《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3.2 平面與平面垂直的判定課件 新人教A版必修2.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3.2 平面與平面垂直的判定課件 新人教A版必修2.ppt（43頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.3.2 平面與平面垂直的判定,目標(biāo)導(dǎo)航,新知探求,課堂探究,新知探求素養(yǎng)養(yǎng)成,,點擊進(jìn)入 情境導(dǎo)學(xué),知識探究,1.二面角 (1)定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫二面角的 ,這兩個半平面叫二面角的 .圖中的二面角可記作:二面角α-AB-β或α-l-β或P-AB-Q.,棱,面,(2)二面角的平面角:如圖,在二面角α-l-β的棱l上任取一點O,以點O為垂足,在半平面α和β內(nèi)分別作 的射線OA,OB,則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是 的二面角叫做直二面角.,垂直于棱l,探究2:教室相鄰的兩個墻面與地面可以構(gòu)成幾個二面角? 答案

2、:可以構(gòu)成三個二面角,如圖所示. 分別是α-a-β,β-c-γ,α-b-γ. 這三個二面角都是90.,直角,2.平面與平面垂直 (1)定義:一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是 ,就說這兩個平面互相垂直.平面α與β垂直,記作 .,直二面角,α⊥β,(2)判定定理,另一個平面的垂線,探究2:過平面外一點,可以作多少個與已知平面垂直的平面? 答案:無數(shù)多個. 過平面外一點可以作平面的一條垂線,過此垂線可以作出無數(shù)個平面,這些平面都與已知平面垂直.,自我檢測,1.(二面角)下列結(jié)論:(1)兩個相交平面組成的圖形叫做二面角; (2)異面直線a,b分別和一個二面角的兩個半平面垂直,則a,

3、b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補. (3)二面角的平面角是從棱上一點出發(fā),分別在兩個半平面內(nèi)作射線所成角的最小角; (4)二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系. 其中正確的是( ) (A)①③ (B)②④ (C)③④ (D)①②,B,2.(判定定理)對于直線m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一個條件是( ) (A)m⊥n,m∥α,n∥β (B)m⊥n,α∩β=m,n?α (C)m∥n,n⊥β,m?α (D)m∥n,m⊥α,n⊥β,3.(二面角)在二面角α-l-β的棱l上任選一點O,若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,則必須具有的條件是( ) (A)AO⊥BO,AO?α

4、,BO?β (B)AO⊥l,BO⊥l (C)AB⊥l,AO?α,BO?β (D)AO⊥l,BO⊥l,且AO?α,BO?β,C,D,4.(面面垂直的判定)已知l⊥α,則過l與α垂直的平面( ) (A)有1個 (B)有2個 (C)有無數(shù)個 (D)不存在,,C,5.(二面角)三棱錐P-ABC的兩側(cè)面PAB,PBC都是邊長為2的正三角形,AC= ,則二面角A-PB-C的大小為 .,答案:60,6.(面面垂直判定定理)在三棱錐P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則在三棱錐P-ABC的四個面中,互相垂直的面有 對.,,答案:3,題型一,求二面角,【例1】如圖所示,在正方體ABC

5、D-A′B′C′D′中:,課堂探究素養(yǎng)提升,(1)求二面角D′-AB-D的大小;,,解:(1)在正方體ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥AD′, AB⊥AD,因此∠D′AD為二面角D′-AB-D的平面角,在Rt△D′DA中, ∠D′AD=45. 所以二面角D′-AB-D的大小為45.,(2)若M是C′D′的中點,求二面角M-AB-D的大小.,,解:(2)因為M是C′D′的中點,所以MA=MB,取AB的中點N,連接MN,則MN⊥AB.取CD的中點H,連接HN,則HN⊥AB. 從而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45. 所以二面角M-AB-D的大小為4

6、5.,方法技巧 (1)二面角的平面角滿足:①頂點在二面角的棱上;②兩邊分別在二面角的兩個半平面內(nèi);③兩邊分別與二面角的棱垂直. (2)二面角的平面角θ是兩條射線所成的角,因此二面角不一定是銳角,其范圍為0≤θ≤180.,,即時訓(xùn)練1-1:已知D,E分別是正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1和BB1上的點,且A1D=2B1E=B1C1.求過D,E,C1的平面與棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小.,解:如圖所示,在平面AA1B1B內(nèi)延長DE和A1B1交于點F,則F是平面DEC1與平面A1B1C1的公共點.于是C1F為這兩個平面的交線.因而,所求二面角即為二面角D-C1F-A1. 因為

7、A1D∥B1E,且A1D=2B1E,所以E,B1分別為DF和A1F的中點. 因為A1B1=B1C1=A1C1=B1F,所以FC1⊥A1C1. 又因為CC1⊥平面A1B1C1,FC1?平面A1B1C1,所以CC1⊥FC1. 又因為A1C1,CC1為平面AA1C1C內(nèi)的兩條相交直線, 所以FC1⊥平面AA1C1C. 因為DC1?平面AA1C1C,所以FC1⊥DC1. 所以∠DC1A1是二面角D-C1F-A1的平面角. 由已知A1D=A1C1, 則∠DC1A1=45. 故所求二面角的大小為45.,【備用例1】在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的正方形,PD⊥平面ABCD, PD=a. (1)求證

8、:AC⊥平面PBD;,,(1)證明:因為四邊形ABCD為正方形, 所以AC⊥BD, 又PD⊥平面ABCD, 所以AC⊥PD, 又PD∩BD=D, 所以AC⊥平面PBD.,(2)求二面角P-BC-D的平面角;,,(2)解:因為四邊形ABCD為正方形,所以BC⊥CD, 又PD⊥平面ABCD,所以BC⊥PD. 又CD∩PD=D,所以BC⊥平面PCD, 所以BC⊥PC, 所以∠PCD為二面角P-BC-D的平面角, 在Rt△PCD中,因為PD=DC=a, 所以∠PCD=45, 即二面角P-BC-D的平面角為45.,(3)求二面角P-AC-D的平面角的正切值.,,題型二,平面與平面垂直的判定,【例2】 (

9、1)如圖(1)在四面體ABCD中,BD= a,AB=AD=CB=CD=AC=a. 求證:平面ABD⊥平面BCD;,,(2)如圖(2),在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D為BC的中點,點E在AC上,且DE⊥A1E. ①求證:平面A1AD⊥平面BCC1B1; ②求證:平面A1DE⊥平面ACC1A1.,,證明:(2)①因為三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱, 所以BB1⊥平面ABC,又AD?平面ABC, 所以AD⊥BB1,又D為BC的中點, 所以AD⊥BC,又BC∩BB1=B, 所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADA1, 所以平面A1AD⊥平面BCC1B1. ②因為三棱柱ABC-A1B1

10、C1為正三棱柱, 所以AA1⊥平面ABC,又DE?平面ABC, 所以AA1⊥DE,又DE⊥A1E,A1E∩AA1=A1,所以DE⊥平面ACC1A1, 又DE?平面A1DE,所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.,,證明:因為三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱, 所以AA1⊥平面A1B1C1, 又FB1?平面A1B1C1,所以AA1⊥FB1, 又△A1B1C1為等邊三角形, F為A1C1的中點,所以B1F⊥A1C1, 又A1C1∩AA1=A1,所以B1F⊥平面ACC1A1,又B1F?平面AB1F, 所以平面AB1F⊥平面ACC1A1.,變式探究:若本例中(2)改為在正三棱柱ABC-A1B1C1中

11、,F為A1C1的中點,求證:平面AB1F⊥平面ACC1A1.,方法技巧 判定兩平面垂直的常用方法:(1)定義法:即說明兩個平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其關(guān)鍵是在其中一個平面內(nèi)尋找一直線與另一個平面垂直,即把問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”;(3)性質(zhì)法:兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面,則另一個也垂直于此平面.,即時訓(xùn)練2-1:如圖所示,已知∠BSC=90,∠BSA=∠CSA=60,又SA=SB=SC.,,證明:法一 (利用定義證明),,,法二 (利用判定定理)因為SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60, 所以SA=AB=AC, 所以點A在平面SBC上的射影為△SBC的外心.

12、 因為△SBC為直角三角形, 所以點A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點, 所以AD⊥平面SBC. 又因為AD?平面ABC, 所以平面ABC⊥平面SBC.,【備用例2】 (2018石家莊期末)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,E為PD的中點.若PA⊥平面ABCD,PA=AD,求證:平面AEC⊥平面PDC.,,證明:因為PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD, 所以PA⊥CD, 又AD⊥CD,且AD∩PA=A, 所以CD⊥平面PAD, 又AE?平面PAD, 所以CD⊥AE. 因為PA=AD,E為PD中點, 所以AE⊥PD. 又CD∩PD=D, 所以AE⊥平面PDC, 又AE?平面

13、AEC, 所以平面AEC⊥平面PDC.,【備用例3】 如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1= AC=2,BC=1,E,F分別是A1C1,BC的中點.,,(1)證明:因為在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面 所以BB1⊥AB, 又因為AB⊥BC,BB1∩BC=B, 所以AB⊥平面B1BCC1, 因為AB?平面ABE. 所以平面ABE⊥平面B1BCC1.,(1)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1;,,(2)求證:C1F∥平面ABE;,,(3)求三棱錐E-ABC的體積.,題型三,線面垂直、面面垂直的綜合問題,【思考】 如何作二面角的平面角? 提示:作二面

14、角的三種常用方法: (1)定義法:在二面角的棱上找一個特殊點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖①,則∠AOB為二面角α-l-β的平面角.,(2)垂直法:過棱上一點作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角.如圖②,∠AOB為二面角α-l-β的平面角. (3)垂線法:過二面角的一個面內(nèi)異于棱上的一點A向另一個平面作垂線,垂足為B,由點B向二面角的棱作垂線,垂足為O,連接AO,則∠AOB為二面角的平面角或其補角.如圖③,∠AOB為二面角α-l-β的平面角.,【例3】 如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面PBC,PA=PB=2,PC=4,BC

15、=2 . (1)求證:平面PAB⊥平面ABC;,,,(2)E為BA的延長線上一點,若二面角P-EC-B的大小為30,求BE的長.,,方法技巧 (1)證明垂直關(guān)系時要注意利用線面垂直、線線垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化. (2)求二面角的大小的關(guān)鍵是作出二面角的平面角,這就需要緊扣它的三個條件,即這個角的頂點是否在棱上;角的兩邊是否分別在兩個半平面內(nèi);這兩邊是否都與棱垂直.在具體作圖時,還要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧,如:線面的垂直,圖形的對稱性,與棱垂直的面等.,即時訓(xùn)練3-1:如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點,BE⊥平面ABCD. (1)證明:平面AEC⊥平面BED;,,(1)證明:因為四邊形ABCD為菱形,所以AC⊥BD. 又BE⊥平面ABCD,所以BE⊥AC,又BD∩BE=B, 所以AC⊥平面BED,又AC?平面AEC, 所以平面AEC⊥平面BED.,(2)若∠ABC=120,AE⊥EC,三棱錐E-ACD的體積為 ,求該三棱錐的側(cè)面積.,,謝謝觀賞！,