(魯京津瓊專(zhuān)用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 階段自測(cè)卷(五)(含解析)
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1、階段自測(cè)卷(五) (時(shí)間:120分鐘 滿(mǎn)分:150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1.(2019·貴州遵義航天中學(xué)月考)下列說(shuō)法正確的是( ) A.空間中,兩不重合的平面若有公共點(diǎn),則這些點(diǎn)一定在一條直線(xiàn)上 B.空間中,三角形、四邊形都一定是平面圖形 C.空間中,正方體、長(zhǎng)方體、四面體都是四棱柱 D.用一平面去截棱錐,底面與截面之間的部分所形成的多面體叫棱臺(tái) 答案 A 解析 空間四邊形不是平面圖形,故B錯(cuò);四面體不是四棱柱,故C錯(cuò);平行于底面的平面去截棱錐,底面和截面之間的部分所形成的多面體才叫棱臺(tái),故D錯(cuò);根據(jù)公理2可知A正確,故選A. 2.
2、(2019·湛江調(diào)研)設(shè)m,n是兩條不同的直線(xiàn),α,β是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是( ) A.α∩β=n,m?α,m∥β?m∥n B.α⊥β,α∩β=m,m⊥n?n⊥β C.m⊥n,m?α,n?β?α⊥β D.m∥α,n?α?m∥n 答案 A 解析 對(duì)于A,根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可得A選項(xiàng)正確;對(duì)于B,當(dāng)α⊥β,α∩β=m時(shí),若n⊥m,n?α,則n⊥β,但題目中無(wú)條件n?α,故B不一定成立;對(duì)于C,若m⊥n,m?α,n?β,則α與β相交或平行,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若m∥α,n?α,則m與n平行或異面,則D錯(cuò)誤,故選A. 3.(2019·重慶萬(wàn)州三中月考)如圖,在三棱柱AB
3、C-A1B1C1中,D是CC1的中點(diǎn),F(xiàn)是A1B的中點(diǎn),且=α+β,則( ) A.α=,β=-1 B.α=-,β=1 C.α=1,β=- D.α=-1,β= 答案 A 解析 根據(jù)向量加法的多邊形法則以及已知可得, =++=++1 =+-++1=-, ∴α=,β=-1,故選A. 4.平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,=(1, 2, 0),=(2, 1, 0),1=(0, 1, 5),則對(duì)角線(xiàn)AC1的邊長(zhǎng)為( ) A.4B.4C.5D.12 答案 C 解析 因?yàn)?=1++=1++=(0,1,5)+(1,2,0)+(2,1,0)=(3,4,5), 所以|1|
4、==5,故選C. 5.(2019·涼山診斷)如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB1,BC1的中點(diǎn),下列結(jié)論中,正確的是( ) A.EF⊥BB1 B.EF⊥平面BCC1B1 C.EF∥平面D1BC D.EF∥平面ACC1A1 答案 D 解析 連接B1C交BC1于F,由于四邊形BCC1B1是平行四邊形,對(duì)角線(xiàn)互相平分,故F是B1C的中點(diǎn).因?yàn)镋是AB1的中點(diǎn),所以EF是△B1AC的中位線(xiàn),故EF∥AC,所以EF∥平面ACC1A1.故選D. 6.(2019·湖北黃岡中學(xué)、華師附中等八校聯(lián)考)《九章算術(shù)》中“開(kāi)立圓術(shù)”曰:“置積尺數(shù),以十六乘之,九而一
5、,所得開(kāi)立方除之,即立圓徑”.“開(kāi)立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V,求球的直徑d的公式d=.若球的半徑為r=1,根據(jù)“開(kāi)立圓術(shù)”的方法計(jì)算該球的體積為( ) A.πB.C.D. 答案 D 解析 根據(jù)公式d=得,2=,解得V=.故選D. 7.已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1,球O與該正方體的各個(gè)面相切,則平面ACB1截此球所得的截面的面積為( ) A.B.C.D. 答案 D 解析 因?yàn)榍蚺c各面相切,所以直徑為2,且AC,AB1,CB1的中點(diǎn)在所求的切面圓上,所以所求截面為此三點(diǎn)構(gòu)成的邊長(zhǎng)為的正三角形的外接圓,由正弦定理知, R=,所以截面的面積S=,故選D
6、. 8.已知向量n=(2,0,1)為平面α的法向量,點(diǎn)A(-1,2,1)在α內(nèi),則P(1,2,-2)到α的距離為( ) A.B.C.2D. 答案 A 解析 ∵=(-2,0,3), ∴點(diǎn)P到平面α的距離為d===. ∴P(1,2,-2)到α的距離為. 故選A. 9.正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在A1C上運(yùn)動(dòng)(包括端點(diǎn)),則BP與AD1所成角的取值范圍是( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(0≤x≤1),則=, =,設(shè),的夾角為α, 所以cos
7、α===,所以當(dāng)x=時(shí),cosα取得最大值,α=.當(dāng)x=1時(shí),cosα取得最小值,α=. 因?yàn)锽C1∥AD1.故選D. 10.(2019·淄博期中)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=4,AB=2,CC1=2,E,F(xiàn)分別為AC,CC1的中點(diǎn),則直線(xiàn)EF與平面AA1B1B所成的角是( ) A.30°B.45°C.60°D.90° 答案 A 解析 連接AC1,則EF∥AC1,直線(xiàn)EF與平面AA1B1B所成的角,就是直線(xiàn)EF與平面AA1B1B所成的角,AC1與平面AA1B1B所成的角;作C1D⊥A1B1于D,連接AD,因?yàn)橹比庵鵄BC-A1B1C1中,CA=CB=4,所以
8、底面是等腰三角形,則C1D⊥平面AA1B1B,可知∠C1AD就是直線(xiàn)EF與平面AA1B1B所成的角,CA=CB=4,AB=2,CC1=2,可得C1D==3,AD==3,所以tan∠C1AD==, 所以∠C1AD=30°.故選A. 11.(2019·陜西漢中中學(xué)月考)點(diǎn)A,B,C,D,E是半徑為5的球面上五點(diǎn),A,B,C,D四點(diǎn)組成邊長(zhǎng)為4的正方形,則四棱錐E-ABCD體積的最大值為( ) A.B.256C.D.64 答案 A 解析 正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為=8.則球心到正方形中心的距離d==3.則E到正方形ABCD的最大距離為h=d+5=8.則VE-ABCD=×4×4×8=.故
9、選A.
12.(2019·四省聯(lián)考診斷)如圖所示,四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為2的菱形,∠B=60°,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊BC,AB上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn)),且EF∥AC,沿EF把平面BEF折起,使平面BEF⊥底面ECDAF,當(dāng)五棱錐B-ECDAF的體積最大時(shí),EF的長(zhǎng)為( )
A.1B.C.D.
答案 B
解析 由EF∥AC可知△BEF為等邊三角形,設(shè)EF=x,等邊△BEF的高為x,面積為x2,所以五邊形ECDAF的面積為2××22-x2=2-x2,故五棱錐的體積為××x=x-x3(0 10、單調(diào)遞減,故在x=時(shí)取得極大值也即最大值.故選B.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.設(shè)m,n為空間兩條不同的直線(xiàn),α,β為空間兩個(gè)不同的平面,給出下列命題:
①若m∥α,m∥β,則α∥β;?、谌鬽⊥α,m∥β,則α⊥β;
③若m∥α,m∥n,則n∥α;?、苋鬽⊥α,α∥β,則m⊥β.
其中正確的命題序號(hào)是________.
答案?、冖?
解析 對(duì)于①,若m∥α,m∥β,則α與β可能相交,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,若m⊥α,m∥β,根據(jù)線(xiàn)面垂直和線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β,故②正確;對(duì)于③,若m∥α,m∥n,則n可能在α內(nèi),故③錯(cuò)誤,對(duì)于④, 11、若m⊥α,α∥β,則根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理以及面面平行的性質(zhì)定理得到m⊥β,故④正確.故答案為②④.
14.如圖,在三棱柱A1B1C1-ABC中,已知D,E,F(xiàn)分別為AB,AC,AA1的中點(diǎn),設(shè)三棱錐A-FED的體積為V1,三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2,則V1∶V2的值為_(kāi)_______.
答案
解析 設(shè)三棱柱的高為h,
∵F是AA1的中點(diǎn),則三棱錐F-ADE的高為,
∵D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),∴S△ADE=S△ABC,
∵V1=S△ADE·,V2=S△ABC·h,
∴==.
15.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上,AB= 12、AC,側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形,則側(cè)面ABB1A1的面積為_(kāi)_______.
答案
解析 由題意知,球心在正方形的中心上,球的半徑為1,則正方形的邊長(zhǎng)為.∵三棱柱ABC—A1B1C1為直三棱柱,∴平面ABC⊥平面BCC1B1,∴BC為截面圓的直徑,∴∠BAC=90°.∵AB=AC,∴AB=1,
∴側(cè)面ABB1A1的面積為×1=.
16.(2019·陜西四校聯(lián)考)直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,側(cè)棱長(zhǎng)等于底面三角形的斜邊長(zhǎng),若其外接球的體積為,則該三棱柱體積的最大值為_(kāi)___________.
答案 4
解析 設(shè)三棱柱底面直角三角形的直角邊為a, 13、b,則棱柱的高h(yuǎn)=,
設(shè)外接球的半徑為r,則πr3=,解得r=2,
∵上、下底面三角形斜邊的中點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)是該三棱柱的外接球的球心,∴h=2r=4.∴h=2,
∴a2+b2=h2=8≥2ab,
∴ab≤4.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)“=”成立.
∴三棱柱的體積V=Sh=abh=ab≤4.
三、解答題(本大題共70分)
17.(10分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC與BD交于點(diǎn)O,PC⊥底面ABCD,點(diǎn)E為側(cè)棱PB的中點(diǎn).
求證:(1)PD∥平面ACE;
(2)平面PAC⊥平面PBD.
證明 (1) 連接OE.
因?yàn)镺為正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn) 14、,
所以O(shè)為BD的中點(diǎn).
因?yàn)镋為PB的中點(diǎn),
所以PD∥OE.
又因?yàn)镺E?平面ACE,PD?平面ACE,
所以PD∥平面ACE.
(2) 在四棱錐P-ABCD中,
因?yàn)镻C⊥底面ABCD,BD?底面ABCD,
所以BD⊥PC.
因?yàn)镺為正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),
所以BD⊥AC.
又PC,AC?平面PAC,PC∩AC=C,
所以BD⊥平面PAC.
因?yàn)锽D?平面PBD,
所以平面PAC⊥平面PBD.
18.(12分)(2019·廣州執(zhí)信中學(xué)測(cè)試)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等邊三角形,已知BD=2AD=8 15、,AB=2DC=4.
(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn),證明:平面MBD⊥平面PAD;
(2)求四棱錐P-ABCD的體積.
(1)證明 在△ABD中,由于AD=4,BD=8,AB=4,
所以AD2+BD2=AB2.故AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,
BD?平面ABCD,
所以BD⊥平面PAD,
又BD?平面MBD,
故平面MBD⊥平面PAD.
(2)解 如圖,過(guò)P作PO⊥AD交AD于O,
由于平面PAD⊥平面ABCD,
所以PO⊥平面ABCD.
因此PO為四棱錐P-ABCD的高,又△PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.
因此PO= 16、×4=2.
在四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,
所以四邊形ABCD是梯形,在Rt△ADB中,斜邊AB邊上的高為=,
此即為梯形ABCD的高,
所以四邊形ABCD的面積為S=×=24.
故VP-ABCD=×24×2=16.
19.(12分)(2019·化州模擬)如圖所示,在四棱錐E-ABCD中,ED⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=CD=2.
(1)求證:BC⊥BE;
(2)當(dāng)幾何體ABCE的體積等于時(shí),求四棱錐E-ABCD的側(cè)面積.
(1)證明 連接BD,取CD的中點(diǎn)F,連接BF,則直角梯形ABCD中,BF⊥CD,BF=CF=DF,
∴∠C 17、BD=90°,即BC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD,
BC?平面ABCD,∴BC⊥DE,
又BD∩DE=D,∴BC⊥平面BDE.
由BE?平面BDE得,BC⊥BE.
(2)解 ∵VABCE=VE-ABC=×DE×S△ABC
=×DE××AB×AD=DE=,
∴DE=2,
∴EA==2,BE==2,
又AB=2,∴BE2=AB2+AE2,
∴AB⊥AE,
∴四棱錐E-ABCD的側(cè)面積為
×DE×AD+×AE×AB+×BC×BE+×DE×CD=6+2+2.
20.(12分)(2019·青島調(diào)研)如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中,AB=π,AD=2,E,F(xiàn)為線(xiàn)段AB的三等分點(diǎn), 18、G,H為線(xiàn)段DC的三等分點(diǎn).將長(zhǎng)方形ABCD卷成以AD為母線(xiàn)的圓柱W的半個(gè)側(cè)面,AB,CD分別為圓柱W上、下底面的直徑.
(1)證明:平面ADHF⊥平面BCHF;
(2)求二面角A-BH-D的余弦值.
(1)證明 因?yàn)镠在下底面圓周上,且CD為下底面半圓的直徑,
所以DH⊥CH,又因?yàn)镈H⊥FH,且CH∩FH=H,
所以DH⊥平面BCHF.
又因?yàn)镈H?平面ADHF,
所以平面ADHF⊥平面BCHF.
(2)解 以H為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以HD,HC,HF所在直線(xiàn)為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)下底面半徑為r,由題意得πr=π,
所以r=1,CD=2.
因?yàn)镚,H為D 19、C的三等分點(diǎn),
所以∠HDC=30°,
所以在Rt△DHC中,HD=,HC=1,
所以A(,0,2),B(0,1,2),D(,0,0),
設(shè)平面ABH的法向量為n=(x,y,z),
因?yàn)閚·=(x,y,z)·(,0,2)=0,
n·=(x,y,z)·(0,1,2)=0,
所以
所以平面ABH的法向量n=(-2,-2,).
設(shè)平面BHD的法向量m=(x,y,z).
因?yàn)閙·=(x,y,z)·(,0,0)=0,
m·=(x,y,z)·(0,1,2)=0,
所以
所以平面BHD的法向量m=(0,-2,1),
由圖形可知,二面角A—BH—D的平面角為銳角,設(shè)為θ,
所以二 20、面角A-BH-D的余弦值為
cosθ==.
21.(12分)(2019·成都七中診斷)如圖,在多面體ABCDE中,AC和BD交于一點(diǎn),除EC以外的其余各棱長(zhǎng)均為2.
(1)作平面CDE與平面ABE的交線(xiàn)l,并寫(xiě)出作法及理由;
(2)求證:平面BDE⊥平面ACE;
(3)若多面體的體積為2,求直線(xiàn)DE與平面BCE所成角的正弦值.
(1)解 過(guò)點(diǎn)E作AB(或CD)的平行線(xiàn),即為所求直線(xiàn)l.
∵AC和BD交于一點(diǎn),
∴A,B,C,D四點(diǎn)共面.
又∵四邊形ABCD邊長(zhǎng)均相等,
∴四邊形ABCD為菱形,從而AB∥DC.
又AB?平面CDE,且CD?平面CDE,
∴AB∥平面C 21、DE.
∵AB?平面ABE,且平面ABE∩平面CDE=l,
∴AB∥l.
(2)證明 取AE的中點(diǎn)O,連接OB,OD.
∵AB=BE,DA=DE,∴OB⊥AE,OD⊥AE.
又OB∩OD=O,
∴AE⊥平面OBD,
∵BD?平面OBD,故AE⊥BD.
又四邊形ABCD為菱形,∴AC⊥BD.
又AE∩AC=A,
∴BD⊥平面ACE.
又BD?平面BDE,
∴平面BDE⊥平面ACE.
(3)解 由VE-ABCD=2VE-ABD=2VD-ABE=2,
即VD-ABE=1.
設(shè)三棱錐D-ABE的高為h,
則·h=1,
解得h=.
又∵DO=.
∴DO⊥平面ABE. 22、
以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OE,OD所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(,0,0),D(0,0,),E(0,1,0).
∴==(0,1,),
=(-,1,0).
設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),
由得,
平面BCE的一個(gè)法向量為n=(1,,-1).
又=(0,1,-),
于是cos〈,n〉==.
故直線(xiàn)DE與平面BCE所成角的正弦值為.
22.(12分)如圖,△ABC的外接圓⊙O的半徑為,CD⊥⊙O所在的平面,BE∥CD,CD=4,BC=2,且BE=1,tan∠AEB=2.
(1)求證:平面ADC⊥ 23、平面BCDE;
(2)試問(wèn)線(xiàn)段DE上是否存在點(diǎn)M,使得直線(xiàn)AM與平面ACD所成角的正弦值為?若存在,確定點(diǎn)M的位置,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)證明 ∵CD⊥平面ABC,BE∥CD,
∴BE⊥平面ABC,∴BE⊥AB.
∵BE=1,tan∠AEB=2,∴AE=,
從而AB==2.
∵⊙O的半徑為,∴AB是直徑,∴AC⊥BC,
又∵CD⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴CD⊥BC,故BC⊥平面ACD.
∵BC?平面BCDE,∴平面ADC⊥平面BCDE.
(2)解 方法一 假設(shè)點(diǎn)M存在,過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CD于N,連接AN,作MF⊥CB于F,連接AF.
∵平面ADC⊥平面BC 24、DE,
平面ADC∩平面BCDE=DC,
MN?平面BCDE,∴MN⊥平面ACD,
∴∠MAN為MA與平面ACD所成的角.
設(shè)MN=x,計(jì)算易得,DN=x,MF=4-x,
故AM==
=,
sin∠MAN===,
解得x=-(舍去),x=,
故MN=CB,從而滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M存在,且DM=DE.
方法二 以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CD所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則A(4,0,0),B(0,2,0),D(0,0,4),E(0,2,1),C(0,0,0),
則=(0,2,-3).
易知平面ACD的法向量為=(0,-2,0),假設(shè)M點(diǎn)存在,設(shè)M(a,b,c),則=(a,b,c-4),
再設(shè)=λ,λ∈(0,1] ,
∴?
即M(0,2λ,4-3λ),從而=(-4,2λ,4-3λ).
設(shè)直線(xiàn)AM與平面ACD所成的角為θ,則
sinθ=|cos〈,〉|==,
解得λ=-或λ=,其中λ=-應(yīng)舍去,而λ=∈(0,1],故滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M存在,且點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
15
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