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1、第十六章　量子物理 16－1　下列物體哪個(gè)是絕對(duì)黑體(　　) (A) 不輻射可見(jiàn)光的物體　　　　　(B) 不輻射任何光線的物體 (C) 不能反射可見(jiàn)光的物體 (D) 不能反射任何光線的物體 分析與解　一般來(lái)說(shuō)，任何物體對(duì)外來(lái)輻射同時(shí)會(huì)有三種反應(yīng)：反射、透射和吸收，各部分的比例與材料、溫度、波長(zhǎng)有關(guān).同時(shí)任何物體在任何溫度下會(huì)同時(shí)對(duì)外輻射，實(shí)驗(yàn)和理解證明：一個(gè)物體輻射能力正比于其吸收能力.做為一種極端情況，絕對(duì)黑體(一種理想模型)能將外來(lái)輻射(可見(jiàn)光或不可見(jiàn)光)全部吸收，自然也就不會(huì)反射任何光線，同時(shí)其對(duì)外輻射能力最強(qiáng).綜上所述應(yīng)選(D). 16－2　光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)

2、都是光子和物質(zhì)原子中的電子相互作用過(guò)程，其區(qū)別何在？ 在下面幾種理解中，正確的是(　　) (A) 兩種效應(yīng)中電子與光子組成的系統(tǒng)都服從能量守恒定律和動(dòng)量守恒定律 (B) 光電效應(yīng)是由于電子吸收光子能量而產(chǎn)生的，而康普頓效應(yīng)則是由于電子與光子的彈性碰撞過(guò)程 (C) 兩種效應(yīng)都相當(dāng)于電子與光子的彈性碰撞過(guò)程 (D) 兩種效應(yīng)都屬于電子吸收光子的過(guò)程 分析與解　兩種效應(yīng)都屬于電子與光子的作用過(guò)程，不同之處在于：光電效應(yīng)是由于電子吸收光子而產(chǎn)生的，光子的能量和動(dòng)量會(huì)在電子以及束縛電子的原子、分子或固體之間按照適當(dāng)?shù)谋壤峙?，但僅就電子和光子而言，兩者之間并不是一個(gè)彈性碰撞過(guò)程，也不滿足能量和

3、動(dòng)量守恒.而康普頓效應(yīng)中的電子屬于“自由”電子，其作用相當(dāng)于一個(gè)彈性碰撞過(guò)程，作用后的光子并未消失，兩者之間滿足能量和動(dòng)量守恒.綜上所述，應(yīng)選(B). 16－3　關(guān)于光子的性質(zhì)，有以下說(shuō)法 (1) 不論真空中或介質(zhì)中的速度都是c；　(2) 它的靜止質(zhì)量為零； (3) 它的動(dòng)量為； (4) 它的總能量就是它的動(dòng)能； (5) 它有動(dòng)量和能量，但沒(méi)有質(zhì)量. 其中正確的是(　　) (A) (1)(2)(3)　　　　　　　(B) (2)(3)(4) (C) (3)(4)(5) (D) (3)(5) 分析與解　光不但具有波動(dòng)性還具有粒子

4、性，一個(gè)光子在真空中速度為c (與慣性系選擇無(wú)關(guān))，在介質(zhì)中速度為 ，它有質(zhì)量、能量和動(dòng)量，一個(gè)光子的靜止質(zhì)量m0＝0，運(yùn)動(dòng)質(zhì)量 ，能量，動(dòng)量，由于光子的靜止質(zhì)量為零，故它的靜能E0 為零，所以其總能量表現(xiàn)為動(dòng)能.綜上所述，說(shuō)法(2)、(3)、(4)都是正確的，故選(B). 16－4　關(guān)于不確定關(guān)系有以下幾種理解： (1) 粒子的動(dòng)量不可能確定，但坐標(biāo)可以被確定； (2) 粒子的坐標(biāo)不可能確定，但動(dòng)量可以被確定； (3) 粒子的動(dòng)量和坐標(biāo)不可能同時(shí)確定； (4) 不確定關(guān)系不僅適用于電子和光子，也適用于其他粒子. 其中正確的是(　　) (A) (1)、(2)　　　　　　(B) (

5、2)、(4) (C) (3)、(4) (D) (4)、(1) 分析與解　由于一切實(shí)物粒子具有波粒二象性，因此粒子的動(dòng)量和坐標(biāo)(即位置)不可能同時(shí)被確定，在這里不能簡(jiǎn)單誤認(rèn)為動(dòng)量不可能被確定或位置不可能被確定.這一關(guān)系式在理論上適用于一切實(shí)物粒子(當(dāng)然對(duì)于宏觀物體來(lái)說(shuō)，位置不確定量或動(dòng)量的不確定量都微不足道，故可以認(rèn)為可以同時(shí)被確定).由此可見(jiàn)(3)、(4)說(shuō)法是正確的.故選(C). 16－5　已知粒子在一維矩形無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，其波函數(shù)為 那么粒子在x ＝a/6 處出現(xiàn)的概率密度為(　　) (A) 　　　　(B) 　　　(C) 　　　(D) 分析與解　我

6、們通常用波函數(shù)Ψ來(lái)描述粒子的狀態(tài)，雖然波函數(shù)本身并無(wú)確切的物理含義，但其模的平方表示粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的概率.因此題述一線粒子在區(qū)間的概率密度函數(shù)應(yīng)為.將x ＝a/6代入即可得粒子在此處出現(xiàn)的概率為.故選(C). 16－6　天狼星的溫度大約是11 000 ℃.試由維恩位移定律計(jì)算其輻射峰值的波長(zhǎng). 解　由維恩位移定律可得天狼星單色輻出度的峰值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng) 該波長(zhǎng)屬紫外區(qū)域，所以天狼星呈紫色. 16－7　太陽(yáng)可看作是半徑為7.0 108 m 的球形黑體，試計(jì)算太陽(yáng)的溫度.設(shè)太陽(yáng)射到地球表面上的輻射能量為1.4 103 Wm-2 ，地球與太陽(yáng)間的距離為1.5 1011m. 分析　以太

7、陽(yáng)為中心，地球與太陽(yáng)之間的距離d 為半徑作一球面，地球處在該球面的某一位置上.太陽(yáng)在單位時(shí)間內(nèi)對(duì)外輻射的總能量將均勻地通過(guò)該球面，因而可根據(jù)地球表面單位面積在單位時(shí)間內(nèi)接受的太陽(yáng)輻射能量E，計(jì)算出太陽(yáng)單位時(shí)間單位面積輻射的總能量，再由公式，計(jì)算太陽(yáng)溫度. 解　根據(jù)分析有 (1) (2) 由式(1)、(2)可得 16－8　鎢的逸出功是4.52 eV，鋇的逸出功是2.50 eV，分別計(jì)算鎢和鋇的截止頻率.哪一種金屬可以用作可見(jiàn)光范圍內(nèi)的光電管陰極材料？ 分析　由光電效應(yīng)方程可知，當(dāng)入射光頻率ν

8、 ＝ν0 (式中ν0＝W/h)時(shí)，電子剛能逸出金屬表面，其初動(dòng)能.因此ν0 是能產(chǎn)生光電效應(yīng)的入射光的最低頻率(即截止頻率)，它與材料的種類有關(guān).由于可見(jiàn)光頻率處在0.395 1015 ～0.75 1015Hz 的狹小范圍內(nèi)，因此不是所有的材料都能作為可見(jiàn)光范圍內(nèi)的光電管材料的(指光電管中發(fā)射電子用的陰極材料). 解　鎢的截止頻率 　 鋇的截止頻率　 對(duì)照可見(jiàn)光的頻率范圍可知，鋇的截止頻率正好處于該范圍內(nèi)，而鎢的截止頻率大于可見(jiàn)光的最大頻率，因而鋇可以用于可見(jiàn)光范圍內(nèi)的光電管材料. 16－9　鉀的截止頻率為4.62 1014 Hz，今以波長(zhǎng)為435.8 nm

9、的光照射，求鉀放出的光電子的初速度. 解　根據(jù)光電效應(yīng)的愛(ài)因斯坦方程 其中 W＝hν0 ，　ν=c/λ 可得電子的初速度 由于逸出金屬的電子的速度v ＜＜c，故式中m 取電子的靜止質(zhì)量. 16－10　在康普頓效應(yīng)中，入射光子的波長(zhǎng)為3.0 10－3 nm，反沖電子的速度為光速的60％，求散射光子的波長(zhǎng)及散射角. 分析　首先由康普頓效應(yīng)中的能量守恒關(guān)系式，可求出散射光子的波長(zhǎng)λ，式中m 為反沖電子的運(yùn)動(dòng)質(zhì)量，即m ＝m0(1－v2/c2 )－1/2 .再根據(jù)康普頓散射公式，求出散射角θ，式中λC 為康普頓波長(zhǎng)(λC＝2.43 10－12

10、m). 解　根據(jù)分析有 (1) m ＝m0(1－（v2/c2 ）)－1/2 (2) (3) 由式(1)和式(2)可得散射光子的波長(zhǎng) 將λ值代入式(3)，得散射角 16－11　一具有1.0 104 eV 能量的光子，與一靜止的自由電子相碰撞，碰撞后，光子的散射角為60.試問(wèn)：(1) 光子的波長(zhǎng)、頻率和能量各改變多少？(2) 碰撞后，電子的動(dòng)能、動(dòng)量和運(yùn)動(dòng)方向又如何？ 分析　(1) 可由光子能量E ＝hν 及康普頓散射公式直接求得光子波長(zhǎng)、頻率和能量的改變量. (2) 應(yīng)全面考慮康普頓效應(yīng)所服從

11、的基本規(guī)律，包括碰撞過(guò)程中遵循能量和動(dòng)量守恒定律，以及相對(duì)論效應(yīng).求解時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： ① 由能量守恒可知，反沖電子獲得的動(dòng)能Eke 就是散射光子失去的能量，即Eke＝hν0－h(huán)ν. ② 由相對(duì)論中粒子的能量動(dòng)量關(guān)系式，即和，可求得電子的動(dòng)量.注意式中為電子靜能， 其值為0.512MeV. ③ 如圖所示，反沖電子的運(yùn)動(dòng)方向可由動(dòng)量守恒定律在Oy 軸上的分量式求得，即. 題 16-11 圖 解　(1) 入射光子的頻率和波長(zhǎng)分別為 ，　 散射前后光子波長(zhǎng)、頻率和能量的改變量分別為 式中負(fù)號(hào)表示散射光子的頻率要減小，與此同時(shí)，光子也將失去部分能量. (2) 根據(jù)分

12、析，可得 電子動(dòng)能　 電子動(dòng)量　 電子運(yùn)動(dòng)方向 16－12　波長(zhǎng)為0.10 nm 的輻射，照射在碳上，從而產(chǎn)生康普頓效應(yīng).從實(shí)驗(yàn)中測(cè)量到散射輻射的方向與入射輻射的方向相垂直.求：(1) 散射輻射的波長(zhǎng)；(2) 反沖電子的動(dòng)能和運(yùn)動(dòng)方向. 題 16-12 圖 解　(1) 由散射公式得 (2) 反沖電子的動(dòng)能等于光子失去的能量，因此有 根據(jù)動(dòng)量守恒的矢量關(guān)系(如圖所示)，可確定反沖電子的方向 16－13　試求波長(zhǎng)為下列數(shù)值的光子的能量、動(dòng)量及質(zhì)量：(1)波長(zhǎng)為1 500 nm的紅外線；(2) 波長(zhǎng)為500 nm 的可見(jiàn)光；(3) 波長(zhǎng)為20 nm 的紫

13、外線；(4) 波長(zhǎng)為0.15 nm 的Ｘ 射線；(5) 波長(zhǎng)為1.0 10－3 nm 的γ 射線. 解　由能量，動(dòng)量以及質(zhì)能關(guān)系式，可得 (1) 當(dāng)λ1 ＝1 500 nm時(shí)， (2) 當(dāng)λ2 ＝500 nm 時(shí)，因λ2 ＝λ1 ，故有 (3) 當(dāng)λ3 ＝20 nm 時(shí)，因λ3＝λ1 ，故有 (4) 當(dāng)λ4＝0.15 nm 時(shí)，因λ4 ＝10－4λ1 ，故有 (5) 當(dāng)λ5 ＝110－3 nm 時(shí)， 16－14 計(jì)算氫原子光譜中萊曼系的最短和最長(zhǎng)波長(zhǎng)，

14、并指出是否為可見(jiàn)光. 分析　氫原子光譜規(guī)律為 式中nf ＝1，2，3，…，ni ＝nf ＋1，nf ＋2，….若把氫原子的眾多譜線按nf ＝1，2，3，…歸納為若干譜線系，其中nf＝1 為萊曼系，nf＝2 就是最早被發(fā)現(xiàn)的巴耳末系，所謂萊曼系的最長(zhǎng)波長(zhǎng)是指ni ＝2，所對(duì)應(yīng)的光譜線的波長(zhǎng)，最短波長(zhǎng)是指ni→∞所對(duì)應(yīng)的光譜線的波長(zhǎng)，萊曼系的其他譜線均分布在上述波長(zhǎng)范圍內(nèi).式中R 的實(shí)驗(yàn)值常取1.097107m－1 .此外本題也可由頻率條件hν ＝Ef －Ei 計(jì)算. 解　萊曼系的譜線滿足　　，ni ＝2，3，4，… 令ni ＝2，得該譜系中最長(zhǎng)的波長(zhǎng)　　λmax＝121.5 nm

15、令ni→∞，得該譜系中最短的波長(zhǎng)　　λmin ＝91.2 nm 對(duì)照可見(jiàn)光波長(zhǎng)范圍(400 ～760 nm)，可知萊曼系中所有的譜線均不是可見(jiàn)光，它們處在紫外線部分. 16－15　在玻爾氫原子理論中，當(dāng)電子由量子數(shù)ni＝5 的軌道躍遷到nf＝2的軌道上時(shí)，對(duì)外輻射光的波長(zhǎng)為多少？ 若再將該電子從nf＝2 的軌道躍遷到游離狀態(tài)，外界需要提供多少能量？ 分析　當(dāng)原子中的電子在高能量Ei 的軌道與低能量Ef 的軌道之間躍遷時(shí)，原子對(duì)外輻射或吸收外界的能量，可用公式ΔE ＝Ei －Ef 或ΔE ＝Ef －Ei 計(jì)算.對(duì)氫原子來(lái)說(shuō)，，其中E1 為氫原子中基態(tài)(n ＝1)的能量，即E1 ＝－Rhc

16、＝－13.6 eV，電子從nf＝2 的軌道到達(dá)游離狀態(tài)時(shí)所需的能量，就是指電子由軌道nf ＝2 躍遷到游離態(tài)ni →∞時(shí)所需能量，它與電子由基態(tài)(nf ＝1)躍遷到游離態(tài)ni＝∞時(shí)所需的能量(稱電離能)是有區(qū)別的，后者恰為13.6 eV. 解　根據(jù)氫原子輻射的波長(zhǎng)公式，電子從ni＝5 躍遷到nf＝2 軌道狀態(tài)時(shí)對(duì)外輻射光的波長(zhǎng)滿足 則 λ＝4.34 10－7m ＝434 nm 而電子從nf ＝2 躍遷到游離態(tài)ni→∞所需的能量為 負(fù)號(hào)表示電子吸收能量. 16－16　如用能量為12.6 eV 的電子轟擊氫原子，將產(chǎn)生哪些譜線？ 題 16

17、-16 圖 分析　氫原子可以從對(duì)它轟擊的高能粒子上吸收能量而使自己從較低能級(jí)(一般在不指明情況下均指基態(tài))激發(fā)到較高的能級(jí)，但吸收的能量并不是任意的，而是必須等于氫原子兩個(gè)能級(jí)間的能量差.據(jù)此，可算出被激發(fā)氫原子可躍遷到的最高能級(jí)為ni ＝3.但是，激發(fā)態(tài)都是不穩(wěn)定的，其后，它又會(huì)自發(fā)躍遷回基態(tài)，如圖所示，可以有3→1，3→2和2→1 三種可能的輻射. 解　根據(jù)分析有 (1) (2) 將E1 ＝－13.6 eV，nf ＝1 和ΔE ＝－12.6 eV(這是受激氫原子可以吸收的最多能量)代入式(1)，可得ni ＝3.

18、69，取整ni ＝3(想一想為什么？)，即此時(shí)氫原子處于n ＝3 的狀態(tài). 由式(2)可得氫原子回到基態(tài)過(guò)程中的三種可能輻射(見(jiàn)分析)所對(duì)應(yīng)的譜線波長(zhǎng)分別為102.6 nm 、657.9 nm 和121.6 nm. 16－17　試證在基態(tài)氫原子中，電子運(yùn)動(dòng)時(shí)的等效電流為1.05 10－3 A，在氫原子核處，這個(gè)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度為多大？ 分析　根據(jù)經(jīng)典的原子理論，基態(tài)氫原子中的電子在第一玻爾半徑r1 上繞核作圓周運(yùn)動(dòng)( r1 ＝0.52910－10m )， 繞核運(yùn)動(dòng)的頻率(式中 為基態(tài)時(shí)電子繞核運(yùn)動(dòng)的速度，)，由此可得電子運(yùn)動(dòng)的等效電流I ＝ef 以及它在核處激發(fā)的磁感強(qiáng)度.

19、解　根據(jù)分析，電子繞核運(yùn)動(dòng)的等效電流為 該圓形電流在核處的磁感強(qiáng)度 上述過(guò)程中電子的速度v ＜＜c，故式中m 取電子的靜止質(zhì)量. 16－18　已知α粒子的靜質(zhì)量為6.6810－27 kg，求速率為5 000 kms－1的α粒子的德布羅意波長(zhǎng). 分析　在本題及以后幾題求解的過(guò)程中，如實(shí)物粒子運(yùn)動(dòng)速率遠(yuǎn)小于光速(即v ＜＜c)或動(dòng)能遠(yuǎn)小于靜能(即Ek＜＜E0 )，均可利用非相對(duì)論方法處理，即認(rèn)為和. 解　由于α粒子運(yùn)動(dòng)速率v ＜＜c，故有 ，則其德布羅意波長(zhǎng)為 16－19　求動(dòng)能為 1.0 eV 的電子的德布羅意波的波長(zhǎng). 解　由于電子的靜能，而電子動(dòng)能，故有，則其德布羅

20、意波長(zhǎng)為 16－20　求溫度為27 ℃時(shí)，對(duì)應(yīng)于方均根速率的氧氣分子的德布羅意波的波長(zhǎng). 解　理想氣體分子的方均根速率.對(duì)應(yīng)的氧分子的德布羅意波長(zhǎng) 16－21　若電子和光子的波長(zhǎng)均為0.20 nm，則它們的動(dòng)量和動(dòng)能各為多少？ 分析　光子的靜止質(zhì)量m0 ＝0，靜能E0 ＝0，其動(dòng)能、動(dòng)量均可由德布羅意關(guān)系式E＝hν，求得.而對(duì)電子來(lái)說(shuō)，動(dòng)能.本題中因電子的，所以 ，因而可以不考慮相對(duì)論效應(yīng)，電子的動(dòng)能可用公式計(jì)算. 解　由于光子與電子的波長(zhǎng)相同，它們的動(dòng)量均為 光子的動(dòng)能　 電子的動(dòng)能　 討論　用電子束代替可見(jiàn)光做成的顯

21、微鏡叫電子顯微鏡.由上述計(jì)算可知，對(duì)于波長(zhǎng)相同的光子與電子來(lái)說(shuō)，電子的動(dòng)能小于光子的動(dòng)能.很顯然，在分辨率相同的情況下(分辨率∝ 1/λ )，電子束對(duì)樣品損害較小，這也是電子顯微鏡優(yōu)于光學(xué)顯微鏡的一個(gè)方面. 16－22　用德布羅意波，仿照弦振動(dòng)的駐波公式來(lái)求解一維無(wú)限深方勢(shì)阱中自由粒子的能量與動(dòng)量表達(dá)式. 分析　設(shè)勢(shì)阱寬度為a，當(dāng)自由粒子在其間運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)德布羅意假設(shè)，會(huì)形成兩列相向而行的物質(zhì)波.由于波的強(qiáng)度、波長(zhǎng)相同，最終會(huì)形成駐波，相當(dāng)于兩端固定的弦駐波，且有，其中n ＝1，2，3，….由德布羅意關(guān)系式和非相對(duì)論情況下的動(dòng)能的關(guān)系式即可求解.其結(jié)果與用量子力學(xué)求得的結(jié)果相同.雖然推導(dǎo)不

22、甚嚴(yán)格，但說(shuō)明上述處理方法有其內(nèi)在的合理性與科學(xué)性，是早期量子論中常用的一種方法，稱為“駐波法”. 解　根據(jù)分析，勢(shì)阱的自由粒子來(lái)回運(yùn)動(dòng)，就相當(dāng)于物質(zhì)波在區(qū)間a 內(nèi)形成了穩(wěn)定的駐波，由兩端固定弦駐波的條件可知，必有，即 (n ＝1，2，3，…) 由德布羅意關(guān)系式，可得自由粒子的動(dòng)量表達(dá)式 (n ＝1，2，3，…) 由非相對(duì)論的動(dòng)量與動(dòng)能表達(dá)式，可得自由粒子的能量表達(dá)式 (n ＝1，2，3，…) 從上述結(jié)果可知，此時(shí)自由粒子的動(dòng)量和能量都是量子化的. 16－23　電子位置的不確定量為5.010－2 nm時(shí)，其速率的不確定量為多少？ 分析　量子論改變了我們對(duì)于自然現(xiàn)象的傳統(tǒng)認(rèn)

23、識(shí)，即我們不可能對(duì)粒子的行為做出絕對(duì)性的斷言.不確定關(guān)系式（嚴(yán)格的表述應(yīng)為）就是關(guān)于不確定性的一種量子規(guī)律.由上述基本關(guān)系式還可引出其他的不確定關(guān)系式，如 (Δφ為粒子角位置的不確定量，ΔLφ為粒子角動(dòng)量的不確定量)，(Δt 為粒子在能量狀態(tài)E 附近停留的時(shí)間，又稱平均壽命，ΔE 為粒子能量的不確定量，又稱能級(jí)的寬度)等等，不論是對(duì)粒子行為做定性分析，還是定量估計(jì)(一般指數(shù)量級(jí))，不確定關(guān)系式都很有用. 解　因電子位置的不確定量Δx ＝5 10－2nm，由不確定關(guān)系式以及可得電子速率的不確定量 16－24　鈾核的線度為7.2 10－15m .求其中一個(gè)質(zhì)子的動(dòng)量和速度的不確定量. 分

24、析　粒子的線度一般是指它的直徑，由于質(zhì)子處于鈾核內(nèi)，因此鈾核的半徑r 可視為質(zhì)子位置的不確定量，由不確定關(guān)系式可得質(zhì)子動(dòng)量和速度的不確定量. 解　對(duì)質(zhì)子來(lái)說(shuō)，其位置的不確定量，由不確定關(guān)系式以及，可得質(zhì)子動(dòng)量和速度的不確定量分別為 ＝1.84 10－19 kg ms－1 ＝1.10 108 ms－1 16－25　一質(zhì)量為40 g 的子彈以1.0 103 ms－1 的速率飛行，求：(1)其德布羅意波的波長(zhǎng)；(2) 若子彈位置的不確定量為0.10 mm ，求其速率的不確定量. 解　(1) 子彈的德布羅意波長(zhǎng)為 ＝1.66 10－35m 　　(2) 由不確定關(guān)系式以及可得子彈速率的不

25、確定量為 ＝1.66 10－28 ms－1 討論　由于h 值極小，其數(shù)量級(jí)為10－34 ，故不確定關(guān)系式只對(duì)微觀粒子才有實(shí)際意義，對(duì)于宏觀物體，其行為可以精確地預(yù)言. 16－26　設(shè)有一電子在寬為0.20 nm 的一維無(wú)限深的方勢(shì)阱中.(1) 計(jì)算電子在最低能級(jí)的能量；(2) 當(dāng)電子處于第一激發(fā)態(tài)(n ＝2)時(shí)，在勢(shì)阱中何處出現(xiàn)的概率最小，其值為多少？ 解　(1) 一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的可能能量 ，式中a 為勢(shì)阱寬度，當(dāng)量子數(shù)n ＝1 時(shí)，粒子處于基態(tài)，能量最低.因此，電子在最低能級(jí)的能量為 ＝1.51 10－18J ＝9.43eV (2

26、) 粒子在無(wú)限深方勢(shì)阱中的波函數(shù)為 ，　　　n ＝1，2，… 當(dāng)它處于第一激發(fā)態(tài)(n ＝2)時(shí)，波函數(shù)為 ，　　　0≤x≤a 相應(yīng)的概率密度函數(shù)為 ，　　　0≤x≤a 令　，得 在0≤x≤a 的范圍內(nèi)討論可得，當(dāng)和a 時(shí)，函數(shù)取得極值.由可知，函數(shù)在x ＝0，x ＝a/2 和x ＝a(即x ＝0，0.10 nm，0.20 nm)處概率最小，其值均為零. 16－27　在線度為1.010－5m 的細(xì)胞中有許多質(zhì)量為m ＝1.010－17 kg的生物粒子，若將生物粒子作為微觀粒子處理，試估算該粒子的n ＝100 和n＝101的能級(jí)和能級(jí)差各是多大. 分析　作為估算，該粒子被

27、限制在細(xì)胞內(nèi)運(yùn)動(dòng)，可按一維無(wú)限深方勢(shì)阱粒子處理，勢(shì)阱寬度a ＝1.0 10－5m. 解　由分析可知，按一維無(wú)限深方勢(shì)阱這一物理模型計(jì)算，可得 n ＝100 時(shí)， n ＝101 時(shí)， 它們的能級(jí)差　 16－28　一電子被限制在寬度為1.010－10 m的一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng).(1) 欲使電子從基態(tài)躍遷到第一激發(fā)態(tài)，需給它多少能量？ (2) 在基態(tài)時(shí)，電子處于x1 ＝0.09010－10 m 與x2 ＝0.11010－10 m 之間的概率近似為多少？(3) 在第一激發(fā)態(tài)時(shí)，電子處于x1′＝0 與x2′＝0.2510-10 m 之間的概率為多少

28、？ 分析　設(shè)一維粒子的波函數(shù)為，則表示粒子在一維空間內(nèi)的概率密度， 則表示粒子在間隔內(nèi)出現(xiàn)的概率，而則表示粒子在 區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率.如區(qū)間的間隔Δx較小，上述積分可近似用 代替，其中取和之間中點(diǎn)位置c 處的概率密度作為上述區(qū)間內(nèi)的平均概率密度.這是一種常用的近似計(jì)算的方法. 解　(1) 電子從基態(tài)(n ＝1)躍遷到第一激發(fā)態(tài)(n ＝2)所需能量為 　　(2) 當(dāng)電子處于基態(tài)(n ＝1) 時(shí)，電子在勢(shì)阱中的概率密度為，所求區(qū)間寬度，區(qū)間的中心位置，則電子在所求區(qū)間的概率近似為 　　(3) 同理，電子在第一激發(fā)態(tài)(n ＝2)的概率密度為，則電

29、子在所求區(qū)間的概率近似為 16－29　在描述原子內(nèi)電子狀態(tài)的量子數(shù)n，l，ml 中，(1) 當(dāng)n＝5 時(shí)，l 的可能值是多少？ (2) 當(dāng)l＝5 時(shí)，ml的可能值為多少？ (3) 當(dāng)l ＝4 時(shí)，n 的最小可能值是多少？ (4) 當(dāng)n ＝3 時(shí)，電子可能狀態(tài)數(shù)為多少？ 分析　微觀粒子狀態(tài)的描述可用能量、角動(dòng)量、角動(dòng)量的空間取向、自旋角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量的空間取向所對(duì)應(yīng)的量子數(shù)來(lái)表示，即用一組量子數(shù)(n，l，ml，s，ms )表示一種確定狀態(tài).由于電子自旋量子數(shù)s 恒為1/2，故區(qū)別電子狀態(tài)時(shí)只需用4 個(gè)量子數(shù)即n、l、ml 和ms ，其中n可取大于零的任何整數(shù)值，而 l、m

30、l和ms的取值則受到一定的限制，如n 取定后，l 只能為0，l，…，(n －1)，共可取n個(gè)值；l 取定后，ml 只能為0， 1，…， l，共可取2l ＋1 個(gè)值；而ms 只可取12 兩個(gè)值.上述 4 個(gè)量子數(shù)中只要有一個(gè)不同，則表示的狀態(tài)就不同，因此，對(duì)于能量確定(即n 一定)的電子來(lái)說(shuō)，其可能的狀態(tài)數(shù)為2n2 個(gè). 解　(1) n ＝5 時(shí)，l 的可能值為5 個(gè)，它們是l ＝0，1，2，3，4 (2) l ＝5時(shí)，ml的可能值為11個(gè)，它們是ml＝0，1，2，3，4，5 (3) l ＝4 時(shí)，因?yàn)閘 的最大可能值為(n －1)，所以n 的最小可能值為5 (4) n ＝3 時(shí)，電子的可能狀態(tài)數(shù)為2n2 ＝18 16－30　氫原子中的電子處于n ＝4、l ＝3 的狀態(tài).問(wèn)：(1) 該電子角動(dòng)量L的值為多少？ (2) 這角動(dòng)量L 在z 軸的分量有哪些可能的值？ (3) 角動(dòng)量L 與z 軸的夾角的可能值為多少？ 題 16-30 圖 解　(1) n ＝4、l ＝3 時(shí)，電子角動(dòng)量 　　(2) 軌道角動(dòng)量在z 軸上的分量，對(duì)于n ＝4、l ＝3的電子來(lái)說(shuō)，則Lz的可能取值為. (3) 角動(dòng)量L 與z 軸的夾角，如圖所示，當(dāng)ml 分別取3，2，1，0，－1，－2，－3 時(shí)，相應(yīng)夾角θ 分別為