《小學(xué)數(shù)學(xué)知識點例題精講《數(shù)陣圖（二）》教師版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《小學(xué)數(shù)學(xué)知識點例題精講《數(shù)陣圖（二）》教師版（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1 1.了解數(shù)陣圖的種類2.學(xué)會一些解決數(shù)陣圖的解題方法3.能夠解決和數(shù)論相關(guān)的數(shù)陣圖問題.一、數(shù)陣圖定義及分類：1.定義：把一些數(shù)字按照一定的要求,排成各種各樣的圖形,這類問題叫數(shù)陣圖.2.數(shù)陣是一種由幻方演變而來的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多,這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖：即封閉型數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復(fù)合型數(shù)陣圖.3.二、解題方法：解決數(shù)陣類問題可以采取從局部到整體再到局部的方法入手：第一步：區(qū)分數(shù)陣圖中的普通點(或方格)和關(guān)鍵點(或方格);第二步：在數(shù)陣圖的少數(shù)關(guān)鍵點(一般是交叉點)上設(shè)置未知數(shù),計算這些關(guān)鍵點與相關(guān)點的數(shù)量關(guān)系,得到關(guān)鍵點上所填數(shù)的范圍;第三步：運用已經(jīng)得到的信息進行嘗試這

2、個步驟并不是對所有數(shù)陣題都適用,很多數(shù)陣題更需要對數(shù)學(xué)方法的綜合運用復(fù)合型數(shù)陣圖【例例 1 1】由數(shù)字 1、2、3 組成的不同的兩位數(shù)共有 9 個,老師將這 9 個數(shù)寫在一個九宮格上,讓同學(xué)選數(shù),每個同學(xué)可以從中選 5 個數(shù)來求和小剛選的 5 個數(shù)的和是 120,小明選的 5 個數(shù)的和是 111如果兩人選的數(shù)中只有一個是相同的,那么這個數(shù)是_313233212223131211【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯,中年級,決賽,3 題【分析】這 9 個數(shù)的和：11 1213212223313233【分析】10203031233198（）（）【分析】由小剛和小明選的

3、數(shù)中只有一個是相同的,可知他們正好把這 9 個數(shù)全部都取到了,且有一個數(shù)取了兩遍所以他們?nèi)〉臄?shù)的總和比這 9 個數(shù)的和多出來的部分就是所求的數(shù)那么,這個數(shù)是120111 19833例題精講例題精講知識點撥知識點撥教學(xué)目標教學(xué)目標5-1-3-2.5-1-3-2.數(shù)陣圖數(shù)陣圖2【答案】33【例例 2 2】如圖 1,圓圈內(nèi)分別填有 1,2,7 這 7 個數(shù).如果 6 個三角形的頂點處圓圈內(nèi)的數(shù)字的和是 64,那么,中間圓圈內(nèi)填入的數(shù)是 .【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,五年級,復(fù)賽,第 5 題,5 分【解析】2【答案】2【例例 3 3】如下圖（1）所示,在每個小圓

4、圈內(nèi)填上一個數(shù),使得每一條直線上的三個數(shù)的和都等于大圓圈上三個數(shù)的和.117894【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】3 星 【題型】填空 【解析解析解析】為敘述方便,先在每個圓圈內(nèi)標上字母,如圖（2）,2acb49817則有 a+4+9=a+b+c（1）b+8+9=a+b+c（2）c+17+9=a+b+c（3）（1）+（2）+（3）：（a+b+c）+56=3（a+b+c）,a+b+c=28,則 a=28（4+9）=15,b=28（8+9）=11,c=28-（17+9）=2 解：見圖.1789411215【答案】1789411215【例例 4 4】請你將數(shù)字 1、2、3、4、5、6、7 填在下面圖（

5、1）所示的圓圈內(nèi),使得每個圓圈上的三個數(shù)之和與每條直線上的三個數(shù)之和相等.應(yīng)怎樣填?3【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】3 星 【題型】填空 【解析解析解析】為了敘述方便,將各圓圈內(nèi)先填上字母,如圖（2）所示.設(shè)A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k,3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k,2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k,2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k,56+A=5k.,因為 56+A 為 5 的倍數(shù),得 A=4,進而推出 k=12,因為在 1、2、3、5、6

6、、7 中,1+5+6=7+3+2=12,不妨設(shè) B=1,F=5,D=6,則 C=12-（4+1）=7,G=12-（4+5）=3,E=12-（4+6）=2.,解：得到一個基本解為：（見圖）7654321【答案】7654321【例例 5 5】在左下圖的每個圓圈中填上一個數(shù),各數(shù)互不相等,每個圓圈有 3 個相鄰(即有線段相連的圓圈)的圓圈.將左下圖中每個圓圈中的數(shù)改為 3 個相鄰圓圈所填數(shù)的平均值,便得到右下圖.如果左下圖中已有一個數(shù) 1,請?zhí)畛鲎笙聢D中的其它數(shù),使得右下圖中的數(shù)都是自然數(shù).【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】4 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,6 年級,決賽,第 10 題,10 分【解

7、析】答案不唯一.要求四個灰色圓圈中所填的數(shù)除以 3 的余數(shù)相同,另外四個圓圈中所填的數(shù)除以 3 的余數(shù)也相同.注：題中左、右兩圖是兩個不同的圖,左圖要求各數(shù)互不相同(見答案),右圖中各數(shù)是根據(jù)左圖改的,只要求是自然數(shù),可以相同.【答案】【例例 6 6】將 1 至 8 這八個自然數(shù)分別填入圖中的正方體的八個頂點處的:內(nèi),并使每個面上的四個:內(nèi)的數(shù)字之和都相等.求與填入數(shù)字 1 的:有線段相連的三個:內(nèi)的數(shù)的和的最大值.4【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】4 星 【題型】填空 【考點】【難度】星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,六年級,二試,第 13 題,15 分【解析】因為 1 到 8 的和為 36,

8、而上面四個數(shù)的和等于下面四個數(shù)的和,所以都為 18.因為每個面的數(shù)字和相等,所以一個面上應(yīng)當大小數(shù)搭配,也就是說,和最小的數(shù)字 1 在同一個面上的應(yīng)該有較大的數(shù).嘗試最大的三個數(shù) 8,7,6,則和 1,8,7 在同一個面上的數(shù)應(yīng)該是 18-1-8-7=2,和 1,8,6 在同一個面上的數(shù)應(yīng)該是 18-1-8-6=3,和 1,7,6 在同一個面上的數(shù)應(yīng)該是在同一個面上的數(shù)應(yīng)該是 18-1-7-6=4,剩下一個 5 填在剩下的中,經(jīng)檢驗,符合題意,那么與 1 相連的三個的和是6782161827453【答案】21【例例 7 7】將自然數(shù)1到11分別填在右圖的圓圈內(nèi),使得圖中每條直線上的三個圓圈內(nèi)的

9、數(shù)的和相等18-c-d18-b-cc+d-6b+c-612-d12-c12-bdcb61110987543216【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】5 星 【題型】填空 【解析解析解析】設(shè)左下角的數(shù)為a,每條直線上的三個數(shù)的和為S由于這 11 個數(shù)的和為121166從左下角引出的5條直線的總和為5S,其中左下角的數(shù)多計算了 4 次,則5664Sa;又由三條橫線及左下角引出的一條斜線上的數(shù)的總和可得466Sa從而結(jié)合上面的兩個式子可得18S,6a,即左下角的數(shù)為 6,每條線上的數(shù)之和為 18再設(shè)大正方形其他三個圓圈上的數(shù)分別為b,c,d,于是可得各個圓圈中的數(shù)如圖所示除 6 以外的 10 個數(shù)分別為：

10、b,c,d,12b,12c,12d,18bc,18cd,6bc,6cd由于18121818bcccd,得到330bcd,即303bdc所以,只要選取適當?shù)腷,c,d的值,使得上面的 10 個數(shù)各不相同即可比如,選擇9c,1b,2d,則可得到如右上圖所示的一種填法本題答案不唯一,下面再給出兩種填法.3105279486111 5498371021116【答案】3105279486111 54983710211165【例例 8 8】在下圖中,在每個圓圈中填入一個數(shù),使每條直線上所有圓圈中數(shù)的和都是 234,那么標有的圓圈中所填的數(shù)是_ fedcba【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】5 星 【題型】填空

11、【關(guān)鍵詞】迎春杯,中年級,決賽,11 題【分析】為表述方便,將圓圈中數(shù)用字母替代（如右圖）【分析】根據(jù)題意,有【分析】234af 【分析】234bc 【分析】234ed 【分析】234abe 【分析】234cdf 【分析】,有3234,即234378【答案】78【例例 9 9】請將 1,2,3,10 這 10 個自然數(shù)填入圖中的 10 個小圓圈內(nèi),使得圖中的 10 條直線上圓圈內(nèi)數(shù)字之和都相等那么乘積ABC?CBA【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】5 星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】迎春杯,高年級,決賽,10 題【解析解析解析】對于本題,可以通過“10 條直線上圓圈內(nèi)數(shù)字之和都相等”(實際上是 11

12、條)這一等量關(guān)系,將每一個小圓圈中的數(shù)表示出來由于每一條直線上的數(shù)之和都為ABC,可得圖中每一個小圓圈中的數(shù)如下圖.2CA-C3CA+2CB-2CB-CA+CABC由于中間豎直方向的線段以及從左下角A出發(fā)的只有兩個數(shù)字的那條線段,它們的數(shù)字和都是ABC,可以得到,332ABCBCAC,可得2ABC,代入得2333BCBC,即6BC,只能是1C,6B,28ABC,則86 148ABC 【答案】86 148ABC 【例例 10 10】下圖中有 11 條直線請將 1 至 11 這 11 個數(shù)分別填在 11 個圓圈里,使每一條直線上所有數(shù)的和相等求這個相等的和以及標有*的圓圈中所填的數(shù)6【考點】復(fù)合型

13、數(shù)陣圖 【難度】5 星 【題型】填空 【解析解析解析】設(shè)每行的和為S,在左下圖中,除了a出現(xiàn) 2 次,其他數(shù)字均只出現(xiàn)了 1 次,并且每個數(shù)字都出現(xiàn)了,于是有4(12311)66Saa;a a在右上圖中除了a出現(xiàn) 5 次,其他數(shù)字均只出現(xiàn)了 1 次,并且每個數(shù)字都出現(xiàn)了,于是有5(12311)4664Saa綜合以上兩式,4665664SaSa,解得6a,18S 考慮到含有*的五條線,有4(12311)18 590t,即424t 可見t是 4 的倍數(shù),在 111 間可能為 4 和 8,但t為 8 時也為 8,重復(fù)所以4t,7即每行相等的和為 18,標有*的圓圈中所填的數(shù)為 7最終的填法如右下圖t

14、 1110987654321【答案】1110987654321【例例 11 11】“美妙的數(shù)學(xué)花園”這 7 個字各代表 17 中的一個數(shù),并且每個圓中 4 個數(shù)的和都是 15.如果學(xué)比美大,美比園大,那么,園表示 .【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】5 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】（走美杯 3 年級決賽第 11 題,12 分）【解析】首先找出從1到7中四個數(shù)之和為15的有以下四組：1、2、5、7;2、3、4、6;1、3、74、7;1、3、5、6需要從其中選出3組,其中每兩個組間都有兩個相等的數(shù),且這三組都含有同一個數(shù),分析發(fā)現(xiàn)這三組可為、或、,當這三組數(shù)為、時即1,2,5,7;1,3,4,7;1,3

15、,5,6其中、公有的是1,7;、公有是1,5;、公有1,3,即“妙,花,數(shù)”應(yīng)為3,7,5其中之一則剩下數(shù)字2,4,6應(yīng)為美、學(xué)、園其中之一又因為學(xué)美園,所以學(xué)6,美4,園2當這三組數(shù)為、時同樣的方法可分析出園2 5 4 1 7 3 6 2【答案】2【例例 12 12】圖 2 中的五個問號分別表示五個連續(xù)的自然數(shù),它們的和等于 130,三角形內(nèi)兩個數(shù)的和等于 53,圓內(nèi)三個數(shù)的和等于 79,正方形內(nèi)兩個數(shù)的和等于 50.那么,從左向右,這五個問號依次是 【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,四年級,復(fù)賽,第 5 題,5 分【解析】根據(jù)題意答案為：25,28,27,

16、24,26【答案】25,28,27,24,26【例例 13 13】右圖是大家都熟悉的奧林匹克五環(huán)標志請將19:分別填入五個圓相互分割的九個部分,并且使每個圓環(huán)內(nèi)的數(shù)字之和都相等【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】5 星 【題型】填空 【解析解析解析】設(shè)每個圓內(nèi)的數(shù)字之和為k,則五個圓內(nèi)的數(shù)字之和是5k,它等于19:的和45再加上兩兩重疊處的四個數(shù)之和而兩兩重疊處的四個數(shù)之和最小是123410,最大是678930,所以,5453075k,5451055k,即1115k當11k,13,14時可得四種填法(見右下圖)dcba987654321123456789123456789987654321當15k

17、時,如右上圖,設(shè)兩兩重疊處的四個數(shù)分別為a,b,c,d,由上面的分析可知,a,b,c,d分別為6,7,8,9,由于6915,7815,那么,不論a為多少,最左邊的數(shù)總是會與b,c,d中的某一個相同,矛盾所以當15k 時沒有符合題意的填法當12k 時,1254515abcd如果a,b,c,d中有一個數(shù)為3,比如3a,那么12bcd,這樣與b,c在同一個圓內(nèi)的那個數(shù)將與d相同可見a,b,c,d都不能為3如果a,b,c,d中至少有3個數(shù)大于3,那么它們至少為4,5,6,另一個數(shù)至少為1,它們的和將不小于145616,矛盾所以a,b,c,d中至少有2個數(shù)小于3,這2個數(shù)只能為1和2,那么另兩個數(shù)之和為

18、12如果這兩個數(shù)中有一個為a或者d,那么最左邊或者最右邊的數(shù)將與a,b,c,d中的某一個相同,矛盾;如果這兩個數(shù)為b和c,那么與b,c在同一個圓內(nèi)的那個數(shù)將只能為0,這也不可能出現(xiàn)所以當12k 時也沒有符合題意的填法8【答案】當11k,13,14時可得四種填法987654321123456789123456789987654321【例例 14 14】2008 年奧運會在北京舉行.“奧”、“運”、“會”、“北”、“京”這五個漢字代表五個連續(xù)的自然數(shù),將其分別填在五環(huán)圖案的五個環(huán)內(nèi),滿足“奧”+“運”+“會”=“北”+“京”.這五個自然數(shù)的和最大是 .【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】5 星 【題型】

19、填空【關(guān)鍵詞】迎春杯,四年級,初賽,第 2 題）【解析解析解析】不妨設(shè)最小一個數(shù)是 x,那么這 5 個數(shù)是 x,x+1,x+2,x+3,x+4.但無法將它們對應(yīng),但無論怎么樣,列出的方程一定是這個形式的：（x+a）+（x+b）+（x+c）=（x+d）+（x+e）,其中 a、b、c、d、e 分別是 0、1、2、3、4.方程解得：x=（d+e）-（a+b+c）,如果連續(xù) 5 個自然數(shù)最大,那么最小的那個自然數(shù)也必須取得最大,顯然減號前是 3、4,減號后 0、1、2 時,x 取得最大值 4,所以這 5 個數(shù)是4、5、6、7、8,和為 30【答案】30【例例 15 15】如圖,A,B,C,D,E,F,

20、G,H,I代表九個各不相同的正整數(shù),且每個圓中所填數(shù)的和都等于2008.這九個數(shù)總和最小為 .【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】5 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,5 年級,決賽,第 12 題,15 分【解析】假設(shè)9個數(shù)總和是M,則MABCDEFGHI,上面三個環(huán)的總和為：32008MCG,所以當12CG 時,總和最小為2008336027.【答案】6027【例例 16 16】如圖,A,B,C,D,E,F,G,H,I代表九個各不相同的正整數(shù),A,B,C,D,E,F,G,H,I的總和是2008,并且每個圓中所填的數(shù)和都等于M.(1)M最大為多少?(2)M最小為多少?【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】6

21、 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,6 年級,決賽,第 11 題,15 分【解析】上面三個環(huán)里數(shù)的和為3M,32008MCG,32008MCG,所以M最大可以取668,此時C,G分別為1,3.五環(huán)的和是52008MBDFH,要使M最小,只要取BDFH最小為12,此時404M.9【答案】最大668,最小12【例例 17 17】將數(shù)字 19 分別填在下圖空白的正六邊形格子中,使得箭頭所指直線方向上空格中所填的數(shù)字和等于該箭頭所在格中的給定數(shù)（每個方向上所填的數(shù)互不相同,且到寫有另一個給定數(shù)字的格為止）.例如：20,22,19ABCDEFGHCIJKMN。當填寫完后,字母 C 處所寫的數(shù)字是_.DC

22、AHEGMFIBKN102720282269192410202026J23A.4 B.5 C.7 D.9【考點】復(fù)合型數(shù)陣圖 【難度】6 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯,中年級,復(fù)試,7 題【解析解析解析】3l4lC,提示：在下圖中,直線1l上的6個數(shù)之和是,只有12345722,直線2l上的5個數(shù)之和是35,只有5678935,所以G等于5或7;直線3l上的4個數(shù)之和是12,只有：123612或124512,再考慮到G等于5或7,得到5,1GM或2或4.直線4l上的3個數(shù)之和是20,并且1M 或2或4,只有47920,所以4M,再考慮到1l上的數(shù)不大于7,所以7C.下圖是一種填法（填法不唯

23、一）.31254173484595917178213129212352392620201024199622282027106【答案】C=7.【例例 18 18】用數(shù)字1至9填滿空格,一個格子只能填入一個數(shù)字,每個數(shù)字在每一行,每一列（相連或不相連）及每個粗線圍成的區(qū)域中至多出現(xiàn)一次.【考點】數(shù)陣圖與數(shù)論 【難度】5 星 【題型】填空10【關(guān)鍵詞】走美杯,3 年級,決賽,第 11 題,12 分【解析】如圖1,因為a、b、c、d所在列已經(jīng)出現(xiàn)8,所以a、b、c、d不等于8,在這四個數(shù)所在的粗黑線圍成的區(qū)域中可知8e,那么g、f不等于8,而在h、i所在的列中出現(xiàn)了數(shù)字8,所以h、i不等于8,那么8j,之后用同樣的方法可以得出結(jié)果如圖2.hgifjedcba661287383719954 1732458194139278593645716254187623 245991738378216646258【答案】【例例 19 19】用 l9 填滿三角形空格,一個格子只能填入一個數(shù)字,使每個數(shù)字在每一行,每一列(包括不相連的行,列)及每個粗黑線圍成的區(qū)域中至多出現(xiàn)一次【考點】數(shù)陣圖與數(shù)論 【難度】6 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,初賽,六年級,第 10 題【解析】解題順序如第二附圖,依照 A、B、C、D的順序.