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2019高考數(shù)學三輪沖刺 大題提分 大題精做7 立體幾何:建系困難問題 理

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1、大題精做7 立體幾何:建系困難問題 [2019·長沙統(tǒng)測]已知三棱錐(如圖一)的平面展開圖(如圖二)中,四邊形為邊長等于的正方形,和均為正三角形,在三棱錐中: (1)證明:平面平面; (2)若點在棱上運動,當直線與平面所成的角最大時,求二面角的余弦值. 圖一 圖二 【答案】(1)見解析;(2). 【解析】(1)設的中點為,連接,. 由題意,得,,. ∵在中,,為的中點,∴, ∵在中,,,,,∴. ∵,,平面,∴平面, ∵平面,∴平面平面. (2)由(1)知,,,平面, ∴是直線與平面所成的角,且, ∴當最短時,即是的中點時,最大. 由平面,,∴,,

2、于是以,,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖示空間直角坐標系, 則,,,,,, ,,. 設平面的法向量為, 則由得:.令,得,,即. 設平面的法向量為, 由得:,令,得,,即. .由圖可知,二面角的余弦值為. 1.[2019·安慶期末]矩形中,,,點為中點,沿將折起至,如圖所示,點在面的射影落在上. (1)求證:面面; (2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值. 2.[2019·南陽期末]如圖1,在矩形中,,,點在線段上,且,現(xiàn)將沿折到的位置,連結,,如圖2. (1)若點在線段上,且

3、,證明:; (2)記平面與平面的交線為.若二面角為,求與平面所成角的正弦值. 3.[2019·蘇州調研]如圖,在四棱錐中,已知底面是邊長為1的正方形,側面平面,,與平面所成角的正弦值為. (1)求側棱的長; (2)設為中點,若,求二面角的余弦值. 1.【答案】(1)詳見解析;(2). 【解析】(1)在四棱錐中,,,從而有, 又∵

4、面,而面,∴,而、面,且, 由線面垂直定理可證面,又面,由面面垂直判斷定定理即證面面. (2)由條件知面,過點做的平行線, 又由(1)知面,以、、分別為、、軸建立空間直角坐標系, 如圖所示: ,,,,, 面的一個法向量為, 設面的法向量為,則有, 從而可得面的一個法向量為,, 設平面與平面所成銳二面角為,與互補,則, 故平面與平面所成二面角的余弦值為. 2.【答案】(1)詳見解析;(2). 【解析】證明:(1)先在圖1中連結,在中,由,, 得,在中,由,, 得,∴,則, ∴,從而有,,即在圖2中有,, ∴平面,則; 解:(2)延長,交于點,連接,根據(jù)公

5、理3得到直線即為, 再根據(jù)二面角定義得到.在平面內過點作底面垂線, 以為原點,分別為,,及所作垂線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系, 則,,,, ,,, 設平面的一個法向量為,由,取,得. ∴與平面所成角的正弦值為. 3.【答案】(1)或;(2). 【解析】(1)取中點,中點,連結,,∵,∴, 又∵平面平面,平面,平面平面, ∴平面,∴,, 又∵是正方形,∴, 以為原點,,為,,軸建立空間直角坐標系(如圖), 則,,,, 設,則,, 設平面的一個法向量為,則有, 取,則,從而, 設與平面所成角為,∵, ∴,解得或, ∴或. (2)由(1)知,,∴,, 由(1)知,平面的一個法向量為, 設平面的一個法向量為,而,, ∴取,則,,即, 設二面角的平面角為,∴, 根據(jù)圖形得為銳角,∴二面角的余弦值為. 8

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