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1、 第二章　 一元二次函數(shù)、方程和不等式A 知識(shí)點(diǎn)一：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì) 1．等式的基本性質(zhì) 性質(zhì)1　如果，那么...........................； 性質(zhì)2　如果，，那么............................； 性質(zhì)3　如果，那么..............................； 性質(zhì)4　如果，那么....................................； 性質(zhì)5　如果，...............................，那么. 2．不等式的性質(zhì) 性質(zhì)1 如果，那么................

2、.........；如果，那么.即?........................（對(duì)稱性） 性質(zhì)2 如果，，那么.................................即，?.....................................（傳遞性） 性質(zhì)3 如果，那么..........................（加法法則） 性質(zhì)4 如果，，那么..............................；如果，，那么.............................（乘法法則） 性質(zhì)5 如果，，那么........................

3、........（加法法則） 性質(zhì)6 如果，那么................................（乘法法則） 性質(zhì)7 如果，那么............................................（）．（乘方法則） 例1.2.1 對(duì)于實(shí)數(shù)中，給出下列命題中正確的有：_______________________________ ①若，則； ②若，則； ③若，則； ④若，則； ⑤若，則； ⑥若，則； ⑦若，則； ⑧若，則； ⑨若，則； ⑩若，則. 變式練習(xí)：1.設(shè)實(shí)數(shù)、滿

4、足，則下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命題為真命題的是（ ） A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則 3.（多選題）已知均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（ ） A．若，則 B．若，則 C．若則 D．若則 4.（多選題）設(shè)，，則下列不等式中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 例1.2.2 已知，.試求: （1） 的取值范圍； （2） 的取值范圍； （3） 的取值范圍 變式練習(xí)： 1. 已知，求的取值范圍． 2

5、.已知，，求的取值范圍. 知識(shí)點(diǎn)二：基本不等式 1.重要不等式：，有，當(dāng)且僅當(dāng)..............................時(shí)，等號(hào)成立； 2.基本不等式：..............................，有，當(dāng)且僅當(dāng)..............................時(shí)，等號(hào)成立； 其中...........................叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)；...................叫做正數(shù)的幾何平均數(shù) 3.基本不等式求最值的條件： (1)必須是.........................

6、.................；（一正） (2)求積的最大值時(shí)，應(yīng)看和是否為........................,若(和為定值)，則當(dāng).......................時(shí)，積有最.....................值，且這個(gè)值為..............................；求和的最小值時(shí)，應(yīng)看積是否為....................... ，若(積為定值),則當(dāng)..............................時(shí)，和有最...........................................值，且這個(gè)值為...

7、...............................（二定） (3)等號(hào)成立的條件是否滿足.（三相等） 4.常用不等式 （1）(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用)； （2）若，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）； （3）若，則（糖水的濃度問題）； （4）若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）；拓展：對(duì)于個(gè)正數(shù)，滿足（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立） 題型一：對(duì)基本不等式的理解 例2.1.1 給出下面三個(gè)推導(dǎo)過程： ①因?yàn)?，所以? ②因?yàn)?，所以? ③因?yàn)椋? 其中正確的推導(dǎo)過程為__________________________________ 變式練習(xí)：1.下列命題中正確的是(　

8、　) A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)， C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)， 2. 已知都是正數(shù)，且，求證： （1） ； （2） . 題型二：利用基本不等式求最值 1.“一正、二定、三相等”的應(yīng)用 例2.2.1 已知函數(shù)，求值域的取值范圍 變式練習(xí)：1. 在下列函數(shù)中,最小值是2的是（ ） 2. 已知，若不等式恒成立，則的最大值等于(　　) 3. 已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為（ ）

9、 4. 若都是正數(shù)，則的最小值為( ). 2. 配湊項(xiàng)與系數(shù) 例2.2.2 (1) 已知，求的最大值； (2) 已知，求的最小值； (3) 已知，求函數(shù)的最小值. 變式練習(xí)：1. 求的最大值. 2. 已知，求的最大值. 3. 若，求函數(shù)的最大值 4. 已知，求的最小值. 3.已知求的最小值問題（乘“1”法） 例2.2.3 （1）已知且，求的最小值； （2）已知正數(shù)滿足，求的最小值； （3）若正數(shù)滿足，求的最小值 （

10、4）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ） （5）知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為（ ） 變式練習(xí)：1. 已知，，，則的最小值為（???????） 2. 已知，，，則的最小值為（　?。? 3. 已知非負(fù)數(shù)滿足，則的最小值是（ ） 4. 已知，且，則的最小值為（ ）

11、 5.（2022宣城市二模11） 已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（ ） 6. 已知正數(shù)滿足，則的最小值是（ ） 7. 已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（ ） 8. （2022合肥一六八中學(xué)最后一卷7）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（ ） 9. 已知均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為____

12、______ 10. 已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為______________ 11. 已知，，，則取到最小值為 ． 12. 若，且，則的最小值為_________ 13. 若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是_____． 4.型如，求或取值范圍問題（整體思想的運(yùn)用） 例2.2.4 若： (1)求的取值范圍； (2)求的取值范圍. 變式練習(xí)：1. 若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為( ) A. B. 2 C. 2 D. 4 2. 已知，，且，則的最小值為（???????）

13、 3. 已知，，，則（ ） 的最大值為2 的最小值為4 的最小值為3 的最小值為 4. 設(shè)為正實(shí)數(shù)，若,求的取值范圍為______________. 5. 已知都是正數(shù)，且滿足，則的最大值為_________． 6. 已知，且，則的最小值為___________． 7. 非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___________. 8. 已知，且，則的最小值等于_______． 9. 已知，且，則的最小值是____________． 10. 已知，且，則的最小值等于_______． 5.消元法 例2.2.5 已知正數(shù)，滿足，則的最大值為______．

14、 變式練習(xí)：1.已知，，且，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 2.若正數(shù)，滿足，則的最小值是______，此時(shí)______. 3.若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___________. 6.同時(shí)平方法 例2.2.6 已知為實(shí)數(shù)，，求函數(shù)的最值 變式練習(xí)：1. 求函數(shù)的最值 2. 設(shè)都是正數(shù)，且使，求實(shí)數(shù)的最大值. 題型三：利用基本不等式解決實(shí)際問題 例2.3 如圖，動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成． (1)現(xiàn)有可圍 36 m長(zhǎng)網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可

15、使每間虎籠面積最大？ (2)若使每間虎籠面積為24 m2，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最??？ 變式練習(xí)：1. 某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無蓋蓄水池，其容積為，深為，如果池底每平方米的造價(jià)為元，池壁每平方米的造價(jià)為元，那么怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？ 2. 一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉庫儲(chǔ)存貨物，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)（單位：元）與倉庫到車站的距離（單位：）成反比，每月庫存貨物費(fèi)（單位：元）與成正比；若在距離車站處建倉庫，則和分別為萬元和萬元，這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站多少處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和

16、最小？ 3. 設(shè)矩形的周長(zhǎng)為，把沿向折疊，折過去后交于點(diǎn)，設(shè) ，求的最大面積及相應(yīng)的值. 知識(shí)點(diǎn)三：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式 二次函數(shù) 的圖像 一元二次方程 的根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 題型一：解一元二次不等式 例3.1 當(dāng)時(shí)，不等式的解集為（ ） 變式練習(xí)：1. 若，則不等式的解集為（ ）

17、 2. 關(guān)于的不等式的解集為___________. 3. 不等式的解集為___________________. 題型二：已知一元二次不等式的解集求參變量的取值范圍 例3.2 （1）已知關(guān)于的不等式的解集是，求的值 （2）不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍 （3）已知關(guān)于的不等式的解集是，求不等式的解集 （4）如果方程的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于1，另一個(gè)大于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍 變式練習(xí):1.已知不等式的解集為或，則實(shí)數(shù)__________. 2．已知關(guān)于的不等式的解集為，則等于（ ） 1

18、 3 3．設(shè)，則關(guān)于的不等式的解集是_____________ 4. 已知不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（　?。? 或 或 5. 已知的解是，求關(guān)于的不等式的解集. 6. 設(shè)不等式的解集為，如果，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 題型三：解含參變量的一元二次不等式 例3.2.1 （1）解關(guān)于的不等式； （2）解關(guān)于的不等式； （3）解關(guān)于的不等式； （4）解關(guān)于正數(shù)的不等式； 變式練習(xí)：1. 解關(guān)于的不等式； 2. 解關(guān)于的不等式； 3. 解關(guān)于的不等式； 4. 解關(guān)于的不等式；

19、 題型四：二次方程根的分布 例3.4 求實(shí)數(shù)的取值范圍，使關(guān)于的方程： （1）有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比大，一個(gè)比小； （2）有兩個(gè)實(shí)根，且滿足； （3）至少有一個(gè)正根. 變式練習(xí)：1. 若方程在區(qū)間內(nèi)恰有一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） 2. 關(guān)于的方程在區(qū)間上有唯一實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） 3. 若關(guān)于的方程在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）

20、 4. 一元二次方程的兩個(gè)根都是正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） 或 5. 已知二次方程有一正根和一負(fù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） 或 6. 若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） 7. 已知方程有兩根，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） 8. 關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

21、） 題型五：恒成立、能成立問題 例3.5（1）已知關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍 （2） 對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍 （3）若存在實(shí)數(shù)，使不等式成立，求的取值范圍 （4）已知不等式． ①若對(duì)于所有實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求的取值范圍； ②若對(duì)于，不等式恒成立，求的取值范圍． 變式練習(xí)：1.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立．則的取值范圍是________． 2.若對(duì)任何實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 3．設(shè)，若關(guān)于的不等式在上有解，則（ ） A． B． C． D

22、． 4．已知不等式對(duì)任意的恒成立的的取值集合為，不等式對(duì)任意的恒成立的取值集合為，則有（ ） A． B． C． D． 題型六 ：綜合問題 例3.6.1 （1) 已知函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍； （2）已知函數(shù)在上的值域?yàn)?，求的取值范圍? （3）已知函數(shù)在上的最小值為3，求的值； （4）已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，求? （5）已知為實(shí)數(shù)，不等式有解，且它的解集是不等式的解集的子集，求的取值范圍。 例3.6.2 ，若，， （1）證明：方程有實(shí)根； （2）證明：； （3）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)根，求的范圍。

23、 拓展知識(shí)點(diǎn)四：高次不等式、分式不等式的解法 1.標(biāo)根法：其步驟是： （1）分解成若干個(gè)一次因式的..............................，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為........................................； （2）將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從......................根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；并注意奇穿過偶彈回； 2.分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為...............，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用.......................求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。 例4.1 若且，則不等式的解集為 . 例4.2 不等式的解集是___________. 變式練習(xí)：1. 解關(guān)于的不等式； 2. 解關(guān)于的不等式； 3. 解關(guān)于的不等式； 2. 解關(guān)于的不等式；