《（名師導學）2020版高考數學總復習 第四章 三角函數、平面向量與復數 第30講 平面向量應用練習 文（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（名師導學）2020版高考數學總復習 第四章 三角函數、平面向量與復數 第30講 平面向量應用練習 文（含解析）新人教A版（5頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第30講　平面向量應用 夯實基礎　【p69】 【學習目標】 平面向量在平面幾何、解析幾何、三角函數、數列等方面的綜合應用． 【基礎檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(3，4)，B(5，2)，C(－1，－4)，則這個三角形是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形 【解析】∵＝(2，－2)，＝(6，6)， ∴·＝12－12＝0， ∴⊥，又||≠||，∴△ABC為直角三角形． 【答案】B 2．河中水流自西向東以每小時10 km的速度流動，小船自南岸A點出發(fā)，想要沿直線駛向正北

2、岸的B點，并使它的實際速度達到每小時10 km，該小船行駛的方向和靜水速度分別為(　　) A．西偏北30°，速度為20 km/h B．北偏西30°，速度為20 km/h C．西偏北30°，速度為20 km/h D．北偏西30°，速度為20 km/h 【解析】由題意得v靜水＝＝20，方向為北偏西30°，選B. 【答案】B 3．已知函數f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分圖象如圖所示，點B，C是該圖象與x軸的交點，過點C的直線與該圖象交于D，E兩點，則(＋)·(－)＝________． 【解析】(＋)·(－)＝(＋)·＝2·＝2||2，顯然||的長度為半個周期，周期T＝＝2，∴

3、||＝1，所求值為2. 【答案】2 4．已知點A(3，3)，O 為坐標原點，設點P(x，y)，且x，y滿足 則向量在向量方向上的投影的取值范圍是____________. 【解析】如圖所示，作出P的可行域△OMN，設z＝x＋y，由直線y＝－x＋z過點M(2，4)時zmax＝6，當過點N(－2，0)時zmin＝－2，即x＋y∈(－2，6)，向量在向量方向上的投影為：||cos〈，〉＝||×＝＝∈(－，3)． 【答案】 【知識要點】 1．向量應用的常用結論 (1)兩個向量垂直的充要條件． 向量表示：a⊥b?__a·b＝0__． 坐標表示：設a＝(x1，y1)，b＝(x2，

4、y2)，則a⊥b?__x1x2＋y1y2＝0__． (2)兩個向量平行的充要條件． 向量表示：若a∥b，且b≠0，則__?λ∈R，使a＝λb__； 坐標表示：設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?__x1y2－x2y1＝0或__ (3)夾角公式：cos θ＝____(0°≤θ≤180°)． (4)模長公式：|a|＝＝. (5)數量積性質：|a·b|≤|a|·|b|. 2．向量應用的分類概述 (1)應用平面向量解決函數與不等式的問題，是以函數和不等式為背景的一種向量描述．它需要掌握向量的概念及基本運算，并能根據題設條件構造合適的向量，利用向量的“數”“形”兩重性解決

5、問題． (2)平面向量與三角函數的整合，仍然是以三角題型為背景的一種向量描述. 它需要根據向量的運算性質將向量問題轉化為三角的相關知識來解答，三角知識是考查的主體． (3)平面向量在解析幾何中的應用，是以解析幾何中的坐標為背景的一種向量描述．它主要強調向量的坐標運算，將向量問題轉化為坐標問題，進而利用直線和圓錐曲線的位置關系的相關知識來解答，坐標的運算是考查的主體． (4)平面向量在平面幾何中的應用，是以平面幾何中的基本圖形(三角形、平行四邊形、菱形等)為背景，重點考查平面向量的線性運算(三角形法則，平行四邊形法則)和幾何圖形的基本性質． (5)平面向量在物理力學等實際問題中的應用，是

6、以實際問題為背景，考查學科知識的綜合及向量的方法． 典 例 剖 析　【p70】 考點1　用向量解決平面幾何問題 (1)P為四邊形ABCD所在平面上一點，＋＋＋＝＋，則P為(　　) A．四邊形ABCD對角線交點 B．AC的中點 C．BD的中點 D．CD邊上一點 【解析】∵＝＋，＝＋，＋＋＋＝＋， ∴＋＝＋，∴＋＝0. ∴點P為線段AC的中點．故選B. 【答案】B (2)在△ABC中，若·＝·＝·，則點O是△ABC的________(填“重心”“垂心”“內心”“外心”)． 【解析】∵·＝·， ∴·(－)＝0， ∴·＝0， ∴OB⊥CA，即OB為△ABC底邊CA上的高

7、所在直線． 同理·＝0，·＝0，故O是△ABC的垂心． 【答案】垂心 【小結】利用向量知識解決平面幾何問題的一般方法，即所謂的“三部曲”： (1)建立起平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題； (2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如平行、垂直、平分等問題； (3)把運算結果“翻譯”成幾何關系． 考點2　用向量解決解析幾何問題 (1)設O為坐標原點，C為圓(x－2)2＋y2＝3的圓心，且圓上有一點M(x，y)滿足·＝0，則＝______． 【解析】∵·＝0，∴OM⊥CM， ∴OM是圓的切線，設OM的方程為y＝kx， 由＝，

8、得k＝±，即＝±. 【答案】± (2)已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，且A、B、C三點共線．當k<0時，若k為直線的斜率，則過點(2，－1)的直線方程為______________． 【解析】∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)，且∥， ∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，解得k＝－2或k＝11. 由k<0可知k＝－2， 則過點(2，－1)且斜率為－2的直線方程為y＋1＝－2(x－2)， 即2x＋y－3＝0. 【答案】2x＋y－3＝0 【小結】向量在解析幾何中的作用： (1)載體作用，向量在解析幾何問題中出現，多用于“包裝”，解決此類問題關鍵

9、是利用向量的意義、運算，脫去“向量外衣”； (2)工具作用，用a⊥b?a·b＝0；a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題． 考點3　向量的綜合應用 (1)已知向量a＝(6，－4)，b＝(0，2)，＝a＋λb，O為坐標原點，若點C在函數y＝sinx的圖象上，則實數λ的值是__________． 【解析】由題意可得＝(6，－4)＋λ(0，2)＝(6，－4＋2λ)，則點C的坐標為C(6，－4＋2λ)，結合函數的解析式有：－4＋2λ＝sin，解得：λ＝. 【答案】 (2)已知在平面直角坐標系中，O(0，0)，M(1，1)，N(0，1)，Q(2，3)，動點P(x，y)滿足不等式0≤

10、·≤1，0≤·≤1，則z＝·的最大值為________． 【解析】∵＝(x，y)，＝(1，1)，＝(0，1)，＝(2，3)， ∴·＝x＋y，·＝y(tǒng)，·＝2x＋3y， 即在的條件下，求z＝2x＋3y的最大值，由線性規(guī)劃知識得，當x＝0，y＝1時，zmax＝3. 【答案】3 【小結】利用向量的載體作用，可以將向量與三角函數、不等式結合起來，解題時通過定義或坐標運算進行轉化，使問題的條件結論明晰化． 【能力提升】 已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線方程是：x＝－. (1)求拋物線方程； (2)設直線y＝k與拋物線相交于M，N兩點，O為坐標原點，證明以MN為直徑的圓過O點． 【

11、解析】(1)由題意p＝1，則拋物線方程為y2＝2x. (2)聯(lián)立得y2＝2，即y2－y－4＝0， 令M，N， ∴y1y2＝－4，x1x2＝y(tǒng)y＝4， ∴·＝x1x2＋y1y2＝y(tǒng)y＋y1y2＝4－4＝0， ∴⊥， ∴以MN為直徑的圓過O點． 方 法 總 結　【p70】 1．用向量解決平面幾何問題的步驟 (1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題； (2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題； (3)把運算結果“翻譯”成幾何關系． 2．應用向量解決問題的關鍵是要構造合適的向量，觀察條件和結構，選擇使用向

12、量的某些性質解決相應的問題．如用數量積解決垂直、夾角問題，用三角形法則、模長公式解決平面幾何線段長度問題，用向量共線解決三點共線問題等．總之，要應用向量，如果題設條件中有向量，則可以聯(lián)想性質直接使用；如果沒有向量，則更需要有向量工具的應用意識，強化知識的聯(lián)系，善于構造向量解決問題． 3．幾點注意事項 (1)在處理三點共線問題時，轉化為兩個向量共線解決，需說明兩個向量有公共點，兩直線不能平行，只能重合． (2)在解決夾角問題時，應注意向量的方向，向量的夾角與所求角可能相等，也可能互補． (3)證明垂直問題一般要經過向量的運算得到數量積a·b＝0，盡量用坐標運算． 走 進 高 考　　【p70】 1．(2018·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，A為直線l：y＝2x上在第一象限內的點，B(5，0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若·＝0，則點A的橫坐標為________． 【解析】因為·＝0，所以AB⊥CD，又點C為AB的中點，所以∠BAD＝45°.設直線l的傾斜角為θ，直線AB的斜率為k，則tan θ＝2，k＝tan＝－3.又B(5，0)，所以直線AB的方程為y＝－3(x－5)，又A為直線l：y＝2x上在第一象限內的點，聯(lián)立直線AB與直線l的方程，得解得所以點A的橫坐標為3. 【答案】3 - 5 -