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1、第二章邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù),2.1基本邏輯運(yùn)算2.2邏輯函數(shù)的變換和化簡2.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,本章要求：掌握邏輯代數(shù)的基本公式、運(yùn)算定律、規(guī)則。熟悉邏輯函數(shù)的表示方法以及邏輯函數(shù)的公式法化簡。掌握卡諾圖及用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的方法。,2.1基本邏輯運(yùn)算,數(shù)字電路研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系，邏輯關(guān)系一般用邏輯函數(shù)來描述，所以數(shù)字電路又稱邏輯電路，相應(yīng)的研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）。,在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)是由邏輯變量和基本的邏輯運(yùn)算符構(gòu)成的表達(dá)式，其變量只能取兩個(gè)值（二值變量），即0和1，中間值沒有意義。,0和1表示兩個(gè)對(duì)立的邏輯狀態(tài)。,例如：電位的低高（0表示低電位，1表示高

2、電位）、開關(guān)的開合等。,A為原變量，為反變量,1.基本運(yùn)算公式(0-1律，還原律)與（乘）或（加）非,2.基本運(yùn)算定律,結(jié)合律,交換律,分配律,,普通代數(shù)不適用!,證明:,右邊=(A+B)(A+C),=AA+AB+AC+BC;分配律,=A+A(B+C)+BC;結(jié)合律,AA=A,=A(1+B+C)+BC;結(jié)合律,=A1+BC;1+B+C=1,=A+BC;A1=1,=左邊,吸收律:吸收多余（冗余）項(xiàng)，多余（冗余）因子被取消、去掉被消化了。),（1）原變量的吸收：,證明：,A+AB=A(1+B)=A1=A,長中含短，留下短。,（2）反變量的吸收：,證明：,長中含反，去掉反。,想一想：?,（3）混合變

3、量的吸收：,證明：,正負(fù)相對(duì)，余全完。,反演律（德摩根(DeMorgan)定理）,可以用列真值表的方法證明：,,3.基本運(yùn)算規(guī)則,（1）運(yùn)算順序：先括號(hào)再乘法后加法。,（2）代入規(guī)則：在任何一個(gè)包含變量A的邏輯等式中，若以另外一個(gè)邏輯式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。,例：已知,則得到,（3）反演規(guī)則：將函數(shù)式F中所有的,,變量與常數(shù)均取反,,（求反運(yùn)算）,互補(bǔ)運(yùn)算,2.不是一個(gè)變量上的反號(hào)不動(dòng)。,注意:,用處：實(shí)現(xiàn)互補(bǔ)運(yùn)算（求反運(yùn)算）。,新表達(dá)式：F,顯然：,1.變換時(shí)，原函數(shù)運(yùn)算的先后順序不變,例1：,,與或式,注意括號(hào),注意括號(hào),,例2：,與或式,反號(hào)不動(dòng),反號(hào)不動(dòng),,,（4）對(duì)偶

4、規(guī)則：,若兩邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等。,對(duì)偶式：對(duì)于任何一個(gè)邏輯式Y(jié)，若將其中的“”換成“+”，“+”換成“”，0換成1，1換成0，則得到一個(gè)新的邏輯式Y(jié)，則Y叫做Y的對(duì)偶式,2.2邏輯函數(shù)的變換和化簡,,四種表示方法,邏輯代數(shù)式(邏輯表示式,邏輯函數(shù)式),邏輯電路圖:,卡諾圖,真值表：將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同組合與所對(duì)應(yīng)的輸出變量值用列表的方式一一對(duì)應(yīng)列出的表格。,2.2.1邏輯函數(shù)表示方法：四種，并可相互轉(zhuǎn)換,1、從真值表寫出邏輯函數(shù)式,不同表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換：,一般方法：（1）找出真值表中是邏輯函數(shù)為1的那些輸入變量取值的組合；（2）每組輸入變量取值的組合對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，

5、其中取值為1的寫入原變量，取值為0的寫入反變量；（3）將這些乘積項(xiàng)相加，即得輸出的邏輯函數(shù)式。,例如：由左圖所示三變量邏輯函數(shù)的真值表，可寫出其邏輯函數(shù)式：,驗(yàn)證：將八種輸入狀態(tài)代入該表示式，均滿足真值表中所列出的對(duì)應(yīng)的輸出狀態(tài)。,方法：一般按二進(jìn)制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)，列出所有可能的狀態(tài)。,例如：,2、從邏輯函數(shù)式寫出真值表,3、從邏輯函數(shù)式畫出邏輯圖,方法：圖形符號(hào)代替式中的運(yùn)算符號(hào)即可,例：已知邏輯函數(shù)為,畫出對(duì)應(yīng)的邏輯圖,邏輯代數(shù)式是把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫成與、或、非等邏輯運(yùn)算的組合式。也稱為邏輯函數(shù)式，通常采用“與或”的形式。,例：,一個(gè)邏輯函數(shù)可以表示為不同的表達(dá)式

6、。對(duì)應(yīng)的邏輯圖也不同。實(shí)際應(yīng)用中，電路越簡單，可靠性越高，成本越低，故常需對(duì)函數(shù)式進(jìn)行變換和化簡。,2.2.2邏輯函數(shù)的變換和化簡,與-或式：由幾個(gè)乘積項(xiàng)相加組成的邏輯式。,化簡的目的：得到邏輯函數(shù)的最簡形式。,最簡與-或式：邏輯式中包含的乘積項(xiàng)已經(jīng)最少，而且每個(gè)乘積項(xiàng)里的因子最少。,通常先化簡成最簡與-或式，再轉(zhuǎn)換成其他形式,2.2.2邏輯函數(shù)的變換和化簡（公式法）,反復(fù)使用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式消去函數(shù)式中多余的乘積項(xiàng)和多余的因子，以得到函數(shù)式的最簡形式。,例1：,(1)吸收法:利用,例2：,(2)并項(xiàng)法:,例3：,化簡,（3）配項(xiàng)法,,,化簡,（4）加項(xiàng)法,例5：,再看一例題,例5

7、：,化簡,,吸收,吸收,,吸收,,吸收,利用公式法進(jìn)行化簡的問題：復(fù)雜技巧性強(qiáng)是否最簡尚不得而知,2.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,2.3.1.最小項(xiàng)和最大項(xiàng),一、最小項(xiàng),1、定義：在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個(gè)因子的乘積項(xiàng)，而且這幾個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的最小項(xiàng)。即輸入變量的每一種組合，它構(gòu)成邏輯函數(shù)的基本單元。2、特點(diǎn)：,（1）n變量的最小項(xiàng)應(yīng)為2n個(gè)；（2）在輸入變量的任何取值下必有一個(gè)最小項(xiàng)而且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1;（3）全體最小項(xiàng)之和為1;（4）任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0;（5）相鄰性：若兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子不同則這兩個(gè)最小項(xiàng)具有相鄰性。（6

8、）具有相鄰性的兩個(gè)最小項(xiàng)之和可以合并成一項(xiàng)并消去一對(duì)因子;,以三變量的邏輯函數(shù)為例分析最小項(xiàng)表示及特點(diǎn),變量賦值為1時(shí)用該變量表示；賦0時(shí)用該變量的反來表示。,可見輸入變量的八種狀態(tài)分別唯一地對(duì)應(yīng)著八個(gè)最小項(xiàng)。,當(dāng)輸入變量的賦值使某一個(gè)最小項(xiàng)等于1時(shí)，其他的最小項(xiàng)均等于0。,之所以稱之為最小項(xiàng)，是因?yàn)樵擁?xiàng)已包含了所有的輸入變量，不可能再分解。,例如：對(duì)于三變量的邏輯函數(shù)，如果某一項(xiàng)的變量數(shù)少于3個(gè)，則該項(xiàng)可繼續(xù)分解；若變量數(shù)等于3個(gè)，則該項(xiàng)不能繼續(xù)分解。,相鄰最小項(xiàng)的合并：若兩個(gè)最小項(xiàng)邏輯相鄰則可以消去一對(duì)互反的因子合并成一項(xiàng)。,,邏輯相鄰的項(xiàng)可以合并，消去一個(gè)因子,二、最大項(xiàng),1、定義：在n

9、變量邏輯函數(shù)中，若M為n個(gè)變量之和，而且這幾個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項(xiàng)。2、特點(diǎn)：（1）n變量的最大項(xiàng)應(yīng)為2n個(gè)。（2）輸入變量的每一組取值都使一個(gè)且僅有對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)的值等于0。,（3）全體最大項(xiàng)之積為0；（4）任意兩個(gè)最大項(xiàng)的和為1；（5）相鄰性：若兩個(gè)最大項(xiàng)只有一個(gè)因子不同則這兩個(gè)最大項(xiàng)具有相鄰性。（6）具有相鄰性的兩個(gè)最大項(xiàng)之積可以合并成一項(xiàng)并消去一對(duì)因子;,,,三、最大項(xiàng)和最小項(xiàng)之間的關(guān)系,例如,2.3.2邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式,可以把任何一個(gè)邏輯函數(shù)一般表達(dá)式化為最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式,利用,,1.最小項(xiàng)之和形式標(biāo)準(zhǔn)的與或表達(dá)式,例如給定邏輯

10、函數(shù),則可化為,,,,,例：將邏輯函數(shù),展開為最小項(xiàng)之和的形式,2.最大項(xiàng)之積形式,任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以化成最大項(xiàng)之積的標(biāo)準(zhǔn)形式,若給定,則,,例：將邏輯函數(shù),展開成最大項(xiàng)之積的形式,解：已求得,,2.3.3卡諾圖,卡諾圖：將n個(gè)輸入變量的全部最小項(xiàng)用小方塊陣列圖表示，并且將邏輯相鄰的最小項(xiàng)放在相鄰的幾何位置上，所得到的陣列圖就是n變量的卡諾圖。,表示最小項(xiàng)的卡諾圖,兩變量卡諾圖,四變量卡諾圖,三變量卡諾圖,說明：一格一個(gè)最小項(xiàng)相鄰兩格為邏輯相鄰項(xiàng),有時(shí)為了方便，用二進(jìn)制對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制表示單元格的編號(hào)。單元格的值用函數(shù)式表示。,F(A,B,C)=(1,2,4,7),1,2,4,7單元取1，其它

11、取0,四變量卡諾圖單元格的編號(hào):,從真值表到卡諾圖：對(duì)應(yīng)填寫,2.3.4邏輯函數(shù)的卡諾圖表示,輸入變量,例1：二輸入變量卡諾圖,輸入變量,例2：三輸入變量卡諾圖,注意：00與10邏輯相鄰。,例3：四輸入變量卡諾圖,2.3.4邏輯函數(shù)的卡諾圖表示,把邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式；在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置添1；在其余的位置上添入0；,任何一個(gè)邏輯函數(shù)都等于它的卡諾圖中添入1的那些最小項(xiàng)之和。,從函數(shù)式到卡諾圖：,例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù),解：先將邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和形式,已知函數(shù)的卡諾圖，寫出該其邏輯式,2.3.5邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡,1.合并最小項(xiàng)的規(guī)則：,個(gè)最小項(xiàng)相鄰并排成一個(gè)矩形組

12、，,如果由,則它們可以合并為一項(xiàng)，并消去n對(duì)互反因子。,n=1，合并一對(duì)因子,n=2，合并兩對(duì)因子,,,,,,,,合并兩個(gè)相鄰最小項(xiàng),,,,,,合并四個(gè)相臨最小項(xiàng),,,,,B,合并八個(gè)相臨最小項(xiàng),2.卡諾圖化簡的步驟,將函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式；畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖；找出可以合并的最小項(xiàng)；選取化簡后的乘積項(xiàng)；,合并圈的選?。喝簩幋笪鹦?；圈數(shù)寧少勿多；圈圈含新,例1：化簡,F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15),,,,,,解：,例2：化簡,例3：化簡,解：,,,,例4：化簡邏輯函數(shù),解：由Y畫出卡諾圖，得出,,想一想：能否圈0？,3.具有

13、無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡,舉例說明：三個(gè)邏輯變量A、B、C分別表示一臺(tái)電動(dòng)機(jī)的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止的命令。A=1表示正轉(zhuǎn)，B=1表示反轉(zhuǎn)，C=1表示停止可能取值只有001，010，100當(dāng)中的某一種；而000，011，101，110，111中的任何一種都不可能出現(xiàn)，可表示為：,（1）約束項(xiàng)、任意項(xiàng)和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項(xiàng),約束項(xiàng)：這些恒等于0的最小項(xiàng)。由于函數(shù)對(duì)輸入變量取值所加的限制而產(chǎn)生的，根本不會(huì)出現(xiàn)，故寫進(jìn)函數(shù)式中不會(huì)改變函數(shù)值。,,或,任意項(xiàng)：在輸入變量的某些取值下函數(shù)值是1是0皆可，并不影響電路的功能,在這些變量取值組合下，其值等于1的那些最小項(xiàng)。,無關(guān)項(xiàng)：約束項(xiàng)和任意項(xiàng)的統(tǒng)稱,常用d表示

14、。約束項(xiàng)和任意項(xiàng)即可以寫入函數(shù)式，也可從函數(shù)式中刪掉，不影響函數(shù)值。,（2）具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡,在真值表和卡諾圖中用（或）表示無關(guān)項(xiàng)。合并最小項(xiàng)時(shí)，無關(guān)項(xiàng)即可作為0（圈0）又可作為1（圈1），以期得到最大的圈。,解：,例6：利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),解：由F畫出卡諾圖，得出,,,我們來分析一個(gè)實(shí)際問題：某水庫設(shè)有三個(gè)水位檢測點(diǎn)，裝有A、B、C三個(gè)干濕傳感器，當(dāng)傳感器被水浸泡時(shí)輸出1，否則（不浸水時(shí)）輸出0。該水庫有大小兩個(gè)閘門GL、GS。A為警戒水位點(diǎn)，B比警戒水位A高1米，C比警戒水位高2米。防汛部規(guī)定當(dāng)水位低于警戒水位A時(shí)，關(guān)閘蓄水。當(dāng)水位超過A時(shí)，開小閘門GS放水，當(dāng)水位超過B時(shí)

15、，開啟大閘門GL（關(guān)閉小閘門）泄洪；當(dāng)水位超過C時(shí)，大小閘門LS同時(shí)開啟泄洪。如果用1表示閘門關(guān)閉，閘門與水庫水位之間的邏輯關(guān)系真值表如下：,無關(guān)項(xiàng)在邏輯函數(shù)化簡中的應(yīng)用,說明：水位低于警戒線，關(guān)閘蓄水水位超警戒線A，只開小閘門放水水位超警戒線B，只開大閘門泄洪水位超警戒線C，大小閘門同時(shí)泄洪,還能再化簡嗎？,從前面講過的內(nèi)容來看,這兩個(gè)邏輯函數(shù)已經(jīng)不能再化簡了，但從現(xiàn)實(shí)角度看應(yīng)該有更簡化的結(jié)果GL=B，因?yàn)橹灰怀^B（B1），大閘門就要開啟，與是否超過C無關(guān)（因?yàn)镃1時(shí)，B也等于1，同樣,說明前面講過的內(nèi)容還有欠缺的地方。,我們觀察上面的真值表發(fā)現(xiàn)，A、B、C三個(gè)代表水位的邏輯變量，可能的取值只有000、100、110和111四種。其余四種取值001、010、011和101永遠(yuǎn)不可能出現(xiàn)。因?yàn)闆]有物理意義。如果001，C1，AB0這是不可能的。即：,所以：,2.5邏輯函數(shù)門電路的實(shí)現(xiàn),方法：1.化簡函數(shù)式，得最簡形式2.根據(jù)提供的器件類型不同，將函數(shù)變換為不同形式，如只提供與非門，則根據(jù)反演定理將函數(shù)變換為與非與非形式。例：,可用三個(gè)與門，一個(gè)三輸入的或門實(shí)現(xiàn)；也可用四個(gè)與非門實(shí)現(xiàn),與或邏輯電路,與非邏輯電路,