對任意實數(shù)m,直線l恒過點P(3,1)且與圓C交于兩個不同點
14、.
(2)解 由(1)得,直線l恒過圓C內(nèi)的定點P(3,1),設(shè)過點P的弦長為a,過圓心C向直線l作垂線,垂足為弦的中點H,則2+|CH|2=25,弦長a最短,則|CH|最大,而|CH|≤|CP|,當且僅當H與P重合時取等號,此時弦所在的直線與直線CP垂直,又過點P(3,1),
所以,當直線l被圓C截得的弦長最小時,弦所在的直線方程為2x-y-5=0.
19.(12分)(2019·湛江調(diào)研)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率e=,且右焦點為(2,0),斜率為1的直線l與橢圓C交于A,B兩點,以AB為底邊作等腰三角形,頂點為P(-3,2).
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)求△
15、PAB的面積.
解 (1)由已知得c=2,=,解得a=2.
b2=a2-c2=4,
所以橢圓C的標準方程為+=1.
(2)設(shè)直線l的方程為y=x+m,代入橢圓方程得
4x2+6mx+3m2-12=0,(*)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為E(x0,y0),
則x0==-,y0=x0+m=,
因為AB是等腰△PAB的底邊,所以PE⊥AB.
所以PE的斜率為k==-1,解得m=2,
此時方程(*)為4x2+12x=0.
解得x=0或-3,所以y=2或-1,所以|AB|=3,
此時,點P(-3,2)到直線AB:x-y+2=0的距離
d==,
所以△
16、PAB的面積S=|AB|·d=.
20.(12分)(2019·四川診斷)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點F(-2,0),上頂點B(0,2).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線y=x+m與橢圓C交于不同兩點M,N,且線段MN的中點G在圓x2+y2=1上,求m的值.
解 (1)由題意可得c=2,b=2,
由a2=b2+c2得a2=22+22=8,所以a=2,
故橢圓C的方程為+=1.
(2)設(shè)點M,N的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),
線段MN的中點G(x0,y0),
由消去y得3x2+4mx+2m2-8=0,
則Δ=96-8m2>0,所以-2
17、
且x0==-,y0=x0+m=,
因為點G(x0,y0)在圓x2+y2=1上,
所以2+2=1,
解得m=±,滿足-2b>0)的右焦點坐標為(1,0),短軸長為2.
(1)求橢圓的方程;
(2)過左焦點F的直線與橢圓分別交于A,B兩點,若△OAB(O為直角坐標原點)的面積為,求直線AB的方程.
解 (1)由題意得 解得a=,
所以橢圓的方程為+=1.
(2)當直線AB與x軸垂直時,|AB|=,
此時S△AOB=不符合題意,故舍掉;
當直線AB與x軸不垂直時,
設(shè)直線AB的方程為y
18、=k(x+1),
由
消去y得(2+3k2)x2+6k2x+(3k2-6)=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則
∴|AB|=
=
==
==
=,
原點O到直線AB的距離d=,
∴S△AOB=|AB|d=××
=,
由S△AOB=,得k2=2,故k=±,
∴直線AB的方程為y=(x+1)或y=-(x+1),
即x-y+=0或x+y+=0.
22.(12分)(2019·新鄉(xiāng)模擬)如圖,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,|F1F2|=2,過點F1的直線與橢圓C交于A,B兩點,延長BF2交橢圓C于點M,△ABF2的周長為8.
19、
(1)求橢圓C的離心率及方程;
(2)試問:是否存在定點P(x0,0),使得·為定值?若存在,求出x0;若不存在,請說明理由.
解 (1)由題意可知,|F1F2|=2c=2,則c=1,
又△ABF2的周長為8,所以4a=8,即a=2,
則e==,b2=a2-c2=3.
故橢圓C的方程為+=1.
(2)假設(shè)存在點P,使得·為定值.
若直線BM的斜率不存在,
則直線BM的方程為x=1,B,M,
則·=(x0-1)2-.
若直線BM的斜率存在,設(shè)BM的方程為y=k(x-1),
設(shè)點B(x1,y1),M(x2,y2),聯(lián)立
得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=,
x1x2=,
由于=(x2-x0,y2),=(x1-x0,y1),
則·=x1x2-(x1+x2)x0+x+y1y2
=(k2+1)x1x2-(x0+k2)(x1+x2)+k2+x
=,
因為·為定值,所以=,
解得x0=,故存在點P,且x0=.
11