《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第72講 定點(diǎn)、定值和探索性問題練習(xí) 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第72講 定點(diǎn)、定值和探索性問題練習(xí) 理（含解析）新人教A版（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第72講　定點(diǎn)、定值和探索性問題 夯實基礎(chǔ)　【p163】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 掌握與圓錐曲線有關(guān)的定點(diǎn)問題、定值問題的求解方法；會運(yùn)用代數(shù)、三角、幾何等方法解決與圓錐曲線有關(guān)的探究問題，培養(yǎng)推理思維能力、運(yùn)算能力． 【基礎(chǔ)檢測】 1．若曲線C：λx2－x－λy＋1＝0(λ∈R)恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．(0，1)　　B．(－1，1)　　C．(1，0)　　D．(1，1) 【解析】由原曲線方程可得(x－1)＋λ(y－x2)＝0過定點(diǎn)，則求得即定點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)． 【答案】D 2．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線C：x2－

2、y2＝λ(λ為正常數(shù))上，過點(diǎn)M作雙曲線C的某一條漸近線的垂線，垂足為N，則|ON|·|MN|的值為(　　) A.B.C．λD．無法確定 【解析】設(shè)M(m，n)，即有m2－n2＝λ， 雙曲線的漸近線為y＝±x， 可得|MN|＝， 由勾股定理可得|ON|＝＝＝， 可得|ON|·|MN|＝·＝＝. 【答案】B 3．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P(2，0)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，直線AF，BF分別與拋物線交于點(diǎn)C，D，設(shè)直線AB，CD的斜率分別為k1，k2，則＝________． 【解析】設(shè)直線AB的方程為y＝k1(x－2)， 聯(lián)立得k1y2－4y－8k1＝0， 設(shè)

3、A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AC的方程為y＝(x－1)，聯(lián)立得y2－y－＝0， 則y1yC＝－4，故yC＝，同理yD＝， 故k2＝＝＝＝2k1，故＝. 【答案】 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A，B兩點(diǎn)．如果·＝－4，則直線l必過定點(diǎn)________． 【解析】設(shè)l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝4x， 消去x得y2－4ty－4b＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b， ∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1

4、y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b. 令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2， ∴直線l過定點(diǎn)(2，0)． 【答案】(2，0) 【知識要點(diǎn)】 1．求定值問題常見的方法有兩種 (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)． (2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值． 2．定點(diǎn)的探索與證明問題 (1)探索直線過定點(diǎn)時，可設(shè)出直線方程為y＝kx＋b，然后利用條件建立b、k等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的思想找出定點(diǎn)． (2)從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān)． 典例剖析　【p163】 考點(diǎn)1　圓錐曲線中的

5、定點(diǎn)問題 已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸上，拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)A到F的距離為2，且A的橫坐標(biāo)為1.過A點(diǎn)作拋物線C的兩條動弦AD，AE，且AD，AE的斜率滿足kAD·kAE＝2. (1)求拋物線C的方程； (2)直線DE是否過某定點(diǎn)？若過某定點(diǎn)，請求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過某定點(diǎn)，請說明理由． 【解析】(1)設(shè)拋物線方程為C：y2＝2px(p>0)， 由其定義知|AF|＝1＋，又|AF|＝2， 所以p＝2，y2＝4x. (2)易知A(1，2)，設(shè)D(x1，y1)，E(x2，y2)， DE方程為x＝my＋n(m≠0)， 把DE方程代入C，并整理得y2－4my－4n＝0，

6、 Δ＝16(m2＋n)＞0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， 由kAD·kAE＝·＝2及y＝4x1，y＝4x2得 y1y2＋2(y1＋y2)＝4，所以n＝2m－1， 代入DE方程得：x＝my＋2m－1，即(y＋2)m＝x＋1， 故直線DE過定點(diǎn)(－1，－2)． 【點(diǎn)評】圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法 (1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)． (2)特殊到一般法：根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)． 考點(diǎn)2　圓錐曲線中的定值問題 已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，左焦點(diǎn)為

7、F，點(diǎn)P為橢圓C上任一點(diǎn)，若直線PA與PB的斜率之積為－，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn). (1)求橢圓的方程； (2)若PB，PA交直線x＝－1于M，N兩點(diǎn)，過左焦點(diǎn)F作以MN為直徑的圓的切線．問切線長是否為定值，若是，請求出定值；若不是，請說明理由． 【解析】(1)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P(x0，y0)，由題意知A(－a，0)，B(a，0)，且＋＝1， 則kPA·kPB＝·＝＝·＝－＝－， 即3a2＝4b2，① 又因為橢圓經(jīng)過點(diǎn). 故＋＝1，② 由①②可知，b2＝3，a2＝4， 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)由(1)知A(－2，0)，B(2，0)，設(shè)kPA＝k(k≠0)， 由k·kPB＝－

8、，得kPB＝－. 所以直線PB的方程為y＝－(x－2)， 令x＝－1，則y＝，故M； 又直線PA方程為y＝k(x＋2)， 令x＝－1，則y＝k，故N(－1，k)． 如圖，因為yMyN＝k·＝＞0， 故以MN為直徑的圓在x軸同側(cè)． 設(shè)FT為圓的一條切線，切點(diǎn)為T，連結(jié)MT，NT， 可知△FTN∽△FMT， 故＝， 則|FT|2＝|FM|·|FN|＝|k|·＝， 故|FT|＝. 故過左焦點(diǎn)F作以MN為直徑的圓的切線長為定值. 【點(diǎn)評】定值問題的求解策略：在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就是“定值”問題，解決這類問題常通過取特殊值，先確定“定值”是多少，再進(jìn)行證明

9、，或者將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無關(guān)的常數(shù)或者由該等式與變量無關(guān)，令其系數(shù)等于零即可得到定值． 考點(diǎn)3　圓錐曲線中的探索性問題 已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，點(diǎn)A(b，0)，點(diǎn)B，F(xiàn)分別為橢圓的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，且|BF|·|BA|＝2. (1)求橢圓C的方程； (2)若過定點(diǎn)M(0，2)的直線C與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)(G在M，H之間)，設(shè)直線l的斜率k>0，在x軸上是否存在點(diǎn)P(m，0)，使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形為菱形？如果存在，求出m的取值范圍？如果不存在，請說明理由． 【解析】(1)設(shè)橢圓焦距為2c，依題意，e＝得a＝2c，① 由|BF|·

10、|BA|＝2得a·＝2，即ab＝2，② 又a2－b2＝c2，③ 由①②③可得a2＝4，b2＝3， ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2(k>0)， 由消去y得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0， 由Δ>0解得k>， 設(shè)G(x1，y1)，H(x2，y2)，則x1＋x2＝， ＋＝(x1＋x2－2m，k(x1＋x2)＋4)， ＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1，k(x2－x1))， 由于菱形對角線垂直，則(＋)·＝0， ∴(1＋k2)(x1＋x2)＋4k－2m＝0， 解得m＝－，即m＝－， ∵k>，∴－≤m<0(當(dāng)且僅當(dāng)＝4k時等號成立)．

11、 所以存在滿足條件的實數(shù)m，m的取值范圍是－≤m<0. 【點(diǎn)評】解決探索性問題的注意事項 探索性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在． (1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論； (2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件； (3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要開放思維，采取另外合適的方法． 方法總結(jié)　　【p164】 1．定點(diǎn)與定值問題的解決，一般通過取極端位置(即特定位置)探索出定點(diǎn)或定值，然后再進(jìn)行一般性證明． 走進(jìn)高考　　【p164】 1．(2018·北京)已知拋物線C：y2＝2px經(jīng)過點(diǎn)P(1，2

12、)．過點(diǎn)Q(0，1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N. (1)求直線l的斜率的取值范圍； (2)設(shè)O為原點(diǎn)，＝λ，＝μ，求證：＋為定值． 【解析】(1)因為拋物線y2＝2px經(jīng)過點(diǎn)P(1，2)， 所以4＝2p，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x. 由題意可知直線l的斜率存在且不為0， 設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1(k≠0)． 由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. 依題意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<0或0

13、值范圍是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1)． (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝. 直線PA的方程為y－2＝(x－1)． 令x＝0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM＝＋2＝＋2. 同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN＝＋2. 由＝λ，＝μ得λ＝1－yM，μ＝1－yN. 所以＋＝＋＝＋＝·＝·＝2. 所以＋為定值． 考點(diǎn)集訓(xùn)　　【p274】 A組題 1．已知橢圓C：＋＝1，直線l：x＋my－m＝0(m∈R)，l與C的公共點(diǎn)個數(shù)為(　　) A．0個B．1個C．2個D．無法判斷 【解析】因為直線：x＋my－m＝0恒過(0，1)，而將(0，1)代

14、入橢圓方程得：＜1，故此點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓相交，故有兩個交點(diǎn)． 【答案】C 2．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)，過點(diǎn)M(p，0)的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，則k1k2＝(　　) A．－1B．2C．－2D．不確定 【解析】設(shè)l的方程為x＝my＋p，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得y2－2pmy－2p2＝0，y1y2＝－2p2， 又(y1y2)2＝4p2x1x2?x1x2＝p2， ∴k1k2＝＝＝－2. 【答案】C 3．已知拋物線x2＝8y，過點(diǎn)P(b，4)作該拋物線的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B

15、，若直線AB恒過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)為(　　) A．(4，0) B．(3，2) C．(0，－4) D．(4，1) 【解析】設(shè)A，B的坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)， ∵y＝，y′＝， ∴PA，PB的方程為y－y1＝(x－x1)，y－y2＝(x－x2)， 由y1＝，y2＝，可得y＝x－y1，y＝x－y2， ∵切線PA，PB都過點(diǎn)P(b，4)， ∴4＝×b－y1，4＝×b－y2， 故可知過A，B兩點(diǎn)的直線方程為4＝x－y， 當(dāng)x＝0時，y＝－4， ∴直線AB恒過定點(diǎn)(0，－4)． 【答案】C 4．拋物線y2＝4x上兩個不同的點(diǎn)A，B，滿足OA⊥OB，則直線AB一定

16、過定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為__________． 【解析】設(shè)直線l的方程為x＝ty＋b代入拋物線y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b， ∴·＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b＝0， ∴b＝0(舍去)或b＝4， 故直線l過定點(diǎn)(4，0)． 【答案】(4，0) 5．如圖，橢圓C：＋＝1(a>2)，圓O：x2＋y2＝a2＋4，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過橢圓上一點(diǎn)P和原點(diǎn)O作直線l交圓O于M、N兩點(diǎn)

17、，若|PF1|·|PF2|＝6，則|PM|·|PN|的值為________． 【解析】|PM|·|PN|＝(R－)＝R2－＝a2＋4－， ∵＝＝ ＝ ＝－＝a2－2. 故·|PN|＝－＝6. 【答案】6 6．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋＝0相切． (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)P(4，0)，A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點(diǎn)，連結(jié)PB交橢圓C于另一點(diǎn)E，證明：直線AE與x軸交于定點(diǎn)Q. 【解析】(1)由題意知e＝＝， 所以e2＝＝＝，即a2＝b2.又因b＝＝， 所以a2＝4，b2＝3

18、. 故橢圓C的方程為＋＝1. (2)由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)直線PB的方程為y＝k(x－4)． 由得(4k2＋3)x2－32k2x＋64k2－12＝0.① 設(shè)點(diǎn)B(x1，y1)，E(x2，y2)，則A(x1，－y1)． 直線AE的方程為y－y2＝(x－x2)． 令y＝0，得x＝x2－. 將y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)代入，整理，得 x＝，② 由①得x1＋x2＝，x1x2＝，代入②，整理，得x＝1. 所以直線AE與x軸相交于定點(diǎn)Q(1，0)． 7．已知動圓E經(jīng)過定點(diǎn)D(1，0)，且與直線x＝－1相切，設(shè)動圓圓心E的軌跡為曲線C. (1)求曲線C的方程；

19、 (2)設(shè)過點(diǎn)P(1，2)的直線l1，l2分別與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，直線l1，l2的斜率存在，且傾斜角互補(bǔ)，證明：直線AB的斜率為定值． 【解析】(1)由已知，動點(diǎn)E到定點(diǎn)D(1，0)的距離等于E到直線x＝－1的距離，由拋物線的定義知E點(diǎn)的軌跡是以D(1，0)為焦點(diǎn)，以x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，故曲線C的方程為y2＝4x. (2)由題意可知直線l1，l2的斜率存在，傾斜角互補(bǔ)，則斜率互為相反數(shù)，且不等于零． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l1的方程為y＝k(x－1)＋2，k≠0. 所以直線l2的方程為y＝－k(x－1)＋2， 由得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－

20、2)2＝0， 已知此方程一個根為1，∴x1×1＝＝， 即x1＝，同理x2＝＝， ∴x1＋x2＝，x1－x2＝＝， ∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2] ＝k(x1＋x2)－2k＝k·－2k＝， ∴kAB＝＝＝－1， 所以，直線AB的斜率為定值－1. B組題 1．圓的某些性質(zhì)可以類比到橢圓和雙曲線中．已知命題“直線l與圓x2＋y2＝t2交于A，B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M，若直線AB和OM(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率均存在，則kABkOM＝－1”．類比到橢圓＋＝1(a>b>0)中有命題“直線l與橢圓＋＝1(a>b>0)交于A，B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M，若直線AB和O

21、M(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率均存在，則kABkOM＝________________________________________________________________________”． 【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B兩點(diǎn)在橢圓上， 故＋＝1，＋＝1， 兩式相減可得＋＝0， 整理可得＋＝0， 方程兩邊同時除以(x1－x2)(x1＋x2)整理可得 ＋＝0， 因為kAB＝，kOM＝，代入上式，整理可得 kABkOM＝－. 【答案】－ 2．已知拋物線C：y2＝2x，過點(diǎn)(1，0)任作一條直線和拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)G(2，0)，連接AG，BG

22、并延長，分別和拋物線C交于點(diǎn)A′和B′，則直線A′B′過定點(diǎn)__________． 【解析】設(shè)AG方程為：x＝my＋2，代入拋物線C：y2＝2x得：y2－2my－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，A′(x2，y2)，則y1y2＝－4， 同理：B(x3，y3)，B′＝(x4，y4)，y3y4＝－4， 又AB過定點(diǎn)M(1，0)，∴與共線， ∴(x1－1)y3－(x3－1)y1＝0， ∴y3－y1＝0，即(y1－y3)＝0， ∴y1y3＝－2，又y1y2＝－4，y3y4＝－4，∴y2y4＝－8. 當(dāng)直線AB斜率存在時，直線A′B′斜率存在， 直線A′B′：y－y2＝(x－x2)，利用點(diǎn)

23、在拋物線上化簡得：y＝(2x＋y2y4)， ∴y＝(2x－8)， ∴直線A′B′過定點(diǎn)(4，0)． 當(dāng)AB⊥x軸時，可設(shè)A(1，)，B(1，－)，得A′(4，－2)，B′(4，2)，此時直線A′B′過定點(diǎn)(4，0)． 故直線A′B′過定點(diǎn)(4，0)． 【答案】(4，0) 3．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，一條漸近線方程為y＝x，右焦點(diǎn)F(5，0)，雙曲線的實軸為A1A2，P為雙曲線上一點(diǎn)(不同于A1，A2)，直線A1P，A2P分別與直線l：x＝交于M，N兩點(diǎn)． (1)求雙曲線的方程． (2)證明·為定值． 【解析】(1)依題意可設(shè)雙曲線方程為：－＝1(a>0，b>0

24、)， 則由解得 ∴所求雙曲線方程為－＝1. (2)由(1)知A1(－3，0)，A2(3，0)，F(xiàn)(5，0)， 設(shè)P(x，y)，M，＝(x＋3，y)，＝， ∵A1、P、M三點(diǎn)共線， ∴(x＋3)y0－y＝0， ∴y0＝，即M， 同理得N， ＝，＝， 則·＝－·， ∵－＝1， ∴＝， ∴·＝－·＝－＝0， 即·＝0(定值)． 4．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓C與y軸交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的一個動點(diǎn)，且直線PA，PB與直線x＝4分別交于M，N兩點(diǎn)．是否存在點(diǎn)P使得以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)

25、D(2，0)？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 【解析】(1)由已知|AB|＝2，得知2b＝2，b＝1， 又因為離心率為，所以＝. 因為a2＝b2＋c2，所以a＝2， 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)假設(shè)存在． 設(shè)P(x0，y0)，M(4，m)，N(4，n)， 由已知可得A(0，1)，B(0，－1)， 所以AP的直線方程為y＝x＋1， BP的直線方程為y＝x－1， 令x＝4，分別可得m＝＋1，n＝－1， 所以|MN|＝|m－n|＝， 線段MN的中點(diǎn)， 若以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D(2，0)， 則(4－2)2＋＝， 因為點(diǎn)P在橢圓上，所以＋y＝1，代入化簡得1－＝0， 所以x0＝8，而x0∈[－2，2]，矛盾， 所以這樣的點(diǎn)P不存在. 備課札記 12