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(浙江專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列與不等式 第3講 數(shù)列的綜合問題課件.ppt

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1、第3講 數(shù)列的綜合問題,專題三 數(shù)列與不等式,板塊三 專題突破核心考點(diǎn),,[考情考向分析],1.數(shù)列的綜合問題,往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合,探求數(shù)列中的最值或證明不等式. 2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景,利用函數(shù)觀點(diǎn)探求參數(shù)的值或范圍. 3.與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問題是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn),也是一個(gè)難點(diǎn),主要涉及到的方法有作差法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等.,,,熱點(diǎn)分類突破,真題押題精練,內(nèi)容索引,熱點(diǎn)分類突破,,熱點(diǎn)一 利用Sn,an的關(guān)系式求an,1.數(shù)列{an}中,an與Sn的關(guān)系,2.求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法 (1)公式法:利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式. (2)在已知數(shù)列{an}中,滿足an

2、+1-an=f(n),且f(1)+f(2)+…+f(n)可求,則可用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)an.,(4)將遞推關(guān)系進(jìn)行變換,轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列).,例1 (2018浙江)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項(xiàng).數(shù)列{bn}滿足b1=1,數(shù)列{(bn+1-bn)an}的前n項(xiàng)和為2n2+n. (1)求q的值;,解答,解 由a4+2是a3,a5的等差中項(xiàng), 得a3+a5=2a4+4, 所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.,因?yàn)閝>1,所以q=2.,(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.,解答,解 設(shè)cn=(bn+1-bn)an

3、,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn.,由(1)可得an=2n-1,,當(dāng)n=1時(shí),b1=1也滿足上式,,給出Sn與an的遞推關(guān)系,求an,常用思路:一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系,再求其通項(xiàng)公式;二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系,先求出Sn與n之間的關(guān)系,再求an.,,跟蹤演練1 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:a1an=S1+Sn. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;,解答,解 由已知a1an=S1+Sn, ①,當(dāng)n≥2時(shí),由已知可得a1an-1=S1+Sn-1, ②,若a1=0,則an=0,此時(shí)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=0.,即此時(shí)數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),2為公

4、比的等比數(shù)列, 故an=2n(n∈N*). 綜上所述,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=0或an=2n(n∈N*).,解答,解 因?yàn)閍n>0,故an=2n.,由n-5≥0,解得n≥5,所以當(dāng)n=4或n=5時(shí),Tn最小,,數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景,給出數(shù)列所滿足的條件,解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化.,,熱點(diǎn)二 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題,(1)若x≥0時(shí),f(x)≤0,求λ的最小值;,解答,解 由已知可得f(0)=0,,①若λ≤0,則當(dāng)x>0時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增, ∴f(x)≥f(0)=0,不合題意;,則當(dāng)x>0時(shí),f′(x

5、)<0,f(x)單調(diào)遞減, 當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤f(0)=0,符合題意.,證明,以上各式兩邊分別相加可得,解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點(diǎn) (1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù),函數(shù)定義域是正整數(shù),在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時(shí)要特別重視. (2)解題時(shí)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)注意限制條件. (3)不等關(guān)系證明中進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s.,,跟蹤演練2 設(shè)fn(x)=x+x2+…+xn-1,x≥0,n∈N,n≥2. (1)求fn′(2);,解答,解 由題設(shè)fn′(x)=1+2x+…+nxn-1, 所以fn′(2)=1+22+…+(n-1)2n-2+n2n-1, ① 則2fn′(2)=2+222+…+

6、(n-1)2n-1+n2n, ② 由①-②得,-fn′(2)=1+2+22+…+2n-1-n2n,所以fn′(2)=(n-1)2n+1.,證明,證明 因?yàn)閒n(0)=-10,,,熱點(diǎn)三 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,數(shù)列與不等式的綜合問題把數(shù)列知識與不等式的內(nèi)容整合在一起,形成了關(guān)于證明不等式、求不等式中的參數(shù)取值范圍、求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)、比較數(shù)列中項(xiàng)的大小等問題,求解方法既要用到不等式知識,又要用到數(shù)列的基礎(chǔ)知識,經(jīng)常涉及到放縮法和數(shù)學(xué)歸納法的使用.,例3 (2018浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+(-1)n(n∈N*).,證明,證明 ∵an+1=2an+(-1

7、)n,,證明,證明,數(shù)列中的不等式問題主要有證明數(shù)列不等式、比較大小或恒成立問題,解決方法如下: (1)利用數(shù)列(或函數(shù))的單調(diào)性. (2)放縮法:①先求和后放縮;②先放縮后求和,包括放縮后成等差(或等比)數(shù)列再求和,或者放縮后用裂項(xiàng)相消法求和. (3)數(shù)學(xué)歸納法.,,跟蹤演練3 (2018杭州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an+ (c>0,n∈N*). (1)證明:an+1>an≥1;,證明,證明 因?yàn)閏>0,a1=1,,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an≥1. ①當(dāng)n=1時(shí),a1=1≥1; ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),ak≥1,,所以當(dāng)n∈N*時(shí),an≥1. 所以an+1>an≥1.,證明,證

8、明 由(1)知當(dāng)n≥m時(shí),an≥am≥1,,證明,真題押題精練,真題體驗(yàn),1.(2018全國Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若Sn=2an+1,則S6=________.,解析,答案,-63,解析 ∵Sn=2an+1,當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an-1+1, ∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2), 即an=2an-1(n≥2). 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2a1+1,得a1=-1. ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=-1,公比q=2的等比數(shù)列,,∴S6=1-26=-63.,2.(2017浙江)已知數(shù)列{xn}滿足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*). 證明:當(dāng)n

9、∈N*時(shí), (1)00. 假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),xk>0, 那么當(dāng)n=k+1時(shí),若xk+1≤0, 則00, 因此xn>0(n∈N*). 所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1, 因此0

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