《中考數(shù)學專題 圓的基本性質》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《中考數(shù)學專題 圓的基本性質（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、學習好資料 歡迎下載 學科教師輔導講義 年 級： 輔導科目：數(shù)學 課時數(shù)：3 課 題 教學目的 圓的基本性質 教學內容 一、【中考要求】 理解圓及其有關概念，了解弧、弦、圓心角的關系，探索并了解點與圓的位置關系；探索圓的性質，了解圓周角與圓 心角的關系、直徑所對圓周角的特征，了解三角形的外心。 二、【三年中考】 1．(2009·?麗水)如圖⊙O?中，∠ABC＝40°，則∠AOC＝________度． 解析：考查同弧所對的圓心角等于圓周

2、角的?2?倍． 答案：80 2．(2008·?溫州)如圖⊙O?的半徑為?5，弦?AB＝8，OC⊥AB?于?C，則?OC?的長等于________． 解析：連結?OA，根據(jù)垂徑定理?AC＝??AB＝4，∴OC＝ 1 2  OA2－AC2＝??52－42＝3. 答案：3 3．(2008·?臺州)下列命題中，正確的是( ) ①頂點在圓周上的角是圓周角；②圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半；③90°的圓周角所對的弦是直徑；④不 在同一條直線上的三個點確定一個圓；⑤同弧所對的圓周角相等( ) A．①②③B．③④⑤C．①②⑤?

3、D．②④⑤ 解析：根據(jù)圓周角定理及其推論可判斷③④⑤是正確的． 答案：B 4．(2010·?湖州)如圖，已知⊙O?的直徑?AB⊥弦?CD?于點?E，下列結論中一定正確的是( ) A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝??CE????? D．∠AOC＝60° 學習好資料 歡迎下載 1 2 解析：根據(jù)垂徑定理當?AB⊥CD?時，AB?平分弦?CD，即?CE＝DE. 答案：B 5．(2010·?紹興)已知⊙O?的半徑為?5，弦?AB?的弦心距為?3，則?AB?的長是( ) A．3 B．4C．6 D．8 解析：數(shù)形結合法

4、，考查垂徑定理． 答案：D 6．(2010·?金華)如圖，AB?是⊙O?的直徑，C?是 BD?的中點，CE⊥AB?于?E，BD?交?CE?于點?F. (1)求證：CF＝BF； (2)若?CD＝6，AC＝8，則⊙O?的半徑為________，CE?的長是________． 證明：(1)∵AB?是⊙O?的直徑， (2)⊙O?的半徑為?5，CE?的長是 . (3)圓是旋轉對稱圖形．圓繞圓心旋轉任意角度，都能和原來的圖形重合．這就是圓的旋轉不變性． ∴∠ACB＝90°. 又∵CE⊥AB

5、，∴∠CEB＝90°. ∴∠2＝90°－∠CBA＝∠A. 又∵C?是弧?BD?的中點， ∴∠1＝∠D＝∠A. ∴∠1＝∠2，∴CF＝BF. 24 5 三、【考點知識梳理】 （一）圓的定義及其性質 1．圓的定義有兩種方式 (1)在一個平面內，線段?OA?繞它固定的一個端點?O?旋轉一周，另一個端點?A?隨之旋轉所形成的圖形叫做圓．固 定的端點叫圓心，線段?OA?叫做半徑； (2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合． 2．圓的對稱性 (1)圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸； (2)圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形； ．．．．．．

6、 （二）垂徑定理及其推論 1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。? 2．推論?1：①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。虎谙业拇怪逼椒志€經過圓心，并且 平分弦所對的兩條弧；③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧． 溫馨提示： 1.?注意平分弦的直徑不一定垂直于弦； 學習好資料 歡迎下載 2.?等弧是指能夠完全重合的弧，其度數(shù)一定相同，但度數(shù)相同的弧不一定是等弧。 3.?①過圓心；②平分弦；③垂直于弦；④平分弦所對的優(yōu)弧；⑤平分弦所對的劣弧。若一條直線具備這五項中任意 兩項，則必具備另外三項，其中由

7、①②得③④⑤時，被平分的弦不是直徑。 （三） 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系 1．定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對弦的弦心距相等． 2．推論：同圓或等圓中：(1)兩個圓心角相等；(2)兩條弧相等；(3)兩條弦相等；(4)兩條弦的弦心距相等．四項 中有一項成立，則其余對應的三項都成立． （四）圓心角與圓周角 1．定義：頂點在圓心上的角叫圓心角；頂點在圓上，角的兩邊和圓都相交的角叫圓周角． 2．性質 (1)圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)； (2)一條弧所對的圓周角的度數(shù)等于它所對圓心角的一半； (3)同弧或等弧所對的圓周角相等．同圓或等圓中相

8、等的圓周角所對的弧相等； (4)半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑． （五）圓的性質的應用 1．垂徑定理的應用 用垂徑定理進行計算或證明，常需作出圓心到弦的垂線段(即弦心距)，則垂足為弦的中點，再利用解半徑、弦心 距和弦的一半組成的直角三角形來達到求解的目的． 2．圓心角、圓周角性質的應用 3．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理的應用． 溫馨提示： 借助同弧、等弧所對圓周角相等，所對圓心角相等，進行角的等量代換；也可在同圓或等圓中，由相等的圓周角所對 的弧相等，進行?。ɑ蛳遥┑牡攘看鷵Q。 四、【中考典例精析】 類型一 圓的定義及

9、其性質、定理 (1)如圖，點?A、B、C?在⊙O?上，若∠BAC＝24°，則∠BOC＝________. 第(1)題 第(2)題 (2)如圖，AB?為⊙O?的弦，⊙O?的半徑為?5，OC⊥AB?于點?D，交⊙O?于點?C，且?CD＝1，則弦?AB?的長是________． (3)如圖是一條直徑為?2?米的通水管道橫截面，其水面寬?1.6?米，則這條管道中此時最深處為________米． 學習好資料 歡迎下載 第(3)題第(4)題 (4)如圖，AB?是⊙O?的直徑，

10、CD?為弦，CD⊥AB?于?E，則下列結論中不成立的是________． A．∠A＝∠D B．CE＝DE C．∠ACB＝90° D．CE＝BD 【點撥】本組題主要考查垂徑定理，圓周角定理，圓心角、弧、弦、弦心距關系定理在選擇題、填空題中的應用， 本組題在中考題中屬常見題． 【解答】(1)48°?在⊙O?中，∠BOC＝2∠BAC＝2×24°＝48°. (2)6 連結?OA，在? OAD?中，AD＝?OA2－OD2＝?52－(5－1)2＝3，∴AB＝2AD＝6. (3)0.4 關鍵構造包含半徑、弦心距、弦長一半的直角三角形． (4)D 注意仔細審題，選的是“不成立”的． 類型

11、二 垂徑定理、圓周角定理的應用 (1)如圖，A、B、C?是⊙O?上的三點，且?A?是優(yōu)弧?BAC?上與點?B、點?C?不同的一點，若△BOC?是直角三 角形，則△BAC?必是( ) A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．有一個角是?30°的三角形 D．有一個角是?45°的三角形 (2)如圖，⊙O?的直徑?AB?垂直于弦?CD，垂足?P?是?OB?的中點，CD＝6?cm.求直徑?AB?的長． 【解答】(1)D 在⊙O?中，∠BAC＝??∠BOC＝??×90°＝45°，其余結論依據(jù)

12、條件證不出來． 由垂徑定理，得?CP＝??CD＝3. 在? POC?中，tan∠COP＝?? ＝???3， 【點撥】(1)考查圓周角、圓心角關系定理．(2)考查垂徑定理． 1 1 2 2 (2)連結?OC、BC，則?OC＝OB. ∵弦?CD?垂直平分?OB，∴OC＝BC，∴OC＝OB＝BC. ∴△BOC?為等邊三角形，∴∠BOC＝60°. 1 2 CP OP ∴OP＝?3，∴AB＝2OB＝4OP＝4?3(cm)． 方法總結： （1）?用垂徑定理進行證明或計算，常做出圓心到弦的垂線段，再利用弦心距和半徑組成直角三角形來求解。 （2）?輔助線作法：常作直徑的?90?

13、度的圓周角考慮作它所對的直徑。 五、【易錯題探究】 1．AB?是⊙O?的弦，∠AOB＝88°，則弦?AB?所對的圓周角是________． 學習好資料 歡迎下載 【解析】在⊙O?中，弦?AB?所對的圓周角分優(yōu)弧所對的角和劣弧所對的角兩種情況，所以弦AB?所對的圓周角是 44°或?136°. 【易錯警示】此題易錯在只寫出一個解，錯因是忽略了一條弦對著兩條弧，全面考慮是做題的關鍵． 2．⊙O?的半徑為?13?cm，弦?AB∥CD，AB＝10?cm，CD＝24?cm，求?AB?與?CD?之間的距離． 【解析】兩條平行弦與圓心有兩種位置關系：圓心夾在兩平行弦

14、之間(如圖①)；圓心在兩平行弦同側(如圖②)． 如圖①，過點?O?作?ON⊥AB，垂足為?N，延長?NO?交?CD?于?M. ∵AB∥CD，∴OM⊥CD. ∴AN＝BN＝5?cm，CM＝DM＝12?cm. ∴在? OMD?和? ONB?中， 根據(jù)勾股定理得?ON＝12?cm，OM＝5?cm， ∴MN＝12＋5＝17(cm)． 同理，如圖②所示，MN＝ON－OM＝12－5＝7(cm)． ∴AB?與?CD?間的距離為?17?cm?或?7?cm. 【易錯警示】圓是軸對稱圖形，當題目中沒有明確弦的

15、位置時應注意分情況討論． 六、【課堂基礎檢測】 1．如圖，已知?CD?為⊙O?的直徑，過點?D?的弦?DE?平行于半徑?OA，若∠D?的度數(shù)為?50°，則∠C?的度數(shù)是( ) A．25°?B．40°C．30° D．50° 答案：A 2．如圖，⊙O?是△ABC?的外接圓，已知∠ABO＝50°，則∠ACB?的大小為( ) A．40° B．30° C．45° D．50° 答案：A 3．如圖，AB?是⊙O?的直徑，弦?CD⊥AB?于點?E，∠CDB＝30°，⊙O?的半徑為?3?c

16、m，則弦?CD?的長為( ) A. cm??????? B．3?cmC．2???3??cm??????? D．9?cm 學習好資料 歡迎下載 3 2 答案：B 4．如圖，AB?是⊙O?的直徑，點?C、D?在⊙O?上，∠BOC＝110°，AD∥OC，則∠AOD＝________.( ) A．70° B．60°C．50° D．40° 答案：D 5．如圖，以點?P?為圓心的圓弧與?x?軸交于?A、B?兩點，點?P?的坐標為(4,2)，點?A?的坐標為(2,0)，則點?B?的坐標 為________．

17、 答案：(6,0) 6．如圖，AB?是⊙O?的直徑，弦?CD⊥AB?于點?E，點?P?在⊙O?上，∠1＝∠C. (2)若?BC＝3，sinP＝??，求⊙O?的直徑． (1)求證：CB∥PD； 3 5 解：(1)證明：∵BD＝BD，∴∠C＝∠P. 又∵∠1＝∠C，∴∠1＝∠P， 即?CB∥PD. 在? ABC?中，sinA＝?? .∵sinP＝??∴?? ＝ (2)如圖，連結?AC. ∵AB?為⊙O?的直徑，∴∠ACB＝90°. 又∵CD⊥AB，∴BC＝BD

18、. ∴∠A＝∠P，∴sinA＝sinP. BC 3 BC 3 AB 5 AB 5 又∵BC＝3，∴AB＝5，即⊙O?的直徑為?5. 七、【課后達標練習】 一、選擇題 1．如圖，A、B、C?是⊙O?上的三點，已知∠O?＝60°，則∠C＝( ) 學習好資料 歡迎下載 解析：由同弧所對圓周角等于圓心角的一半得，∠C＝??∠O＝??×60°＝30°. A．20° B．25° C．30° D．45° 1 1 2 2 答案：C ．如圖， ABC?內接于⊙O，∠A＝40°，則∠BOC?的度數(shù)為( )

19、 A．20° B．40° C．60° D．80° 解析：∠BOC＝2∠A＝2×40°＝80°. 答案：D 3．如圖，⊙O?的直徑?CD⊥AB，∠AOC＝50°，則∠CDB?大小為( ) 解析：∵CD⊥AB，∴AC＝BC，∴∠CDB＝??∠AOC＝??×50°＝25°. A．25° B．30° C．40° D．50° 1 1 2 2 答案：A 4．如圖，點?B、C?在⊙O?上，且?BO＝BC，則∠BAC?等于( ) 解析：∵BO＝BC，OB＝

20、OC，∴OB＝OC＝BC，∴∠BOC＝60°，∴∠BAC＝??∠BOC＝??×60°＝30°. A．60° B．50° C．40° D．30° 1 1 2 2 答案：D 5．如圖，AB?是⊙O?的弦，半徑?OA＝2，∠AOB＝120°，則弦?AB?的長是( ) 解析：過?O?作?OE⊥AB?于點?E，則∠AOE＝??∠AOB＝60°，AB＝2AE.在? AOE?中，AE＝OAsin60°＝???3， A．2?2B．2?3C.?5D．3?5 1 2 ∴AB＝2?3. 學習好資料 歡迎下載 答案：B 6．如圖，四個邊長為1?

21、的小正方形拼成一個大正方形，A、B、O?是小正方形的頂點，⊙O?的半徑為?1，P?是⊙O 上的點，且位于右上方的小正方形內，則∠APB?等于( ) 解析：∠APB＝??∠AOB＝??×90°＝45°. 7．如圖，⊙O?是△ABC?的外接圓，AD?是⊙O?的直徑．若⊙O?的半徑為??，AC＝2，則?sinB?的值是(??? ) A．30° B．45°C．60° D．90° 1 1 2 2 答案：B 3 2 A.??B. C. D. sinD＝?? ＝??? ＝??，又∠B＝∠D，∴s

22、inB＝??. ×2 2?3 3 4 3?2 4 3 解析：常見輔助線：構造直徑所對的?90°圓周角，連結?CD，則∠ACD＝90°，在? ACD?中， AC 2 2 2 AD 3 3 3 2 答案：A 8．如圖，在⊙O?中，AB、AC?是弦，O?在∠BAC?的內部，∠ABO＝α，∠ACO＝β，∠BOC＝θ.則下列關系中， 正確的是( ) A．θ＝α＋β B．θ＝2α＋2β C．α＋β＋θ＝180° D．α＋β＋θ＝360° 解析：連結?AO?并延長交⊙O?于點?E，∠BOE＝∠B＋∠BAE＝2α，∠COE＝∠C＋∠

23、CAE＝2β，∴∠BOC＝θ＝ 2α＋2β. 答案：B 9．如圖，兩正方形彼此相鄰且內接于半圓，若小正方形的面積為?16?cm2，則該半圓的半徑為( ) A．(4＋?5)?cm B．9?cm C．4?5?cm D．6?2?cm 解析：設大正方形的邊長為?2x，則半徑為?5?x，易得?5x＝  42＋(x＋4)2，∴x1＝4，x2＝－2(舍去)，∴?5x＝ 4?5. 答案：C 學習好資料 歡迎下載 二、填空題 10．如圖，⊙O?是△ABC?的外接圓，已知∠ABO＝40°，則∠ACB?的度數(shù)

24、是________． 解析：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝40°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝??∠AOB＝??×100°＝50°. 1 1 2 2 答案：50° 11．如圖，點?A、B、C?在⊙O?上，AB∥OC，∠B＝22°，則∠A＝________. 解析：因為同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，故∠O＝2∠B＝44°.∵AB∥CO，∴∠A＝∠O＝44°. 答案：44° 12．如圖，⊙O?中，MAN?的度數(shù)為?320°，則圓周角∠MAN＝________.

25、 解析：∵MAN?的度數(shù)為?320°，∴MN?的度數(shù)為?40°，∴∠MAN＝??×40°＝20°. 1 2 答案：20° 13．如圖，△ABC?是⊙O?的內接三角形，點?D?是?BC?的中點，已知∠AOB＝98°，∠COB＝120°，則∠ABD?的 度數(shù)是________． 解析：連結?OD，∵OB＝OD，∠BOD＝??∠BOC＝60°，∴∠OBD＝60°.又∠AOB＝98°，OA＝OB，∴∠OBA＝ 1 2 41°.∴∠ABD＝∠OBA＋∠OBD＝41°＋60°＝101°. 答案：101° 14．

26、如圖，在△ABC?中，AB?為⊙O?的直徑，∠B＝60°，∠C＝70°，則∠BOD?的度數(shù)是________度． 解析：連結?BD，∵AB?為⊙O?的直徑，∴∠ADB＝90°.又∠C＝70°，∴∠DBC＝20°.又∠ABC＝60°，∴∠ABD ＝40°.∴∠BOD＝180°－2∠ABD＝180°－2×40°＝100°. 答案：100 三、解答題 學習好資料 歡迎下載 15．如圖，AB、AC?為⊙O?的弦，連結?CO、BO?并延長分別交弦?AB、AC?于點?E、F，∠B＝∠C. 求證：CE＝BF. 證明：∵OB、OC?是⊙O?的半徑，∴OB＝OC. 又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，∴△EOB≌△FOC. ∴OE＝OF，∴OC＋OE＝OB＋OF，即?CE＝BF.