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1、 學(xué)案62　幾何概型 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.2.了解幾何概型的意義． 自主梳理 1．幾何概型 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型． 2．在幾何概型中，事件A的概率計(jì)算公式 P(A)＝____________________________________________________________________. 求試驗(yàn)中幾何概型的概率，關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個(gè)區(qū)域Ω的幾何度量，然后代入公式即可求解． 3．要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基

2、本特點(diǎn)： (1)無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)； (2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性． 4．古典概型與幾何概型的區(qū)別 (1)相同點(diǎn)：基本事件發(fā)生的可能性都是________； (2)不同點(diǎn)：古典概型的基本事件是有限個(gè)，是可數(shù)的；幾何概型的基本事件是________，是不可數(shù)的． 自我檢測(cè) 1．(2011·南陽(yáng)調(diào)研)在長(zhǎng)為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并且以線段AM為邊作正方形，則這個(gè)正方形的面積介于36 cm2與81 cm2之間的概率為(　　) A. B. C. D. 2．(2011·福建)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊C

3、D的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于(　　) A. B. C. D. 3. 如圖所示，A是圓上一定點(diǎn)，在圓上其他位置任取一點(diǎn)A′，連接AA′，得到一條弦，則此弦的長(zhǎng)度小于或等于半徑長(zhǎng)度的概率為(　　) A. B. C. D. 4．(2010·湖南)在區(qū)間[－1,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則|x|≤1的概率為_(kāi)_______． 5．(2011·江西)小波通過(guò)做游戲的方式來(lái)確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書(shū)．

4、則小波周末不在家看書(shū)的概率為_(kāi)_______． 探究點(diǎn)一　與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型 例1　國(guó)家安全機(jī)關(guān)監(jiān)聽(tīng)錄音機(jī)記錄了兩個(gè)間諜的談話，發(fā)現(xiàn)30 min長(zhǎng)的磁帶上，從開(kāi)始30 s處起，有10 s長(zhǎng)的一段內(nèi)容包含兩間諜犯罪的信息．后來(lái)發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱他完全是無(wú)意中按錯(cuò)了鍵，使從此處起往后的所有內(nèi)容都被擦掉了．那么由于按錯(cuò)了鍵使含有犯罪的內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？ 變式遷移1　在半徑為1的圓的一條直徑上任取一點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)作垂直于直徑的弦，則弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)的概率是________． 探究點(diǎn)二　與角度有關(guān)

5、的幾何概型 例2　(2011·承德模擬)如圖所示，在等腰Rt△ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM

6、 變式遷移3　甲、乙兩艘輪船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘輪船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)任何時(shí)刻到達(dá)是等可能的．如果甲船和乙船的停泊時(shí)間都是4小時(shí)，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率． 分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 例　(12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋b2，a，b∈R. (1)若a從集合{0,1,2,3}中任取一個(gè)元素，b從集合{0,1,2}中任取一個(gè)元素，求方程f(x)＝0有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率； (2)若a從區(qū)間[0,2]中任取一個(gè)數(shù)，b從區(qū)間[0,3]中任取一個(gè)數(shù)，求方程f(x)＝0沒(méi)有實(shí)根的概率．

7、 多角度審題　本題第(1)問(wèn)是古典概型問(wèn)題，第(2)問(wèn)是幾何概型問(wèn)題，解決此問(wèn)題的關(guān)鍵是將已知的兩個(gè)條件轉(zhuǎn)化為線性約束條件，從而轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域中的面積型幾何概型問(wèn)題． 【答題模板】 解　(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一個(gè)元素，b取集合{0,1,2}中任一個(gè)元素， ∴a，b的取值的情況有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值，即基本事件總數(shù)為12.[3分] 設(shè)“方程f(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根”為事件A， 當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)

8、，方程f(x)＝0有兩個(gè)不相等實(shí)根的充要條件為a>b. 當(dāng)a>b時(shí)，a，b取值的情況有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A包含的基本事件數(shù)為6，∴方程f(x)＝0有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率為P(A)＝＝.[6分] (2)∵a從區(qū)間[0,2]中任取一個(gè)數(shù)，b從區(qū)間[0,3]中任取一個(gè)數(shù)，則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3}，這是一個(gè) 矩形區(qū)域， 其面積SΩ＝2×3＝6.[8分] 設(shè)“方程f(x)＝0沒(méi)有實(shí)根”為事件B，則事件B所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3，a

9、其面積SM＝6－×2×2＝4.[10分] 由幾何概型的概率計(jì)算公式可得方程f(x)＝0沒(méi)有實(shí)根的概率為P(B)＝＝＝.[12分] 【突破思維障礙】 1．古典概型和幾何概型的區(qū)別在于試驗(yàn)的全部結(jié)果是否有限，因此到底選用哪一種模型，關(guān)鍵是對(duì)試驗(yàn)的確認(rèn)和分析． 2．用幾何概型求解的概率問(wèn)題和古典概型的思路是相同的，同屬于“比例解法”． 【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】 1．計(jì)算古典概型的概率時(shí)，列舉基本事件應(yīng)不重不漏． 2．計(jì)算幾何概型的概率時(shí)，區(qū)域的幾何度量要準(zhǔn)確無(wú)誤． 1．幾何概型：若一個(gè)試驗(yàn)具有兩個(gè)特征：①每次試驗(yàn)的結(jié)果是無(wú)限多個(gè)，且全體結(jié)果可用一個(gè)有度量的幾何區(qū)域來(lái)表示；②每次試驗(yàn)的各種結(jié)

10、果是等可能的．那么這樣的試驗(yàn)稱為幾何概型． 2．由概率的幾何定義可知，在幾何概型中，“等可能”一詞應(yīng)理解為對(duì)應(yīng)于每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的點(diǎn)落入某區(qū)域內(nèi)的可能性大小僅與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置與形狀無(wú)關(guān)． 3．幾何概型的概率公式：設(shè)幾何概型的基本事件空間可表示成可度量的區(qū)域Ω，事件A所對(duì)應(yīng)的區(qū)域用A表示(A?Ω)，則P(A)＝. (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2009·遼寧)ABCD為長(zhǎng)方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為(　　) A. B．1－ C. D

11、．1－ 2．(2011·天津和平區(qū)模擬)在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P，則△PBC的面積大于的概率是(　　) A. B. C. D. 3．(2010·青島模擬) 如右圖，在一個(gè)長(zhǎng)為π，寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線y＝sin x(0≤x≤π)與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在矩形OABC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的)，則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是(　　) A. B. C. D. 4．已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4.記函數(shù)f(x)滿足的事件為A，則事件A的概率為(　　) A.

12、 B. C. D. 5．(2011·濱州模擬)在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在單位圓x2＋y2＝1內(nèi)的概率為(　　) A. B. C. D. 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(2010·陜西) 從如圖所示的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x，y)，則點(diǎn)M落在陰影部分的概率為_(kāi)_______． 7．如圖所示，半徑為10 cm的圓形紙板內(nèi)有一個(gè)相同圓心的半徑為1 cm的小圓．現(xiàn)將半徑為1 cm的一枚硬幣拋到此紙板上，使硬幣整體隨機(jī)落在紙板內(nèi)，則硬幣落下后與小圓無(wú)公共點(diǎn)的概率為_(kāi)_______． 8．(2011·濟(jì)南模擬)在可行域內(nèi)任取一點(diǎn)，規(guī)則

13、如程序框圖所示，則能輸出數(shù)對(duì)(x，y)的概率是________． 三、解答題(共38分) 9．(12分) 已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°. (1)在線段BC上任取一點(diǎn)M，求使∠CAM<30°的概率； (2)在∠CAB內(nèi)任作射線AM，求使∠CAM<30°的概率． 10．(12分)甲、乙兩艘輪船都要停靠在同一個(gè)泊位，它們可能在一晝夜的任意時(shí)刻到達(dá)．設(shè)甲乙兩艘輪船停靠泊位的時(shí)間分別是4小時(shí)和6小時(shí)，求有一艘輪船停靠泊位時(shí)必須等待一段時(shí)間的概率． 11．(14分)已知函數(shù)f(x)

14、＝－x2＋ax－b. (1)若a，b都是從0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述函數(shù)有零點(diǎn)的概率； (2)若a，b都是從區(qū)間[0,4]任取的一個(gè)數(shù)，求f(1)>0成立時(shí)的概率． 學(xué)案62　幾何概型 自主梳理 2. 4．(1)相等的　(2)無(wú)限個(gè) 自我檢測(cè) 1．A　[∵AM 2∈[36,81]，∴AM∈[6,9]， ∴P＝＝＝.] 2．C　[這是一道幾何概型的概率問(wèn)題，點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率為＝＝. 故選C.] 3．C　[當(dāng)∠A′OA＝時(shí)，AA′＝OA，∴P＝＝.] 4. 解析　由|x|≤1，得－1≤

15、x≤1.由幾何概型的概率求法知，所求的概率P＝＝. 5. 解析　∵去看電影的概率P1＝＝， 去打籃球的概率P2＝＝， ∴不在家看書(shū)的概率為P＝＋＝. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　解決概率問(wèn)題先判斷概型，本題屬于幾何概型，滿足兩個(gè)條件：基本事件的無(wú)限性和每個(gè)基本事件發(fā)生的等可能性，需要抓住它的本質(zhì)特征，即與長(zhǎng)度有關(guān)． 解　包含兩個(gè)間諜談話錄音的部分在30 s和40 s之間，當(dāng)按錯(cuò)鍵的時(shí)刻在這段時(shí)間之內(nèi)時(shí)，部分被擦掉，當(dāng)按錯(cuò)鍵的時(shí)刻在0到30 s之間時(shí)全部被擦掉，即在0到40 s之間，即0到 min之間的時(shí)間段內(nèi)按錯(cuò)鍵時(shí)含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉，而0到30 min之間的時(shí)間

16、段內(nèi)任一時(shí)刻按錯(cuò)鍵的可能性是相等的，所以按錯(cuò)鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率只與從開(kāi)始到談話內(nèi)容結(jié)束的時(shí)間段長(zhǎng)度有關(guān)，符合幾何概型的條件． 記A＝{按錯(cuò)鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉}，A的發(fā)生就是在0到 min時(shí)間段內(nèi)按錯(cuò)鍵． P(A)＝＝. 變式遷移1　 解析　 記“弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)”為事件A，如圖所示，不妨在過(guò)等邊三角形BCD的頂點(diǎn)B的直徑BE上任取一點(diǎn)F作垂直于直徑的弦，當(dāng)弦為CD時(shí)，就是等邊三角形的邊長(zhǎng)，弦長(zhǎng)大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF，由幾何概型的概率公式得 P(A)＝＝. 例2　解題導(dǎo)引　如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)

17、域的幾何度量可用角度來(lái)表示，則其概率公式為 P(A)＝. 解　在AB上取AC′＝AC，連接CC′，則 ∠ACC′＝＝67.5°. 設(shè)A＝{在∠ACB內(nèi)部作出一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，AM

18、題的具體情況，合理設(shè)置參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此基礎(chǔ)上將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系的一點(diǎn)，便可構(gòu)造出度量區(qū)域． 解　設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)，要使兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn)．當(dāng)且僅當(dāng)|x－y|≤. 兩人在約定時(shí)間內(nèi)到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)的所有可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)(包括邊界)的點(diǎn)來(lái)表示，兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見(jiàn)的所有可能結(jié)果可用圖中的陰影部分(包括邊界)的點(diǎn)來(lái)表示．因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率， 即P＝＝＝. 變式遷移3　解　設(shè)甲、乙兩船到達(dá)時(shí)間分別為x、y， 則0≤x≤24,0≤y≤24且y－x

19、≥4或y－x≤－4. 作出區(qū)域 設(shè)“兩船無(wú)需等待碼頭空出”為事件A， 則P(A)＝ ＝＝. 課后練習(xí)區(qū) 1．B　[當(dāng)以O(shè)為圓心，1為半徑作圓，則圓與長(zhǎng)方形的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)滿足到點(diǎn)O的距離小于或等于1，故所求事件的概率為P(A)＝＝＝1－.] 2．C　[由于△ABC、△PBC有公共底邊BC，所以只需P位于線段BA靠近B的四分之一分點(diǎn)E與A之間，即構(gòu)成一個(gè)幾何概型， ∴所求的概率為＝.] 3．A　[S矩形OABC＝2π，S陰影＝sin xdx＝2， 由幾何概型概率公式得P＝＝.] 4．A　[ 滿足0≤b≤4,0≤c≤4的區(qū)域的面積為4×4＝16， 由， 得，其表

20、示的區(qū)域如圖中陰影部分所示，其面積為×(2＋4)×2＋×2×4＝10，故事件A的概率為＝.] 5．D　[ 區(qū)域?yàn)椤鰽BC內(nèi)部(含邊界)，則概率為 P＝＝＝.] 6. 解析　陰影部分的面積為S＝?3x2dx＝x3|＝1，所以點(diǎn)M落在陰影區(qū)域的概率為. 7. 解析　由題意知，硬幣的中心應(yīng)落在距圓心2～9 cm的圓環(huán)上， 圓環(huán)的面積為π×92－π×22＝77π， 故所求概率為＝. 8. 解析　根據(jù)題意易知輸出數(shù)對(duì)(x，y)的概率即為滿足x2＋y2≤的平面區(qū)域與不等式組所表示的平面區(qū)域面積的比，即P(A)＝＝. 9．解　(1)設(shè)CM＝x， 則0

21、 若∠CAM<30°，則0

22、＝214，(10分) ∴P(A)＝＝＝. 所以，甲、乙兩船有一艘?？坎次粫r(shí)必須等待一段時(shí)間的概率為.(12分) 11．解　(1)a，b都是從0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)的基本事件總數(shù)為N＝5×5＝25(個(gè))．(2分) 函數(shù)有零點(diǎn)的條件為Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b. 因?yàn)槭录癮2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12個(gè)．所以事件“a2≥4b”的概率為P＝.(7分) (2)∵a，b都是從區(qū)間[0,4]任取的一個(gè)數(shù)，f(1)＝－1＋a－b>0，∴a－b>1，此為幾何概型，所以事件“f(1)>0”的概率為P＝＝.(14分) 11