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1、1,第四講命題邏輯的推理理論,命題邏輯的推理理論也稱為命題演算主要內(nèi)容一、推理的形式結(jié)構(gòu)二、推理定律和推理規(guī)則三、邏輯證明方法,2,數(shù)理邏輯的推理理論主要研究推理的“思維過程”，為推理提供一定的推理規(guī)則。它只關(guān)心從前提得到結(jié)論這種推理的正確有效性。無論前提是否真得正確，它總是假設(shè)其是成立的。所以推理的正確性和結(jié)論的正確性可能是不一致的。推理理論在應(yīng)用上常常是將一些定理，定律，公理和條件作為前提，通過推理得到新的定理。,引言,3,一、推理的形式結(jié)構(gòu),定義1設(shè)A1,A2,…,Ak,B為命題公式.若對于每組賦值，A1?A2?…?Ak為假，或當(dāng)A1?A2?…?Ak為真時，B也為真，則稱由前提A1,A2

2、,…,Ak推出結(jié)論B的推理是有效的或正確的,并稱B是有效結(jié)論或稱B可由A1,A2,…,Ak邏輯推出.,定理1由命題公式A1,A2,…,Ak推B的推理正確當(dāng)且僅當(dāng)A1?A2?…?Ak?B為重言式,4,推理的形式結(jié)構(gòu),2.A1?A2?…?Ak?B若推理正確,記為A1?A2?…?Ak?B3.前提：A1,A2,…,Ak結(jié)論：B,推理的形式結(jié)構(gòu)1.{A1,A2,…,Ak}B若推理正確,記為{A1,A2,?,An}B,5,二、推理定律——重言蘊涵式,1.A?(A?B)附加律2.(A?B)?A化簡律3.(A?B)?A?B假言推理4.(A?B)??B??A拒取式5.(A?B)??B?A析取三段論6.(A?B)

3、?(B?C)?(A?C)假言三段論7.(A?B)?(B?C)?(A?C)等價三段論8.(A?B)?(C?D)?(A?C)?(B?D)構(gòu)造性二難(A?B)?(?A?B)?B構(gòu)造性二難(特殊形式)9.(A?B)?(C?D)?(?B??D)?(?A??C)破壞性二難每個等值式可產(chǎn)生兩個推理定律如,由A???A可產(chǎn)生A???A和??A?A,6,推理規(guī)則,(1)前提引入規(guī)則(P)在推理過程中，可以隨時引入已知的前提。(2)結(jié)論引入規(guī)則(T)在推理過程中，前面已推出的有效結(jié)論都可作為后續(xù)推理的前提引用。(3)置換規(guī)則(R)在推理過程中，命題公式中的子公式都可以用與之等值的命題公式置換，得到證明的公式序列的

4、另一公式。(4)代入規(guī)則(S)在推理過程中，重言式中的任一命題變元都可以用一命題公式代入，得到的仍是重言式。,7,推理規(guī)則,(4)假言推理規(guī)則(6)化簡規(guī)則(8)假言三段論規(guī)則,(5)附加規(guī)則(7)拒取式規(guī)則(9)析取三段論規(guī)則,8,推理規(guī)則,(10)構(gòu)造性二難推理規(guī)則(12)合取引入規(guī)則,(11)破壞性二難推理規(guī)則,9,三、邏輯證明方法,判斷有效結(jié)論的過程就是論證過程?；痉椒ǎ海?）真值表法（2）直接證明法（3）間接證明法（反證法）具體：等值演算、主析取范式、構(gòu)造證明法等,10,例：判斷下列推理是否正確。今天楊尚樹或去網(wǎng)吧或去教室。他沒去教室，所以他去網(wǎng)吧了。設(shè)p：楊尚樹去網(wǎng)吧。q：楊尚樹

5、去教室。則，前提：p∨q,q結(jié)論：p推理的形式結(jié)構(gòu)：((p∨q)∧q)?p,真值表法,11,真值表法,該命題公式為重言式，說明推理正確，所以楊尚樹去網(wǎng)吧,((p∨q)∧q)?p,12,推理實例,例1判斷下面推理是否正確(1)若今天是1號，則明天是5號.今天是1號.所以,明天是5號.(2)若今天是1號，則明天是5號.明天是5號.所以,今天是1號.,解設(shè)p：今天是1號，q：明天是5號.(1)推理的形式結(jié)構(gòu):,(p?q)?p?q,用等值演算法(p?q)?p?q??((?p?q)?p)?q??p??q?q?1由定理1可知推理正確,13,推理實例,(2)推理的形式結(jié)構(gòu):,(p?q)?q?p,用主析取范式

6、法(p?q)?q?p?(?p?q)?q?p??((?p?q)?q)?p??q?p?(?p??q)?(p??q)?(p??q)?(p?q)?m0?m2?m3結(jié)果不含m1,故01是成假賦值，所以推理不正確,14,例2構(gòu)造下面推理的證明：若明天是星期一或星期三，我明天就有課.若我明天有課，今天必備課.我今天沒備課.所以，明天不是星期一、也不是星期三.解(1)設(shè)命題并符號化設(shè)p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我明天有課，s：我今天備課,,(2)寫出證明的形式結(jié)構(gòu)前提：(p?q)?r,r?s,?s結(jié)論：?p??q,15,直接證明法,(2)寫出證明的形式結(jié)構(gòu)前提：(p?q)?r,r?s,?s結(jié)論：?

7、p??q(3)證明（證明過程三列式）序號當(dāng)前得到的結(jié)論當(dāng)前得到結(jié)論的理由①r?sP(前提引入)②?sP③?rT①②I(拒取式)④(p?q)?rP⑤?(p?q)T③④E(拒取式)⑥?p??qT⑤E德摩根率,16,附加前提證明法,附加前提證明法適用于結(jié)論為蘊涵式(CP規(guī)則)欲證前提：A1,A2,…,Ak結(jié)論：C?B等價地證明前提：A1,A2,…,Ak,C結(jié)論：B理由：(A1?A2?…?Ak)?(C?B)??(A1?A2?…?Ak)?(?C?B)??(A1?A2?…?Ak?C)?B?(A1?A2?…?Ak?C)?B,17,附加前提證明法實例,例3構(gòu)造下面推理的證明2是素數(shù)或合數(shù).若2是素數(shù)，則是無理

8、數(shù).若是無理數(shù)，則4不是素數(shù).所以，如果4是素數(shù)，則2是合數(shù).解用附加前提證明法構(gòu)造證明(1)設(shè)p：2是素數(shù)，q：2是合數(shù)，r：是無理數(shù)，s：4是素數(shù)(2)推理的形式結(jié)構(gòu)前提：p?q,p?r,r??s結(jié)論：s?q,18,附加前提證明法實例,(3)證明①sCP規(guī)則②p?rP③r??sP④p??sT②③I(假言三段論)⑤?pT①④I(拒取式)⑥p?qP⑦qT⑤⑥I(析取三段論),19,歸謬法（反證法）,歸謬法(反證法)欲證前提：A1,A2,…,Ak結(jié)論：B做法在前提中加入?B，推出矛盾.理由A1?A2?…?Ak?B??(A1?A2?…?Ak)?B??(A1?A2?…?Ak??B)??(A1?A2?…?Ak??B)?0?A1?A2?…?Ak??B?0,20,歸謬法實例,例4前提：?(p?q)?r,r?s,?s,p結(jié)論：?q證明用歸繆法①qP(附加前提)②r?sP③?sP④?rT②③I（拒取式）⑤?(p?q)?rP,21,,⑥?(p?q)T④⑤I(析取三段論)⑦?p??qT⑥E德摩根率⑧?pT①⑦I(析取三段論)⑨pP??p?p(矛盾）T⑧⑨I（合取引入）反證法,11?p,