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【步步高】屆高三數(shù)學大一輪復習 兩個計數(shù)原理學案 理 新人教A版

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1、 第十章 計數(shù)原理、隨機變量及其分布 學案63 兩個計數(shù)原理 導學目標: 理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,能正確區(qū)分“類”和“步”,并能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題. 自主梳理 1.分類加法計數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=________種不同的方法. 2.分步乘法計數(shù)原理 完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=________種不同的方法. 3.分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理,都是涉及完成一件事的不同

2、方法的種數(shù),它們的區(qū)別在于:分類加法計數(shù)原理與“分類”有關(guān),各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以完成這件事;分步乘法計數(shù)原理與“分步”有關(guān),各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成,從思想方法的角度看,分類加法計數(shù)原理的運用是將一個問題進行“分類”思考,分步乘法計數(shù)原理是將問題進行“分步”思考. 自我檢測 1.(2009·北京)用0到9這10個數(shù)字,可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為(  ) A.324 B.328 C.360 D.648 2. 如圖小圓圈表示網(wǎng)絡的結(jié)點,結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián),連線上標注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時

3、間內(nèi)可以通過的最大信息量.現(xiàn)從結(jié)點B向結(jié)點A傳遞信息,信息可以分開沿不同的路線同時傳遞,則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為(  ) A.26 B.24 C.20 D.19 3.(2011·青島月考)某外商計劃在4個候選城市投資3個不同的項目,且在同一個城市投資的項目不超過2個,則該外商不同的投資方案有(  ) A.16種 B.36種 C.42種 D.60種 4.(2010·湖北)現(xiàn)有6名同學去聽同時進行的5個課外知識講座,每名同學可自由選擇其中的一個講座,不同選法的種數(shù)是(  ) A.56 B.65 C. D.6×5×4×3×2

4、5. 如圖,一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同著色方法共有________種.(以數(shù)字作答) 6.(2011·泉州調(diào)研)集合A含有5個元素,集合B含有3個元素.從A到B可有________個不同映射. 探究點一 分類加法計數(shù)原理的應用 例1 在所有的兩位數(shù)中,個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個? 變式遷移1 方程+=1表示焦點在y軸上的橢圓,其中m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},那么這樣的橢圓有多少個?

5、 探究點二 分步乘法計數(shù)原理的應用 例2 (2011·黃山模擬)乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員,派5名參加比賽,3名主力隊員要安排在第一、三、五位置,其余7名隊員選2名安排在第二、四位置,求不同的出場安排共有多少種? 變式遷移2 有0、1、2、…、8這9個數(shù)字. (1)用這9個數(shù)字組成四位數(shù),共有多少個不同的四位數(shù)? (2)用這9個數(shù)字組成四位密碼,共有多少個不同的四位密碼? 探究點三 兩個計數(shù)原理的綜合應用 例3 如圖所示,花壇內(nèi)有五個花池,有五種不同顏色的花卉可供栽種,每個花池內(nèi)只能種

6、 同種顏色的花卉,相鄰兩池的花色不同,則最多的栽種方案有(  ) A.180種 B.240種 C.360種 C.420種 變式遷移3  如圖所示為一電路圖,從A到B共有________條不同的線路可通電. 分類討論思想 例 (12分)從1到20這20個正整數(shù)中,每次取出3個,問:它們可以組成多少組不同的等差數(shù)列. 多角度審題 本題是一道計數(shù)原理與等差數(shù)列的綜合題,能構(gòu)成等差數(shù)列的三個數(shù)有很多,到底如何取這三個數(shù)才能準確的、不重、不漏的找出所有能構(gòu)成等差數(shù)列的三個數(shù)是本題的難點. 【答題模板】 解 依題意,要使這三個數(shù)成等差數(shù)列,公差d的取值

7、可以為±1,±2,…,±9,因此分18類.[3分] 當d=±1時,可以組成36組不同的等差數(shù)列; 當d=±2時,可以組成32組不同的等差數(shù)列; …; 當d=±9時,可以組成4組不同的等差數(shù)列.[9分] 根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有36+32+28+…+8+4 =180(組)不同的等差數(shù)列.[12分] 【突破思維障礙】 由于取出的三個數(shù)必須構(gòu)成等差數(shù)列,因此,按照公差的大小來分類能使取出的三個數(shù)不重不漏,那么每一類型有多少個三位數(shù),由于從前往后取,關(guān)鍵看取到最后,由各數(shù)列的特點,就能看出有幾個數(shù)列,例如:當?shù)炔顢?shù)列的公差為1時,能構(gòu)成等差數(shù)列的三個數(shù)為1 2 3,2 3 4,3 4

8、 5,…,18 19 20,查個數(shù)時,看每組數(shù)的第一個數(shù),分別為1,2,3,…,18,因此共18個等差數(shù)列;再例如當公差為2時,取到最后剩17,19, 20.但前面能構(gòu)成等差數(shù)列的三個數(shù)分別為1 3 5,2 4 6,3 5 7,4 6 8,…,16 18 20,看每組數(shù)的第一個數(shù)分別為1,2,3,…,16,共16個等差數(shù)列. 【易錯點剖析】 容易遺忘公差為-1,-2,…,-9時的情況,有可能找不到公差每增加1個單位,等差數(shù)列個數(shù)減少4個的規(guī)律. 1.關(guān)于兩個計數(shù)原理的應用范圍:(1)如果完成一件事情有幾類辦法,這幾類辦法彼此之間相互獨立,無論哪一類辦法中的哪一種方法都能獨立完成這件事

9、,求完成這件事的方法種數(shù)時就用分類加法計數(shù)原理,分類加法計數(shù)原理可利用“并聯(lián)電路”來理解.(2)如果完成一件事情要分幾個步驟,各個步驟都是不可缺少的,需要依次完成所有的步驟,才能完成這件事,而完成每一個步驟各有若干種不同的辦法,求完成這件事的方法種數(shù)時就用分步乘法計數(shù)原理,分步乘法計數(shù)原理可利用“串聯(lián)電路”理解. 2.應用兩個計數(shù)原理的注意事項:(1)要真正理解“完成一件事”的含義,以確定需要分類還是需要分步.(2)分類時要做到不重不漏.(3)對于復雜的計數(shù)問題,可以分類、分步綜合應用. (滿分:75分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(2011·合肥調(diào)研)從1到10

10、的正整數(shù)中,任意抽取兩個相加所得的和為奇數(shù)的不同情形的種數(shù)是(  ) A.10 B.15 C.20 D.25 2.某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤,根據(jù)需要,軟件至少買3片,磁盤至少買2盒,則不同的選購方式共有(  ) A.5種 B.6種 C.7種 D.8種 3.(2010·佛山模擬)某體育彩票規(guī)定:從01至36共36個號中抽出7個號為一注,每注2元,某人想從01至10中選3個連續(xù)的號,從11至20中選2個選續(xù)的號,從21至30中選1個號,從31至36中選1個號組成一注,則這個人把這種特殊要求的號

11、買全,至少要(  ) A.3 360元 B.6 720元 C.4 320元 D.8 640元 4.(2011·杭州月考)如果一個三位數(shù)的十位數(shù)字既大于百位數(shù)字也大于個位數(shù)字,則這樣的三位數(shù)共有(  ) A.240個 B.285個 C.231個 D.243個 5.4位同學參加某種形式的競賽,競賽規(guī)則規(guī)定:每位同學必須從甲、乙兩道題中任選一題作答,選甲題答對得21分,答錯得-21分;選乙題答對得7分,答錯得-7分.若4位同學的總分為0,則這4位同學不同得分情況的種數(shù)是(  ) A.48 B.44 C.36 D.24 二、填空題(每小

12、題4分,共12分) 6. 一植物園參觀路徑如圖所示,若要全部參觀并且路線不重復,則不同的參觀路線種數(shù)共有________種. 7.(2011·安慶模擬)計劃展出6幅不同的畫,其中1幅水彩畫,2幅油畫,3幅國畫,排成一行陳列,要求同一品種的畫必須連在一起,并且水彩畫不放在兩端,那么不同的陳列法有______種. 8.電視臺在“歡樂今宵”節(jié)目中拿出兩個信箱,其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運觀眾,若先確定一名幸運之星,再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴,有________種不同的結(jié)果. 三、解答題(共38分) 9.(1

13、2分)(2011·開封模擬)從{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任選三個不同元素作為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù),問能組成多少條拋物線經(jīng)過原點且頂點在第一象限或第三象限? 10.(12分)用0,1,2,3,4,5可以組成多少個無重復數(shù)字的比2 000大的四位偶數(shù). 11.(14分)有一個圓形區(qū)域被3條直徑分成6塊(如圖所示),在每一塊區(qū)域內(nèi)種植植物,相鄰的兩塊區(qū)域種植不同的植物,現(xiàn)有4種不同的植物選擇,一共有多少種不同的種植方法.

14、學案63 兩個計數(shù)原理 自主梳理 1.m+n 2.m×n 自我檢測 1.B [若組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù),可分為兩種情況:①當個位上是0時,共有9×8=72(種)情況;②當個位上是不為0的偶數(shù)時,共有4×8×8=256(種)情況.綜上,共有72+256=328(種)情況.] 2.D [本題只要類比成供水系統(tǒng)中水管的最大流量問題即可.由B到A,單位時間內(nèi)第一條網(wǎng)線傳遞的最大信息量為3,第二條網(wǎng)線傳遞的最大信息量為4,第三條網(wǎng)線傳遞的最大信息量為6,第四條網(wǎng)線傳遞的最大信息量為6,由分類加法計數(shù)原理,得3+4+6+6=19.] 3.D [某外商計劃在4個候選城市投資3個不同的項目,且

15、在同一個城市投資的項目不超過2個,則可分兩類:第一類,在兩個城市分別投資1個項目、2個項目,此時有3×4×3=36(種)方案;第二類,在三個城市各投資1個項目,有4×3×2=24(種)方案,共計有36+24=60(種)方案.] 4.A [由分步乘法計數(shù)原理得5×5×5×5×5×5=56.] 5.72 解析 本題根據(jù)題意,可分類求解:第一類,用三種顏色著色,有4×3×2=24(種)方法;第二類,用四種顏色著色,有2×4×3×2=48(種)方法. 從而共有24+48=72(種)方法. 6.243 解析 A中的任一元素去選擇B的某一元素都有3種方法,且要完成一個映射應該使A中的每一個元素

16、在B中都能找到唯一的元素與之對應,由分步乘法計數(shù)原理知共有3×3×3×3×3=35=243(個). 課堂活動區(qū) 例1 解題導引 → 應用分類加法計數(shù)原理,首先根據(jù)問題的特點,確定分類的標準,分類應滿足:完成一件事的任何一種方法,必屬于某一類且僅屬于某一類. 解 根據(jù)題意,十位數(shù)上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類,在每一類中滿足題目要求的兩位數(shù)分別有8個,7個,6個,5個,4個,3個,2個,1個. 由分類加法計數(shù)原理知,符合題意的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個). 變式遷移1 解 以m的值為標準分類,分為五類. 第一類:m=1時,使n

17、>m,n有6種選擇; 第二類:m=2時,使n>m,n有5種選擇; 第三類:m=3時,使n>m,n有4種選擇; 第四類:m=4時,使n>m,n有3種選擇; 第五類:m=5時,使n>m,n有2種選擇. ∴共有6+5+4+3+2=20(種)方法,即有20個符合題意的橢圓. 例2 解題導引 → “分步”是乘法原理的標志.要注意在同一類中合理分步的幾個原則:分步標準必須一致;分步要做到步驟關(guān)聯(lián),步驟連續(xù),步驟獨立,確保對每一類事件的分步不重不漏.這樣才能保證使用分步乘法計數(shù)原理時的正確性. 解 按出場位置順序逐一安排.第一位置隊員的安排有3種方法;第二位置隊員的安排有7種方法;第三位置隊

18、員的安排有2種方法;第四位置隊員的安排有6種方法;第五位置隊員的安排只有1種方法. 由分步乘法計數(shù)原理知,不同的出場安排方法有3×7×2×6×1=252(種). 變式遷移2 解 (1)未強調(diào)四位數(shù)的各位數(shù)字不重復,只需首位不為0,依次確定千、百、十、個位,各有8、9、9、9種方法, ∴共能組成8×93=5 832(個)不同的四位數(shù). (2)每一位上的數(shù)字都有9種方法, ∴共能組成94=6 561(個)不同的四位密碼. 例3 解題導引 →→→ (1)對于一些比較復雜的既要運用分類加法計數(shù)原理又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題,我們可以恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格,使問題更加直觀、清晰.

19、 (2)當兩個原理混合使用時,一般是先分類,在每類方法里再分步. D [由題意知,最少用三種顏色的花卉,按照花卉選種的顏色可分為三類方案,即用三種顏色,四種顏色,五種顏色. ①當用三種顏色時,花池2、4同色和花池3、5同色,此時共有A種方案. ②當用四種顏色時,花池2、4同色或花池3、5同色,故共有2A種方案. ③當用五種顏色時有A種方案. 因此所有栽種方案為A+2A+A=420(種).] 變式遷移3 8 解析 按上、中、下三條線路可分為三類:上線路中有3條,中線路中有1條,下線路中有2×2=4(條),根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有3+1+4=8(條). 課后練習區(qū) 1.D [當

20、且僅當偶數(shù)加上奇數(shù)后和為奇數(shù),從而不同情形有5×5=25(種).] 2.C [由于本題種數(shù)不多,可用列舉法具體寫出:3×60+2×70;4×60+2×70;5×60+2×70;6×60+2×70;3×60+3×70;4×60+3×70;3×60+4×70,共7種不同的選購方式.] 3.D [從01至10的三個連號的個數(shù)有8種;從11至20的兩個連號的個數(shù)有9種;從21至30的單選號的個數(shù)有10種,從31至36的單選號的個數(shù)有6種,故總的選法有8×9×10×6=4 320(種),可得需要錢數(shù)為8 640元.] 4.A [當十位數(shù)字是9時,百位數(shù)字有8種取法,個位數(shù)字有9種取法,此時取法種數(shù)

21、為8×9;當十位數(shù)字是8時,百位數(shù)字有7種取法,個位數(shù)字有8種取法,此時取法種數(shù)為7×8,依此類推,直到當十位數(shù)字是2時,百位數(shù)字有1種取法,個位數(shù)字有2種取法,此時取法種數(shù)為1×2,所以總的個數(shù)為1×2+2×3+3×4+…+8×9=240.] 5.C [由題意總分為0分三類:第一類得分為21,21,-21,-21,第二類為7,7,-7,-7,第三類為21,-21,7,-7.每類中4位同學的不同得分可認為4個分數(shù)填4個空,每空填一個分數(shù),前兩類中各有C種填法,第三類有4×3×2×1=24(種)填法,總共有6+6+24=36(種).] 6.48 解析 如圖所示,在A點可先參觀區(qū)域1,也可先

22、參觀區(qū)域2或3,共有3種不 同選法.每種選法中又有2×2×2×2=16(種)不同路線. ∴共有3×16=48(種)不同的參觀路線. 7.24 解析 先把每種品種的畫看成一個整體,而水彩畫只能放在中間,又油畫與國畫放在兩端有2種放法,再考慮2幅油畫本身排放有2種方法,3幅國畫本身排放有3×2=6(種)方法,故不同的陳列法有2×2×6=24(種). 8.28 800 解析 分兩類:(1)幸運之星在甲箱中抽,先定幸運之星,再在兩箱中各定一名幸運伙伴有30×29×20=17 400(種)結(jié)果; (2)幸運之星在乙箱中抽,同理有20×19×30=11 400(種)結(jié)果,因此共有不同結(jié)果

23、17 400+11 400=28 800(種). 9.解 拋物線經(jīng)過原點,得c=0, 當頂點在第一象限時,a<0,->0, 即則有3×4=12(種);(6分) 當頂點在第三象限時,a>0,-<0, 即 則有4×3=12(種);(10分) 共計有12+12=24(種).(12分) 10.解 完成這件事有3類方法: 第一類是用0做結(jié)尾的比2 000大的4位偶數(shù),它可以分三步去完成:第一步,選取千位上的數(shù)字,只有2,3,4,5可以選擇,有4種選法;第二步,選取百位上的數(shù)字,除0和千位上已選定的數(shù)字以外,還有4個數(shù)字可供選擇,有4種選法;第三步,選取十位上的數(shù)字,還有3種選法.依據(jù)分

24、步計數(shù)原理,這類數(shù)的個數(shù)有4×4×3=48個.(4分) 第二類是用2做結(jié)尾的比2 000大的4位偶數(shù),它可以分三步去完成:第一步,選取千位上的數(shù)字,除去2,1,0,只有3個數(shù)字可以選擇,有3種選法;第二步,選取百位上的數(shù)字,在去掉已經(jīng)確定的首尾兩數(shù)字之后,還有4個數(shù)字可供選擇,有4種選法;第三步,選取十位上的數(shù)字,還有3種選法.依據(jù)分步計數(shù)原理, 這類數(shù)的個數(shù)有3×4×3=36個.(8分) 第三類是用4做結(jié)尾的比2 000大的4位偶數(shù),其步驟同第二類.(10分) 所以所求無重復數(shù)字的比2 000大的四位偶數(shù)有4×4×3+3×4×3+3×4×3=120個.(12分) 11.解 分3類考慮.第一類:A,C,E種同1種植物,有4種種法,當A,C,E種好后,B,D,F(xiàn)從余下3種植物中選1種,各有3種種法,一共有4×3×3×3=108(種)種法;(4分) 第二類:A,C,E種2種植物,有A種種法,當A,C種同一種植物時,B有3種種法,D,F(xiàn)有2種種法,若C,E或E,A種同一種植物,種法相同,因此,共有A×3×(3×2×2)=432(種)種法;(8分) 第三類:A,C,E種3種植物,有A種種法,這時B,D,F(xiàn)各有2種種法,共有A×23=192(種)種法.由分類計數(shù)原理知,共有108+432+192=732(種)種法. (14分) 8

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