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1、 學案37　合情推理與演繹推理 導學目標： 1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用.2.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理.3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異． 自主梳理 自我檢測 1．(2010·山東)觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則g(－x) 等于(　　) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(

2、x) 2．(2010·珠海質(zhì)檢)給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實數(shù)集，C為復數(shù)集)： ①“若a，b∈R，則a－b＝0?a＝b”類比推出“若a，b∈C，則a－b＝0?a＝b”； ②“若a，b，c，d∈R，則復數(shù)a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類比推出“若a，b，c，d∈Q，則a＋b＝c＋d?a＝c，b＝d”； ③“若a，b∈R，則a－b>0?a>b”類比推出“若a，b∈C，則a－b>0?a>b”．其中類比結論正確的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3．(2009·江蘇)在平面上，若兩個正三角形的邊長比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，

3、類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長比為1∶2，則它們的體積比為________． 4．(2010·陜西)觀察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為________________________________． 5．(2011·蘇州月考)一切奇數(shù)都不能被2整除，2100＋1是奇數(shù)，所以2100＋1不能被2整除，其演繹推理的“三段論”的形式為___________________________________________． 探究點一　歸納推理 例1　在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈

4、N*，猜想這個數(shù)列的通項公式，這個猜想正確嗎？請說明理由． 變式遷移1　觀察：①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝； ②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝. 由上面兩題的結構規(guī)律，你能否提出一個猜想？并證明你的猜想． 探究點二　類比推理 例2　(2011·銀川月考)在平面內(nèi)，可以用面積法證明下面的結論： 從三角形內(nèi)部任意一點，向各邊引垂線，其長度分別為pa，pb，pc，且相應各邊上的高分別為ha，hb，hc，則有＋＋＝1. 請你運用類比的方法將此

5、結論推廣到四面體中并證明你的結論． 變式遷移2　在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，則△ABC的外接圓半徑r＝，將此結論類比到空間有_______________________________________________． 探究點三　演繹推理 例3　在銳角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D、E是垂足．求證：AB的中點M到D、E的距離相等． 變式遷移3　指出對結論“已知和是無理數(shù)，證明＋是無理數(shù)”的下述證明是否為“三段論”，證明有錯誤嗎？

6、證明：∵無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)，而與都是無理數(shù)，∴＋也是無理數(shù)． 1．合情推理是指“合乎情理”的推理，數(shù)學研究中，得到一個新結論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結論；證明一個數(shù)學結論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向．合情推理的過程概括為：―→―→―→.一般來說，由合情推理所獲得的結論，僅僅是一種猜想，其可靠性還需進一步證明． 2．歸納推理與類比推理都屬合情推理：(1)歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理．它是一種由部分到整

7、體，由個別到一般的推理．(2)類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理，它是一種由特殊到特殊的推理． 3．從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，把這種推理稱為演繹推理，也就是由一般到特殊的推理，三段論是演繹推理的一般模式，包括大前提，小前提，結論． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2011·福建廈門華僑中學模擬)定義A*B，B*C，C*D，D*A的運算分別對應下圖中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下圖中的(A)、(B)所對應的運算結果可能是(　　) A．B*

8、D，A*D B．B*D，A*C C．B*C，A*D D．C*D，A*D 2．(2011·廈門模擬)設f(x)＝，又記f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…，則f2 010(x)等于(　　) A．－ B．x C. D. 3．由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則： ①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”； ④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p

9、≠0，a·p＝x·p?a＝x”； ⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“＝”類比得到“＝”． 以上的式子中，類比得到的結論正確的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．(2009·湖北)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，比如： 他們研究過圖(1)中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖(2)中的1,4,9,16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù)． 下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是(　　) A．289 B．1 024 C．1 225 D

10、．1 378 5．已知整數(shù)的數(shù)對如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…則第60個數(shù)對是(　　) A．(3,8) B．(4,7) C．(4,8) D．(5,7) 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個結論推廣到空間正四面體，類似的結論是________________________________________________________________________． 7．(2011·廣東深圳高級中學模擬

11、)定義一種運算“*”：對于自然數(shù)n滿足以下運算性質(zhì)： 8．(2011·陜西)觀察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 … 照此規(guī)律，第n個等式為_____________________________________________________． 三、解答題(共38分) 9．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝0(n≥2)．計算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達式． 10．(12分)(2011·杭州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝

12、－ (a>0且a≠1)， (1)證明：函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點對稱； (2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值． 11．(14分)如圖1，若射線OM，ON上分別存在點M1，M2與點N1，N2，則＝·；如圖2，若不在同一平面內(nèi)的射線OP，OQ和OR上分別存在點P1，P2，點Q1，Q2和點R1，R2，則類似的結論是什么？這個結論正確嗎？說明理由． 學案37　合情推理與演繹推理 自主梳理 歸納推理　全部對象　部分　個別　類比推理　這些特征 特殊到

13、特殊?、僖话阍怼、谔厥馇闆r?、厶厥馇闆r　一般　特殊 自我檢測 1．D　[由所給函數(shù)及其導數(shù)知，偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)．因此當f(x)是偶函數(shù)時，其導函數(shù)應為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)．] 2．C　[①②正確，③錯誤．因為兩個復數(shù)如果不全是實數(shù)，不能比較大小．] 3．1∶8 解析　∵兩個正三角形是相似的三角形，∴它們的面積之比是相似比的平方．同理，兩個正四面體是兩個相似幾何體，體積之比為相似比的立方，所以它們的體積比為1∶8. 4．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212 解析　由前三個式子可以得出如下規(guī)律：每個式子等號的左邊是從1開始的連續(xù)正整數(shù)的立方和，且個數(shù)依次多1

14、，等號的右邊是一個正整數(shù)的平方，后一個正整數(shù)依次比前一個大3,4，…，因此，第五個等式為13＋23＋33＋43＋53＋63＝212. 5．一切奇數(shù)都不能被2整除　大前提 2100＋1是奇數(shù)　小前提 所以2100＋1不能被2整除　結論 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　歸納分為完全歸納和不完全歸納，由歸納推理所得的結論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般、由具體到抽象的認識功能，對科學的發(fā)現(xiàn)是十分有用的，觀察、實驗，對有限的資料作歸納整理，提出帶規(guī)律性的說法是科學研究的最基本的方法之一． 解　在{an}中，a1＝1，a2＝＝， a3＝＝＝，a4＝＝，…， 所以猜想{an}的通項公式為an

15、＝. 這個猜想是正確的，證明如下： 因為a1＝1，an＋1＝， 所以＝＝＋， 即－＝，所以數(shù)列是以＝1為首項， 為公差的等差數(shù)列， 所以＝1＋(n－1)×＝n＋， 所以通項公式an＝. 變式遷移1　解　猜想sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝. 證明如下： 左邊＝sin2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α] ＝sin2α＋ ＝sin2α＋cos2α－sin2α＝＝右邊． 例2　解題導引　類比推理是根據(jù)兩個對象有一部分屬性類似，推出這兩個對象的其他屬性亦類似的一種推理方法，例如我們拿分式同分數(shù)來類比，平面幾何與立體

16、幾何中的某些對象類比等等．我們必須清楚類比并不是論證，它可以幫助我們發(fā)現(xiàn)真理．類比推理應從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行對比、歸納、提出猜想． 解　 類比：從四面體內(nèi)部任意一點向各面引垂線，其長度分別為pa，pb，pc，pd，且相應各面上的高分別為ha，hb，hc，hd. 則有＋＋＋＝1. 證明如下： ＝＝， 同理有＝，＝，＝， VP—BCD＋VP—CDA＋VP—BDA＋VP—ABC＝VA—BCD， ∴＋＋＋ ＝＝1. 變式遷移2　在三棱錐A—BCD中，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且AB＝a，AC＝b，AD＝c，則此三棱錐的外接球半徑R＝ 例3　解題導引　

17、在演繹推理中，只有前提(大前提、小前提)和推理形式都是正確的，結論才是正確的，否則所得的結論可能就是錯誤的．推理時，要清楚大前提、小前提及二者之間的邏輯關系． 證明　(1)因為有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，——大前提 在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，——小前提 所以△ADB是直角三角形．——結論 (2)因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，——大前提 而M是Rt△ADB斜邊AB的中點，DM是斜邊上的中線，——小前提 所以DM＝AB.——結論 同理EM＝AB，所以DM＝EM. 變式遷移3　解　證明是“三段論”模式，證明有錯誤．證明中大前提使用的論據(jù)是“無

18、理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)”，這個論據(jù)是假的，因為兩個無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)，因此原理的真實性仍無法斷定． 課后練習區(qū) 1．B　[由(1)(2)(3)(4)圖得A表示|，B表示□，C表示—，D表示○，故圖(A)(B)表示B*D和A*C.] 2．A　[計算f2(x)＝f＝＝－， f3(x)＝f＝＝， f4(x)＝＝x，f5(x)＝f1(x)＝， 歸納得f4k＋i(x)＝fi(x)，k∈N*，i＝1,2,3,4. ∴f2 010(x)＝f2(x)＝－.] 3．B　[只有①、②對，其余錯誤，故選B.] 4．C　[設圖(1)中數(shù)列1,3,6,10，…的通項公式為an，則 a2－a1

19、＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n. 故an－a1＝2＋3＋4＋…＋n， ∴an＝. 而圖(2)中數(shù)列的通項公式為bn＝n2，因此所給的選項中只有1 225滿足a49＝＝b35＝352＝1 225.] 5．D　[觀察可知橫坐標和縱坐標之和為2的數(shù)對有1個，和為3的數(shù)對有2個，和為4的數(shù)對有3個，和為5的數(shù)對有4個，依次類推和為n＋1的數(shù)對有n個，多個數(shù)對的排序是按照橫坐標依次增大的順序來排的，由＝60?n(n＋1)＝120，n∈Z，n＝10時，＝55個數(shù)對，還差5個數(shù)對，且這5個數(shù)對的橫、縱坐標之和為12，它們依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4

20、,8)，(5,7)， ∴第60個數(shù)對是(5,7)．] 6．空間正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的 解析　利用體積分割可證明． 7．n 8．n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 解析　∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，∴第n個等式為n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 9．解　當n＝1時，S1＝a1＝－.(2分) 當n＝2時，＝－2－S1＝－， ∴S2＝－.(4分) 當n＝3時，＝－2－S2＝－， ∴S3＝－.(6分) 當n＝4時，＝－2－S3＝－， ∴S4＝－.(8分) 猜想：Sn＝－ (n∈N*)．(12分)

21、 10．(1)證明　函數(shù)f(x)的定義域為R，任取一點(x，y)，它關于點對稱的點的坐標為(1－x，－1－y)．(2分) 由已知得y＝－， 則－1－y＝－1＋＝－，(4分) f(1－x)＝－＝－ ＝－＝－，∴－1－y＝f(1－x)． 即函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點對稱．(6分) (2)解　由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)， 即f(x)＋f(1－x)＝－1.(9分) ∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1， f(0)＋f(1)＝－1， 則f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3. (12分) 11．解　類似的結論為：＝··. (4分) 這個結論是正確的，證明如下： 如圖，過R2作R2M2⊥平面P2OQ2于M2，連接OM2. 過R1在平面OR2M2作R1M1∥R2M2交OM2于M1， 則R1M1⊥平面P2OQ2. 由VO—P1Q1R1＝S△P1OQ1·R1M1＝·OP1·OQ1·sin∠P1OQ1·R1M1 ＝OP1·OQ1·R1M1·sin∠P1OQ1，(8分) 同理，VO—P2Q2R2＝OP2·OQ2·R2M2·sin∠P2OQ2. 所以＝.(10分) 由平面幾何知識可得＝.(12分) 所以＝. 所以結論正確．(14分) 10