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幾何證明壓軸題(中考)
1、如圖,在梯形?ABCD?中,AB∥CD,∠BCD=90°,且?AB=1,BC=2,tan∠ADC=2.
(1)?求證:DC=BC;
(2)?E?是梯形內(nèi)一點(diǎn),F(xiàn)?是梯形外一點(diǎn),且∠EDC=∠FBC,DE=BF,試判斷 CF?的形
狀,并證明你的結(jié)論;
(3)?在(2)的條件下,當(dāng)?BE:CE=1:2,∠BEC=135°時(shí),求?sin∠BFE?的值.
[解析]
(1)過?A?作?DC?的垂線?AM?交?DC?于?M,
A???????B
則?AM=BC=2.
又?
2、tan∠ADC=2,所以?DM?=
2
2
=?1.即?DC=BC.
E
(2)等腰三角形.
證明:因?yàn)?DE?=?DF?,?DEDC?=?DFBC?,?DC?=?BC?.
F
所以,△DEC≌△BFC
D
C
所以,?CE?=?CF?,?DECD?=?DBCF?.
所以,?DECF?=?DBCF?+?DBCE?=?DECD?+?DBCE?=?DBCD?=?90°
即△ECF?是等腰直角三角形.
(3)設(shè)?BE?=?k?,則?CE?=?CF?=?2k?,所以?EF?=?2?2k?.
因?yàn)?
3、DBEC?=?135°?,又?DCEF?=?45°?,所以?DBEF?=?90°?.
所以?BF?=
k?2?+?(2?2k?)2?=?3k
所以?sin?DBFE?=
k??1
=??.
3k??3
2、已知:如圖,在□?ABCD?中,E、F?分別為邊?AB、CD?的中點(diǎn),BD?是對(duì)角線,AG∥DB
交?CB?的延長(zhǎng)線于?G.
()求證: ADE≌△CBF;
(2)若四邊形?BEDF?是菱形,則四邊形?AGBD?是什么特殊四邊形?并證明你的結(jié)論.
[解析]
(1)∵四邊形?ABCD?是平行四邊形,
4、
∴AE=??1
∴∠1=∠C,AD=CB,AB=CD?.
∵點(diǎn)?E?、F?分別是?AB、CD?的中點(diǎn),
1
AB?,CF= CD?.
2 2
∴AE=CF
∴△ADE≌△CBF?.
(2)當(dāng)四邊形?BEDF?是菱形時(shí),
四邊形?AGBD?是矩形.
∵四邊形?ABCD?是平行四邊形,
∴AD∥BC?.
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∵AG∥BD?,
∴四邊形?AGBD?是平行四邊形.
∵四邊形?BEDF?是菱形,
∴DE=BE?.
∵AE=BE?,
∴AE=BE=DE?.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180
5、°,
∴2∠2+2∠3=180°.
∴∠2+∠3=90°.
即∠ADB=90°.
∴四邊形?AGBD?是矩形
3、如圖?13-1,一等腰直角三角尺?GEF?的兩條直角邊與正方形?ABCD?的兩條邊分別重合在
一起.現(xiàn)正方形?ABCD?保持不動(dòng),將三角尺?GEF?繞斜邊?EF?的中點(diǎn)?O(點(diǎn)?O?也是?BD?中點(diǎn))
按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).
(1)如圖?13-2,當(dāng)?EF?與?AB?相交于點(diǎn)?M,GF?與?BD?相交于點(diǎn)?N?時(shí),通過觀察或測(cè)
量?BM,F(xiàn)N?的長(zhǎng)度,猜想?BM,F(xiàn)N?滿足的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(2)若三角尺?GEF?旋轉(zhuǎn)到如圖?13-3?所示的位置
6、時(shí),線段?FE?的延長(zhǎng)線與?AB?的延長(zhǎng)
線相交于點(diǎn)?M,線段?BD?的延長(zhǎng)線與?GF?的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)?N,此時(shí),(1)中的
猜想還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.
D(?F?)
C
F
D????????????C
N
D??????????C
O
G
N
O
F
O
A(?G?) B(?E?)
A????????M??B??????????A
E???????????????????G
E
B??M
圖?13-1 圖?13-2
7、
圖?13-3
[解析](1)BM=FN.
證明:∵△GEF?是等腰直角三角形,四邊形?ABCD?是正方形,
∴?∠ABD?=∠F?=45°,OB?=?OF.
又∵∠BOM=∠FON, ∴?△OBM≌△OFN?.
∴?BM=FN.
(2)?BM=FN?仍然成立.
(3)?證明:∵△GEF?是等腰直角三角形,四邊形?ABCD?是正方形,
∴∠DBA=∠GFE=45°,OB=OF.
∴∠MBO=∠NFO=135°.
又∵∠MOB=∠NOF, ∴?△OBM≌△OFN?.
∴?BM=FN.
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4、如圖,已知⊙O?的直徑?A
8、B?垂直于弦?CD?于?E,連結(jié)?AD、BD、OC、OD,且?OD=5。
(1)若?sin?∠BAD?=?3
5
,求?CD?的長(zhǎng);
(2)若?∠ADO:∠EDO=4:1,求扇形?OAC(陰影部分)的面積(結(jié)果保留p?)。
[解析]
(1)因?yàn)?AB?是⊙O?的直徑,OD=5
5??,所以??BD??=??3
5??,所以?BD?=?6
所以?CB?=?BD?,?AC?=?AD⌒
所以∠ADB=90°,AB=10
在? ABD?中,?sin?∠BAD?=?BD
AB
又?sin?∠BAD?
9、=?3
AD?= AB?2?-?BD?2?=?102?-?62?=?8
因?yàn)椤螦DB=90°,AB⊥CD
所以?DE·AB?=?AD·BD,CE?=?DE
所以?DE?′?10?=?8?′?6
所以?DE?=?24
5
所以?CD?=?2?DE?=?48
5
(2)因?yàn)?AB?是⊙O?的直徑,AB⊥CD
⌒ ⌒ ⌒
所以∠BAD=∠CDB,∠AOC=∠AOD
因?yàn)?AO=DO,所以∠BAD=∠ADO
所以∠CDB=∠ADO
設(shè)∠ADO=4x,則∠CDB=4x
由∠ADO:∠EDO=4:1,則∠EDO=x
因?yàn)椤螦DO+∠EDO+∠ED
10、B=90°
所以?4?x?+?4?x?+?x?=?90°
所以?x=10°
所以∠AOD=180°-(∠OAD+∠ADO)=100°
所以∠AOC=∠AOD=100°
S
360
扇形OAC?=?100?′?p?′?52?=
125
18?p
∴??EH
=???? =???? ,∵HE=EC,∴BF=FD
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5、如圖,已知:C?是以?AB?為直徑的半圓?O?上一點(diǎn),CH⊥AB?于點(diǎn)?H,直線?AC?與過
B?點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)?D,E?為?CH?中點(diǎn),連接?AE?并延長(zhǎng)交?BD?于點(diǎn)?F,直線?CF?交直線?
11、AB
于點(diǎn)?G.
(1)求證:點(diǎn)?F?是?BD?中點(diǎn);
(2)求證:CG?是⊙O?的切線;
(3)若?FB=FE=2,求⊙O?的半徑.
[解析]?(1)證明:∵CH⊥AB,DB⊥,∴ AEH∽AFB,△ACE∽△ADF
AE CE
BF AF FD
(2)方法一:連接?CB、OC,
∵AB?是直徑,∴∠ACB=90°∵F?是?BD?中點(diǎn),
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO
∴∠OCF=90°,∴CG?是⊙O?的切線---------6′
方法二:可證明△OCF≌△OBF(參照方法一標(biāo)準(zhǔn)得分)
(3)解:由?FC=FB=FE?得:∠
12、FCE=∠FEC
可證得:FA=FG,且?AB=BG
由切割線定理得:(2+FG)2=BG×AG=2BG2 ?
在? BGF?中,由勾股定理得:BG2=FG2-BF2 ?
由??、??得:FG2-4FG-12=0
解之得:FG1=6,F(xiàn)G2=-2(舍去)
∴AB=BG=?4?2
∴⊙O?半徑為?2?2
6、如圖,已知?O?為原點(diǎn),點(diǎn)?A?的坐標(biāo)為(4,3),
⊙A?的半徑為?2.過?A?作直線?l?平行于?x?軸,點(diǎn)?P?在直線?l?上運(yùn)動(dòng).
(1)當(dāng)點(diǎn)?P?在⊙O?上時(shí),請(qǐng)你直接寫出它的坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)?P?的橫坐標(biāo)為?12,試判斷直線?OP?與⊙A?的位置關(guān)
13、系,并說明理由.
[解析]
解:?⑴點(diǎn)?P?的坐標(biāo)是(2,3)或(6,3)
⑵作?AC⊥OP,C?為垂足.
∵∠ACP=∠OBP=?90?,∠1=∠1
∴ ∽ OBP
∴
AC??AP
=
OB??OP
在?RtDOBP?中,?OP?=?OB2?+?BP2?=?153?,又?AP=12-4=8, ∴
∴AC=?24???153?≈1.94
∵1.94<2
∴OP?與⊙A?相交.
AC????8
=
3????153
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7、如圖,延長(zhǎng)⊙O?的半徑?OA?到?B,使?OA=AB,
D
14、E?是圓的一條切線,E?是切點(diǎn),過點(diǎn)?B?作?DE?的垂線,
垂足為點(diǎn)?C.
求證:∠ACB= ∠OAC.
[解析]
1
3
D
E
C
證明:連結(jié)?OE、AE,并過點(diǎn)?A?作?AF⊥DE?于點(diǎn)?F, (3
O
A
分)
B
∵DE?是圓的一條切線,E?是切點(diǎn),
∴OE⊥DC,
又∵BC⊥DE,
∴OE∥AF∥BC.
∴∠1=∠ACB,∠2=∠3.
∵OA=OE,
∴∠4=∠3.
∴∠4=∠2.
又∵點(diǎn)?A?是?OB?的中點(diǎn),
∴點(diǎn)?F?是?EC?的中點(diǎn).
∴AE=
15、AC.
∴∠1=∠2.
∴∠4=∠2=∠1.
即∠ACB=?1
3
∠OAC.
8、如圖1,一架長(zhǎng)?4?米的梯子?AB?斜靠在與地面?OM?垂直的墻壁?ON?上,梯子與地面的傾
斜角α為?60?o?.
⑴求?AO?與?BO?的長(zhǎng);
⑵若梯子頂端?A?沿?NO?下滑,同時(shí)底端?B?沿?OM?向右滑行.
①如圖?2,設(shè)?A?點(diǎn)下滑到?C?點(diǎn),B?點(diǎn)向右滑行到?D?點(diǎn),并且?AC:BD=2:3,試計(jì)算梯子
頂端?A?沿?NO?下滑多少米;
②如圖3,當(dāng)?A?點(diǎn)下滑到?A’點(diǎn),B?點(diǎn)向右滑行到?B’點(diǎn)時(shí),梯子?AB?的中點(diǎn)?
16、P?也隨之運(yùn)
動(dòng)到?P’點(diǎn).若∠POP’=?15o?,試求?AA’的長(zhǎng).
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[解析]
⑴?RtDAOB?中,∠O=?90?,∠α=?60?o
∴,∠OAB=?30?o?,又AB=4?米,
∴?OB?=
1
2
AB?=?2?米.
(???? )?+?(2?+?3x?)
∴??2??3?-?2?x
=?42???-------------?(5?分)
2
(???? )
3
OA?=?AB?×?sin?60?=?4?′ =?2?3?米.?-------------
17、-?(3?分)
2
⑵設(shè)?AC?=?2?x,?BD?=?3x,?在?RtDCOD?中,
OC?=?2?3?-?2?x,?OD?=?2?+?3x,?CD?=?4
根據(jù)勾股定理:?OC?2?+?OD2?=?CD?2
2
∴13x2?+?12?-?8?3?x?=?0
∵?x?1?0 ∴13x?+?12?-?8?3?=?0
∴?x?=
8?3?-?12
13
-------------?(7?分)
AC=2x=
16?3?-?24
13
16?3?-?24
即梯子頂端?A?沿?NO?下滑了 米
18、.
13
----?(8?分)
⑶∵點(diǎn)?P?和點(diǎn)?P¢?分別是?RtDAOB?的斜邊
AB?與?RtDA'OB?'?的斜邊?A'?B?'?的中點(diǎn)
∴?PA?=?PO?,?P?'?A'?=?P'?O -------------?(9?分)
∴?DPAO?=?DAOP,?DP¢A¢O?=?DA¢OP¢?-------?(10?分)
∴?DP¢A¢O?-D?PAO?=?DA¢OP¢?-D?AOP
∴?DP¢A¢O?-?DPAO?=?DPOP¢?=?15
∵?DPAO?=?30
∴?DP¢A¢O?=?45 -----------------------?(11?分)
∴?A¢O?=?A¢B¢?′?cos?45?=?4?′
2
2
=?2?2?-----?(12?分)
∴?AA¢?=?OA?-?A¢O?=?(2?3?-?2?2)?米.?--------?(13?分)