數(shù)字信號處理第三版高西全版課后習(xí)題答案詳解.doc
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1、 數(shù)字信號處理課后答案 高西全、丁美玉版 1.2 教材第一章習(xí)題解答 1. 用單位脈沖序列及其加權(quán)和表示題1圖所示的序列。 解: 2. 給定信號: (1)畫出序列的波形,標(biāo)上各序列的值; (2)試用延遲單位脈沖序列及其加權(quán)和表示序列; (3)令,試畫出波形; (4)令,試畫出波形; (5)令,試畫出波形。 解: (1)x(n)的波形如題2解圖(一)所示。 (2) (3)的波形是x(n)的波形右移2位,在乘以2,畫出圖形如題2解圖(二)所示。 (4)的波形是x(n)的波形左移2位,在乘以2,畫出圖形如題2解圖(三)所示。 (5)畫時,先畫x(-n)的
2、波形,然后再右移2位,波形如題2解圖(四)所示。 3. 判斷下面的序列是否是周期的,若是周期的,確定其周期。 (1),A是常數(shù); (2)。 解: (1),這是有理數(shù),因此是周期序列,周期是T=14; (2),這是無理數(shù),因此是非周期序列。 5. 設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述,與分別表示系統(tǒng)輸入和輸出,判斷系統(tǒng)是否是線性非時變的。 (1); (3),為整常數(shù); (5); (7)。 解: (1)令:輸入為,輸出為 故該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。 故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 (3)這是一個延時器,延時器是一個線性時不變系統(tǒng),下面予以證明。 令輸入為,輸出為,因為
3、 故延時器是一個時不變系統(tǒng)。又因為 故延時器是線性系統(tǒng)。 (5) 令:輸入為,輸出為,因為 故系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。又因為 因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。 (7) 令:輸入為,輸出為,因為 故該系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。又因為 故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 6. 給定下述系統(tǒng)的差分方程,試判斷系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng),并說明理由。 (1); (3); (5)。 解: (1)只要,該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng),因為輸出只與n時刻的和n時刻以前的輸入有關(guān)。如果,則,因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)
4、。 (3)如果,,因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)是非因果的,因為輸出還和x(n)的將來值有關(guān). (5)系統(tǒng)是因果系統(tǒng),因為系統(tǒng)的輸出不取決于x(n)的未來值。如果,則,因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 7. 設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和輸入序列如題7圖所示,要求畫出輸出輸出的波形。 解: 解法(1):采用圖解法 圖解法的過程如題7解圖所示。 解法(2):采用解析法。按照題7圖寫出x(n)和h(n)的表達(dá)式: 因為 所以 將x(n)的表達(dá)式代入上式,得到 8. 設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)和輸入分別有以
5、下三種情況,分別求出輸出。 (1); (2); (3)。 解: (1) 先確定求和域,由和確定對于m的非零區(qū)間如下: 根據(jù)非零區(qū)間,將n分成四種情況求解: ① ② ③ ④ 最后結(jié)果為 y(n)的波形如題8解圖(一)所示。 (2) y(n)的波形如題8解圖(二)所示. (3) y(n)對于m的非零區(qū)間為。 ① ② ③ 最后寫成統(tǒng)一表達(dá)式: 11. 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述: ; 設(shè)系統(tǒng)是因果的,利用遞推法求系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)。 解: 令: 歸納起來,結(jié)果為 12. 有一連續(xù)信
6、號式中, (1)求出的周期。 (2)用采樣間隔對進行采樣,試寫出采樣信號的表達(dá)式。 (3)畫出對應(yīng)的時域離散信號(序列) 的波形,并求出的周期。 ————第二章———— 教材第二章習(xí)題解答 1. 設(shè)和分別是和的傅里葉變換,試求下面序列的傅里葉變換: (1); (2); (3); (4)。 解: (1) 令,則 (2) (3) 令,則 (4) 證明: 令k=n-m,則 2. 已知 求的傅里葉反變換。 解: 3.
7、線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(傳輸函數(shù))如果單位脈沖響應(yīng)為實序列,試證明輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 。 解: 假設(shè)輸入信號,系統(tǒng)單位脈沖相應(yīng)為h(n),系統(tǒng)輸出為 上式說明,當(dāng)輸入信號為復(fù)指數(shù)序列時,輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列,且頻率相同,但幅度和相位決定于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù),利用該性質(zhì)解此題。 上式中是w的偶函數(shù),相位函數(shù)是w的奇函數(shù), 4. 設(shè)將以4為周期進行周期延拓,形成周期序列,畫出和的波形,求出的離散傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。 解: 畫出x(n)和的波形如題4解圖所示。 , 以4為周期,或者 , 以4為周期 5. 設(shè)如圖所示的序列的FT用表示,不直接求出,完成下列運算:
8、 (1); (2); (5) 解: (1) (2) (5) 6. 試求如下序列的傅里葉變換: (2); (3) 解: (2) (3) 7. 設(shè): (1)是實偶函數(shù), (2)是實奇函數(shù),分別分析推導(dǎo)以上兩種假設(shè)下,的傅里葉變換性質(zhì)。 解: 令 (1)x(n)是實、偶函數(shù), 兩邊取共軛,得到 因此 上式說明x(n)是實序列,具有共軛對稱性質(zhì)。 由于x(n)是偶函數(shù),x(n)sinwn是奇函數(shù),那么 因此 該式說明是實函數(shù),且是w的偶函數(shù)。 總結(jié)以上x(n)是實、偶函數(shù)時,對應(yīng)的傅里葉變換是實、偶函數(shù)。
9、(2)x(n)是實、奇函數(shù)。 上面已推出,由于x(n)是實序列,具有共軛對稱性質(zhì),即 由于x(n)是奇函數(shù),上式中是奇函數(shù),那么 因此 這說明是純虛數(shù),且是w的奇函數(shù)。 10. 若序列是實因果序列,其傅里葉變換的實部如下式: 求序列及其傅里葉變換。 解: 12. 設(shè)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng),輸入序列為,完成下面各題: (1)求出系統(tǒng)輸出序列; (2)分別求出、和的傅里葉變換。 解: (1) (2) 13. 已知,式中,以采樣頻率對進行采樣,得到采樣信號和時域離散信號,試完成下面各題: (1)寫出的傅里葉變換表示式; (2)寫出和的表達(dá)式; (3
10、)分別求出的傅里葉變換和序列的傅里葉變換。 解: (1) 上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在,引入奇異函數(shù)函數(shù),它的傅里葉變換可以 表示成: (2) (3) 式中 式中 上式推導(dǎo)過程中,指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在,只有引入奇異函數(shù)函數(shù),才能寫出它的傅里葉變換表達(dá)式。 14. 求以下序列的Z變換及收斂域: (2); (3); (6) 解: (2) (3) (6) 16. 已知: 求出對應(yīng)的各種可能的序列的表達(dá)式。 解: 有兩個極點,因為收斂域總是以極點為界,因此收斂域有以下三種情況: 三
11、種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。 (1)當(dāng)收斂域時, 令 ,因為c內(nèi)無極點,x(n)=0; ,C內(nèi)有極點0,但z=0是一個n階極點,改為求圓外極點留數(shù),圓外極點有,那么 (2)當(dāng)收斂域時, ,C內(nèi)有極點0.5; ,C內(nèi)有極點0.5,0,但0是一個n階極點,改成求c外極點留數(shù),c外極點只有一個,即2, 最后得到 (3)當(dāng)收斂域時, ,C內(nèi)有極點0.5,2; n<0,由收斂域判斷,這是一個因果序列,因此x(n)=0。 或者這樣分析,C內(nèi)有極點0.5,2,0,但0是一個n階極點,改成求c外極點留數(shù),c外無極點,所以x(n)=0。 最后得到 1
12、7. 已知,分別求: (1)的Z變換; (2)的Z變換; (3)的z變換。 解: (1) (2) (3) 18. 已知,分別求: (1)收斂域?qū)?yīng)的原序列; (2)收斂域?qū)?yīng)的原序列。 解: (1)當(dāng)收斂域時,,內(nèi)有極點0.5, , c內(nèi)有極點0.5,0,但0是一個n階極點,改求c外極點留數(shù),c外極點只有2, , 最后得到 (2(當(dāng)收斂域時, c內(nèi)有極點0.5,2, c內(nèi)有極點0.5,2,0,但極點0是一個n階極點,改成求c外極點留數(shù),可是c外沒有極點,因此, 最后得到 25. 已知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為
13、, 試: (1)用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出; (2)用ZT法求網(wǎng)絡(luò)輸出。 解: (1)用卷積法求 ,, ,, 最后得到 (2)用ZT法求 令 ,c內(nèi)有極點 因為系統(tǒng)是因果系統(tǒng),,,最后得到 28. 若序列是因果序列,其傅里葉變換的實部如下式: 求序列及其傅里葉變換。 解: 求上式IZT,得到序列的共軛對稱序列。 因為是因果序列,必定是雙邊序列,收斂域?。?。 時,c內(nèi)有極點, n=0時,c內(nèi)有極點,0, 所以 又因為 所以 3.2 教材第三章習(xí)題解答 1. 計算以下諸序列的N點D
14、FT,在變換區(qū)間內(nèi),序列定義為 (2); (4); (6); (8); (10)。 解: (2) (4) (6) (8)解法1 直接計算 解法2 由DFT的共軛對稱性求解 因為 所以 即 結(jié)果與解法1所得結(jié)果相同。此題驗證了共軛對稱性。 (10)解法1 上式直接計算較難,可根據(jù)循環(huán)移位性質(zhì)來求解X(k)。 因為 所以 等式兩邊進行DFT得到 故 當(dāng)時,可直接計算得出X(0) 這樣
15、,X(k)可寫成如下形式: 解法2 時, 時, 所以, 即 2. 已知下列,求 (1); (2) 解: (1) = (2) 3. 長度為N=10的兩個有限長序列 作圖表示、和。 解: 、和分別如題3解圖(a)、(b)、(c)所示。 14. 兩個有限長序列和的零值區(qū)間為: 對每個序列作20點DFT,即 如果 試問在哪些點上,為什么? 解: 如前所示,記,而。 長度為27,長度為20。已推出二者的關(guān)系為 只有在如上周期延拓序列中無混疊的點上,才滿足所以 15. 用微處理機對實數(shù)序列
16、作譜分析,要求譜分辨率,信號最高頻率為1kHZ,試確定以下各參數(shù): (1)最小記錄時間; (2)最大取樣間隔; (3)最少采樣點數(shù); (4)在頻帶寬度不變的情況下,將頻率分辨率提高一倍的N值。 解: (1)已知 (2) (3) (4)頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變,應(yīng)該使記錄時間擴大一倍為0.04s實現(xiàn)頻率分辨率提高一倍(F變?yōu)樵瓉淼?/2) 18. 我們希望利用長度為N=50的FIR濾波器對一段很長的數(shù)據(jù)序列進行濾波處理,要求采用重疊保留法通過DFT來實現(xiàn)。所謂重疊保留法,就是對輸入序列進行分段(本題設(shè)每段長度為M=100個采樣點),但相鄰兩段必須重疊V個點,
17、然后計算各段與的L點(本題取L=128)循環(huán)卷積,得到輸出序列,m表示第m段計算輸出。最后,從中取出B個,使每段取出的B個采樣點連接得到濾波輸出。 (1)求V; (2)求B; (3)確定取出的B個采樣應(yīng)為中的哪些采樣點。 解: 為了便于敘述,規(guī)定循環(huán)卷積的輸出序列的序列標(biāo)號為0,1,2,…,127。 先以與各段輸入的線性卷積考慮,中,第0點到48點(共49個點)不正確,不能作為濾波輸出,第49點到第99點(共51個點)為正確的濾波輸出序列的一段,即B=51。所以,為了去除前面49個不正確點,取出51個正確的點連續(xù)得到不間斷又無多余點的,必須重疊100-51=49個點,即V=49。
18、 下面說明,對128點的循環(huán)卷積,上述結(jié)果也是正確的。我們知道 因為長度為 N+M-1=50+100-1=149 所以從n=20到127區(qū)域, ,當(dāng)然,第49點到第99點二者亦相等,所以,所取出的第51點為從第49到99點的。 綜上所述,總結(jié)所得結(jié)論 V=49,B=51 選取中第49~99點作為濾波輸出。 5.2 教材第五章習(xí)題解答 1. 設(shè)系統(tǒng)用下面的差分方程描述: , 試畫出系統(tǒng)的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解: 將上式進行Z變換 (1)按照系統(tǒng)函數(shù),根據(jù)Masson公式,畫出直接型結(jié)構(gòu)如題1解圖(一)所示。 (2)將的分母進行因式分解
19、 按照上式可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu): (a) 畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖(二)(a)所示 (b) 畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖(二)(b)所示 (3)將進行部分分式展開 根據(jù)上式畫出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖(三)所示。 2. 設(shè)數(shù)字濾波器的差分方程為 , 試畫出該濾波器的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解: 將差分方程進行Z變換,得到 (1)按照Massion公式直接畫出直接型結(jié)構(gòu)如題2解圖(一)所示。 (2)將的分子和分母進行因式分解: 按照上式可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu): (a)
20、 畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題2解圖(二)(a)所示。 (b) 畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題2解圖(二)(b)所示●。 3. 設(shè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 , 試畫出各種可能的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解: 由于系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母各有兩個因式,可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 (1) , 畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題3解圖(a)所示●。 (2) , 畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題3解圖(b)所示。 4.圖中畫出了四個系統(tǒng),試用各子系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)分別表示各總系
21、統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),并求其總系統(tǒng)函數(shù)。圖d 解: (d) 5. 寫出圖中流圖的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程。圖d 解: (d) 6. 寫出圖中流圖的系統(tǒng)函數(shù)。圖f 解: (f) 8.已知FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為,試用頻率采樣結(jié)構(gòu)實現(xiàn)該濾波器。設(shè)采樣點數(shù)N=5,要求畫出頻率采樣網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),寫出濾波器參數(shù)的計算公式。 解: 已知頻率采樣結(jié)構(gòu)的公式為 式中,N=5 它的頻率采樣
22、結(jié)構(gòu)如題8解圖所示。 6.2 教材第六章習(xí)題解答 1. 設(shè)計一個巴特沃斯低通濾波器,要求通帶截止頻率,通帶最大衰減,阻帶截止頻率,阻帶最小衰減。求出濾波器歸一化傳輸函數(shù)以及實際的。 解: (1)求階數(shù)N。 將和值代入N的計算公式得 所以取N=5(實際應(yīng)用中,根據(jù)具體要求,也可能取N=4,指標(biāo)稍微差一點,但階數(shù)低一階,使系統(tǒng)實現(xiàn)電路得到簡化。) (2)求歸一化系統(tǒng)函數(shù),由階數(shù)N=5直接查表得到5階巴特沃斯歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為 或 當(dāng)然,也可以按(6.12)式計算出極點: 按(6.11)式寫出表達(dá)式 代入值并進行
23、分母展開得到與查表相同的結(jié)果。 (3)去歸一化(即LP-LP頻率變換),由歸一化系統(tǒng)函數(shù)得到實際濾波器系統(tǒng)函數(shù)。 由于本題中,即,因此 對分母因式形式,則有 如上結(jié)果中,的值未代入相乘,這樣使讀者能清楚地看到去歸一化后,3dB截止頻率對歸一化系統(tǒng)函數(shù)的改變作用。 2. 設(shè)計一個切比雪夫低通濾波器,要求通帶截止頻率,通帶最在衰減速,阻帶截止頻率,阻帶最小衰減。求出歸一化傳輸函數(shù)和實際的。 解: (1)確定濾波器技術(shù)指標(biāo): , (2)求階數(shù)N和: 為了滿足指標(biāo)要求,取N=4。 (2)求歸一化系統(tǒng)函數(shù) 其中,
24、極點由(6.2.38)式求出如下: (3)將去歸一化,求得實際濾波器系統(tǒng)函數(shù) 其中,因為,所以。將兩對共軛極點對應(yīng)的因子相乘,得到分母為二階因子的形式,其系數(shù)全為實數(shù)。 4. 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)為: (1); (2)。式中,a,b為常數(shù),設(shè)因果穩(wěn)定,試采用脈沖響應(yīng)不變法,分別將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。 解: 該題所給正是模擬濾波器二階基本節(jié)的兩種典型形式。所以,求解該題具有代表性,解該題的過程,就是導(dǎo)出這兩種典型形式的的脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換公式,設(shè)采樣周期為T。 (1) 的極點為: , 將部分分
25、式展開(用待定系數(shù)法): 比較分子各項系數(shù)可知: A、B應(yīng)滿足方程: 解之得 所以 按照題目要求,上面的表達(dá)式就可作為該題的答案。但在工程實際中,一般用無復(fù)數(shù)乘法器的二階基本結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。由于兩個極點共軛對稱,所以將的兩項通分并化簡整理,可得 用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器時,直接套用上面的公式即可,且對應(yīng)結(jié)構(gòu)圖中無復(fù)數(shù)乘法器,便于工程實際中實現(xiàn)。 (2) 的極點為: , 將部分分式展開: 通分并化簡整理得 5. 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)為: (1); (2)試用脈沖響應(yīng)不變法和雙線
26、性變換法分別將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器,設(shè)T=2s。 解: (1)用脈沖響應(yīng)不變法 ① 方法1 直接按脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計公式,的極點為: , 代入T=2s 方法2 直接套用4題(2)所得公式,為了套用公式,先對的分母配方,將化成4題中的標(biāo)準(zhǔn)形式: 為一常數(shù), 由于 所以 對比可知,,套用公式得 ② 或通分合并兩項得 (2)用雙線性變換法 ① ②
27、 7. 假設(shè)某模擬濾波器是一個低通濾波器,又知,數(shù)字濾波器的通帶中心位于下面的哪種情況?并說明原因。 (1) (低通); (2)(高通); (3)除0或外的某一頻率(帶通)。 解: 按題意可寫出 故 即 原模擬低通濾波器以為通帶中心,由上式可知,時,對應(yīng)于,故答案為(2)。 9. 設(shè)計低通數(shù)字濾波器,要求通帶內(nèi)頻率低于時,容許幅度誤差在1dB之內(nèi);頻率在0.3到之間的阻帶衰減大于10dB;試采用巴特沃斯型模擬濾波器進行設(shè)計,用脈沖響應(yīng)不變法進行轉(zhuǎn)換,采樣間隔T=1ms。 解: 本題要求用巴特沃斯型模擬濾波器設(shè)計,所以,由巴特沃斯濾波器的單調(diào)下降特
28、性,數(shù)字濾波器指標(biāo)描述如下: 采用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換,所以,相應(yīng)模擬低通巴特沃斯濾波器指標(biāo)為: (1)求濾波器階數(shù)N及歸一化系統(tǒng)函數(shù): 取N=5,查表6.1的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的歸一化低通原型為: 將部分分式展開: 其中,系數(shù)為: (2)去歸一化求得相應(yīng)的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)。 我們希望阻帶指標(biāo)剛好,讓通帶指標(biāo)留有富裕量,所以按(6.2.18)式求3dB截止頻率。 其中。 (3)用脈沖響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù): 我們知道,脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點是存在頻率混疊失真,設(shè)計的濾波器阻帶指標(biāo)變差。另外,由該題的設(shè)計過程可見,當(dāng)N較大時,部分分式展開求解系數(shù)或相當(dāng)困難,所以實際工作中用得很少,主要采用雙線性變換法設(shè)計。 17364829304321 44
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