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1、 第五講　振動與波 一、競賽中涉及的問題 （一）簡諧運(yùn)動 1．任何機(jī)械運(yùn)動都可用數(shù)學(xué)方法分解成一系列簡諧運(yùn)動，簡諧運(yùn)動是最基本的機(jī)械振動，簡諧運(yùn)動的動力學(xué)特點(diǎn)：物體所受回復(fù)力與位移反向，大小與位移成正比，即：F=－kx。運(yùn)動學(xué)特點(diǎn)；位移可用時(shí)間的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)表示。 例1．判斷下列各物體的振動是否簡諧運(yùn)動 O x x0 (1) 2x o x （5） x O x θ 光滑斜面 （2） （3） m O O1 M x A O x （4） O B A Pt Po ω ωt x O1 v x

2、 y 其中，（3）是質(zhì)量均勻的地球通道中的小球，（4）為浮于水面上的木塊，（5）為兩端開口U型管中的液面A。 2．運(yùn)動規(guī)律和參考圓 用初等數(shù)學(xué)方法，不能得出簡諧運(yùn)動物體的V、a變化規(guī)律， 采用參考圓卻能有效解決此問題，任何一個(gè)簡諧振動，都可看作 某一個(gè)作勻速圓周運(yùn)動的參考點(diǎn)在某一直徑上的投影的運(yùn)動，這 種想象中的參考點(diǎn)的運(yùn)動軌跡—參考圓，參考圓半徑為A，即為 簡諧運(yùn)動物體的振幅，如圖，O為振體m的平衡位置，t=0時(shí)， x=x0，Vx=V0,相應(yīng)物在A點(diǎn)，參考圓位置的P0點(diǎn)，t時(shí)刻，在Pt點(diǎn)（B點(diǎn)），由圖得 m m C B x h o (b) m

3、 m K C B (a) x （1）位移x=Acos(ωt +φ0),（2）速度Vx（3）加速度 ，其中，是初相角，回復(fù)力（4）振幅A—振體離開平衡位置的最大距離，由初始條件t =0時(shí)，代入x、vx表達(dá)式中，得，解之得A=位相，決定振體運(yùn)動的狀態(tài)的變量， 是t =0時(shí)的初相角N·B！上述方程的 原點(diǎn)均取在振體的靜平衡位置。 (b) m m B C k m m k C B 例2：試求下圖所示系統(tǒng)的振幅A及初位相，（a）中C與B中吊繩靜止時(shí)斷開，（b）中將物B無初速地放在物C上。 3．簡諧運(yùn)動的圓頻率，頻率與周期 （1）圓頻率 即x、vx

4、、ax表達(dá)式中的 ，由F=－kx= m k1 k2 k3 (c) （2）周期T，T=。 （3）頻率 A m k1 k2 (b) 1 k 2 (a) 例3，如圖（a） 將勁度系數(shù)為k的彈 簧，按其原長1∶2截?cái)? 為兩根，求由它們組成的(a),(b)兩系統(tǒng)的周期，圖C中，振動系統(tǒng)的周期又是多少？ 例4：物體質(zhì)量m，用彈簧懸吊于長為b的輕質(zhì)桿上，K1、K2 已知,長度a,b已知，求系統(tǒng)振動周期。 a k2 k1 o m x 例5：求下圖 (a)－(d)中系統(tǒng) 振動周期，(a)，(b)斜面光滑 (D)

5、 B 60o α o C A A B m 2L L C o (C) 30o 30o L m o α (b) L m α (a) (c)中AC、BC為兩細(xì)線,m在垂直于紙面的平面內(nèi)擺動，（d）中△ABC為等邊△，每邊桿長L，質(zhì)量不計(jì)。 4．簡諧運(yùn)動規(guī)律的求解 解題思路：（1）判斷振體作簡諧振動；（2）取物體靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，直接寫出規(guī)律，如 （3）求，（4）確定初始條件，A、。5.代入運(yùn)動方程求解。 例6：如圖，質(zhì)量均為m的兩物用線繩相連，懸于K1，K2兩彈簧上， k2 k1 m 求繩斷后，剩下物體的運(yùn)動規(guī)

6、律。 m k M m h k x 例7．如圖，M=2kg，k=100N/m，光滑水平面，t=0時(shí)，x0=10cm， v0=0，h=1cm高處有一質(zhì)量m=0.4kg的小物下落，當(dāng)M沿x軸負(fù)向 通過平衡位置時(shí)，小物恰落在M上且無反彈，試求此后兩物體一起 運(yùn)動的規(guī)律。 （二）振動能量與共振 1．簡諧振動中的能量。彈簧振子動能，振子的瞬間勢能，總能量，可見，簡諧振動物體機(jī)械能守恒，振子通過平衡位置時(shí)，Ep=0，Ek最大，通過極端位置時(shí)，Ek=0,Ep最大， 例8：彈簧振子勁度系數(shù)為k，振動物質(zhì)量為m，t=0時(shí)，x=x0，vx=v0,求A、。 2．

7、阻尼振動，簡諧振動機(jī)械能守恒，一旦開始，就永不停止，是理想狀況，實(shí)際振動，因有摩擦，振動總是減弱以致最后停下，這種振幅逐漸減小的運(yùn)動—阻尼振動。對于一定的振動物體，有阻尼要比無阻尼時(shí)，周期長些，陰尼越大，周期越長。 k 1cm x 例9：如圖，勁度系數(shù)為k=250g/cm的彈簧一端固定，另一端連接一質(zhì)量為30g的物塊，置于水平面上，摩擦因數(shù)，現(xiàn)將彈簧拉長1cm后由靜止釋放，求（1）物塊獲得的最大速度；（2）物塊經(jīng)過彈簧原長位置幾次后才停止運(yùn)動？ 3．受迫振動，物體在周期性外力（策動力）作用下的振動叫受迫振動。受迫振動的頻率等于策動力的頻率，而與物

8、體固有頻率無關(guān)，當(dāng)策動力頻率與物體固有頻率相等時(shí)，受迫振動的振幅最大，這種現(xiàn)象稱為共振，策動力頻率與物體固有頻率越接近，受迫振動振幅越大。 （三）機(jī)械波 1．機(jī)械波，橫波與縱波。機(jī)械振動在介質(zhì)中的傳播叫機(jī)械波，波傳播的是振動形式和能量，質(zhì)點(diǎn)并未發(fā)生遷移，橫波一質(zhì)點(diǎn)振動方向與波傳播方向垂直。縱波一質(zhì)點(diǎn)振動方向與波的傳播方向在一直線上。固體中可以同時(shí)有橫波與縱波，氣體中一般只有縱波存在。 2．波長、頻率與波速，定義（略）關(guān)系，注意：波速不同于運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的速度。 v y 3．平面簡諧波的波動方程及圖象，平面簡諧振動在一個(gè)方向上的傳播叫簡諧波，如圖，O點(diǎn)的振動方程為，在x軸上任 O

9、P x 一點(diǎn)P比O的振動滯后，∴P點(diǎn)振動方程為： ，這就是波動方程，可描述 平面簡諧波的傳播方向上任意點(diǎn)的規(guī)律。 4．波的干涉，同頻率，同相位或相差恒定的兩個(gè)波源，稱相干波源，相干波在相遇區(qū)域中出現(xiàn)的穩(wěn)的振動加強(qiáng)和減弱區(qū)間的現(xiàn)象，叫波的干涉現(xiàn)象。 N M 干涉時(shí)，振動最強(qiáng)區(qū)域發(fā)生在波程差△S =處（k為整數(shù)），振動最弱區(qū)域發(fā)生在△S=（2k+1）處。（兩波源同頻同相） B A 例10．如圖，在同一均勻介質(zhì)中，相距為a的兩波源M、N同時(shí) x 以同一相位向四周發(fā)射波長為2a的簡諧波，試找出介質(zhì)中振動加強(qiáng) 或削弱的兩條直線的位置。 例11．如圖，有兩個(gè)波源位

10、于同一介質(zhì)中的AB兩點(diǎn)，振動方向相同，振幅相等，頻率皆為100Hz，但B點(diǎn)波源比A點(diǎn)波源的位相超前π，若AB相距30m，波速為400m/s，試求AB之間的連線上因干涉而靜止及振幅最大的點(diǎn)的位置。 5．波的衍射，波在傳播過程中遇到障礙物而發(fā)生的繞射現(xiàn)象。 6．聲波，聲波的反射，干涉衍射略。（4）聲音的共鳴一共振現(xiàn)象，在一個(gè)盛水 的長玻管上方放一個(gè)正在發(fā)音的音叉，當(dāng)水面上方玻管中空氣柱長度入時(shí)，可觀察到空氣柱與音叉發(fā)生共鳴，式中n 是自然數(shù)，入是音叉所發(fā)聲音的波長。（5）樂音與噪音 （6）音調(diào)響度和音品自看。 2r o x 二、方法與技巧 （一）簡諧運(yùn)動的

11、證明 例1，如圖，圓柱體半徑為r,高為h，質(zhì)量為m，懸掛于彈簧上，其下部 h/2浸在足夠?qū)挻蟮乃刂刑幱陟o止，然后用外力使圓柱體再沒入水中一小段 距離，但不全部沒入，撤去外力后，圓柱體做什么運(yùn)動？其振動周期是多少？ N1 N2 c o x f1 f2 ω ω 例2：如圖，兩個(gè)相同的定軸圓輪以相同大小的角速度旋轉(zhuǎn)，兩輪心相距L，質(zhì)量為M的平板擱置于兩輪上，輪板間摩擦系數(shù)為，試判斷木板是否做簡諧運(yùn)動，并求運(yùn)動周期。 （二）等效法 m k1 k2 (b) m k1 k2 (a) 例3：右圖中(a)、(b)的各兩根彈簧是串聯(lián)還是并聯(lián)？兩個(gè)質(zhì)

12、量為m的物體的振動周期各是多少？（a）中滑輪及所有彈簧質(zhì)量均不計(jì)。 m θ a 例4：求右圖中勻加速向左運(yùn)動的小車中單擺的振動周期。 （三）整體法與隔離法 Q k1 k2 P 例5：如圖，勁度系數(shù)分別為K1、K2的彈簧把質(zhì)量為M的滑塊P連接起來置于光滑水平面上，將質(zhì)量為m的物體Q置于P上，現(xiàn)把P拉到距平衡位置d處從靜止釋放，為使振動過程中Q與P間不發(fā)生相對滑動，則P與Q間靜摩擦系數(shù)至少為多大？ A B L1 L2 C 例6：如圖，在勁度系數(shù)為K的輕彈簧兩端，分別系住質(zhì)量為m1的物體A和質(zhì)量為m2的物體B，

13、現(xiàn)讓兩物塊將彈簧壓縮后放于光滑水平面上，求該振動系統(tǒng)的振動周期。 （四）巧用參考圓 C t=0 A B 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 0.6 1.2 B C t/s x/m (a) (b) x A 例7：如圖(b)為某質(zhì)點(diǎn)的振動圖象，試求A、B兩處的時(shí)間差tAB；B、C兩處相拉差 VA∶VB。 d B o A x c P B ωt1 c o A d 例8：如圖，一個(gè)勁度系數(shù)為K的輕彈簧豎直固定在桌子上，將一小球放在彈簧上，彈簧被壓縮d后平衡，然后按住小球使彈簧再被壓

14、縮C，且C>d，松開小球后，求小球上升到最高點(diǎn)所需的時(shí)間。 （五）相對振動問題 例9：在電梯中豎直懸掛一彈簧振子，彈簧原長L0，振于質(zhì)量m=1.0kg，電梯靜止時(shí)彈簧伸長△L =0.10m,從t=0開始，電梯以g/2加速度下降t=πs，然后又以g/2的加速度減速下降直到停止，試畫出彈簧的伸長△L隨時(shí)間t的變化曲線。 A B C o 10．如圖，物A、B用細(xì)線相連，懸掛于定滑輪O上，物C用勁度系數(shù)k=mg/L，原長為L的彈簧懸于B下，已知它們的質(zhì)量關(guān)系為mA=2m,mB=mc=m，開始時(shí)系統(tǒng)靜止，且使彈簧保持原

15、長釋放，若不計(jì)滑輪與繩的質(zhì)量和摩擦，試求C相對于B的運(yùn)動規(guī)律。 例11、如圖，質(zhì)量為M的U型槽置于光滑水平面上，質(zhì)量為m的物塊用兩根勁度系數(shù)為K的輕彈簧與U型槽相連，系統(tǒng)開始靜止，現(xiàn)用一水平恒力F作用于U型槽后，試求物塊相對于槽的運(yùn)動規(guī)律。 m K K F 例12、如圖，質(zhì)量M的小車在光滑水平軌道上，擺長L，小球質(zhì)量m，當(dāng)擺球來回?cái)[動時(shí)，小車做往復(fù)運(yùn)動，求小車往復(fù)運(yùn)動的周期。 m L M aM θ （六）能量法 例13、如圖，用三根豎直的，長度相同的且不可伸長的細(xì)輕繩將一個(gè)細(xì)圓環(huán)水平懸掛，環(huán)上拴繩點(diǎn)彼此

16、等距，現(xiàn)用輕桿將一與環(huán)等重的小球固定于環(huán)心處，求環(huán)心放上小球前后環(huán)的微小扭轉(zhuǎn)振動周期之比。 例14、如圖，一質(zhì)點(diǎn)被一輕彈性繩系于固定點(diǎn)A，繩原長a，懸掛質(zhì)點(diǎn)后，靜伸長為b，質(zhì)點(diǎn)從A靜止下落，試討論質(zhì)點(diǎn)以后的運(yùn)動，并求出質(zhì)點(diǎn)落至最低點(diǎn)的位置和時(shí)間。 a t=0 A B b x x1 x D 例15、如圖，質(zhì)量為m的小球用輕桿懸掛，兩側(cè)用勁度系數(shù)為K的彈簧連接，桿自由下垂時(shí)，彈簧無形變，圖中a、L已知，求擺桿做簡諧振動的圓頻率ω。 L a K K H 例16、如圖，小鋼板固定于勁度系數(shù)為K

17、的彈簧上，彈簧下端固定在地面上，鋼板處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)有一小鋼球從鋼板正上方H高處自由落下，與鋼板發(fā)生完全彈性碰撞，已知鋼板質(zhì)量是鋼球的3倍，不計(jì)空氣阻力。（1）要使球與鋼板每次都在同一高度發(fā)生瞬時(shí)碰撞，板的質(zhì)量最大應(yīng)是多少？（2）在（1）的情況下，若規(guī)定向下時(shí)速度為正，試分別畫出球與鋼板的V－t圖。 （七）簡諧運(yùn)動規(guī)律的一般解法 M h m K K x0 x 例17、如圖，M＝2kg，K＝100N/m，t＝0時(shí)，xo＝10cm，V0＝0，在h＝1cm高處有一質(zhì)量m＝0.4kg的小物下落，當(dāng)M沿x軸負(fù)向通過平衡位置時(shí)，小物體剛

18、好落到M上并粘在一起，求此后兩物體一起運(yùn)動的規(guī)律。 L h x O C B A 例18、如圖，振子C質(zhì)量為m，彈簧勁度系數(shù)為K，置于光滑水平面上，振動圓頻率為ω＝0.5π／S，另一質(zhì)量也為m的物塊A，從h＝0.2m高處由靜止下滑至B需時(shí)間tAB＝1.5S，OB＝6m，現(xiàn)將彈簧壓縮到x0＝2m處，與A同時(shí)自由釋放，A與C做完全非彈性碰撞后粘在一起運(yùn)動，若從剛碰撞后開始計(jì)時(shí)，試求振于的運(yùn)動規(guī)律（g＝10m/s2）。 · A x O x0 例19、廣而深的靜水池中豎立一固定細(xì)桿，其露出水面部分

19、套著一個(gè)長為L，密度ρ，截面均勻的均質(zhì)細(xì)管，細(xì)管可沿桿無摩擦地上下滑動，現(xiàn)用手持管，使管的下端剛與水面接觸，放手后管豎直下沉，設(shè)水的密度為ρ水，不計(jì)水的阻力與表面張力。（1）當(dāng)管的密度等于某一密度ρ0時(shí)，管能下沉到剛好全沒入水中，求ρ0；（2）在ρ＝ρ0時(shí)，管下沉歷時(shí)多少？ （3）設(shè)管的密度ρ等于，求管下沉到最后位置所用的時(shí)間。 M m h 例20、如圖，質(zhì)量為M的秤盤掛在勁度系數(shù)為K的彈簧下，質(zhì)量為m之物從距盤底高h(yuǎn)處自由落至盤中，與盤做完全非彈性碰撞，試求盤子的運(yùn)動規(guī)律。 例21，如圖，A為小球，B為均質(zhì)球

20、殼，半徑為a，設(shè)A與B的碰撞完全彈性，B與水平桌面的碰撞完全非彈性，A、B質(zhì)量均為m，小球通過一自然長度為a的柔軟彈性輕繩掛在球殼內(nèi)壁最高處，彈性繩被拉長時(shí)相當(dāng)于勁度系數(shù)為K的彈簧，且ka＝9mg/2，起初將小球A拉到球殼內(nèi)的最低點(diǎn)處，然后輕輕釋放，試詳細(xì)地，定量地討論小球以后的運(yùn)動。（位移表達(dá)式，周期） O a B A V0 O x 例22、如圖，質(zhì)量為M的小平板固定在勁度系數(shù)為K的輕彈簧上，彈簧的另一端固定在地上，有一質(zhì)量為m的小球沿入射角θ方向以速度ν0射向小平板，并發(fā)生完全彈性碰撞，忽略一切摩擦。求：（1）碰撞后小球的速度ν；（2）碰撞后彈簧增加的最大壓縮量；（3）小平板的振動方程。 第10頁