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1、12.2古典概型與幾何概型,知識梳理,考點自測,1.基本事件的特點 (1)任何兩個基本事件是的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和. 2.古典概型 (1)定義:具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型. 有限性:試驗中所有可能出現的基本事件. 等可能性:每個基本事件出現的可能性.,互斥,基本事件,只有有限個,相等,知識梳理,考點自測,3.幾何概型 (1)定義:如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的______(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型. (2)特點 無限性:在一次試驗中,可能出現的結果有無限多個; 等可能性:每個結果

2、的發(fā)生具有等可能性. (3)公式: P(A)= .,長度,4.隨機模擬方法 使用計算機或者其他方式進行的模擬試驗,以便通過這個試驗求出隨機事件的概率的近似值的方法就是隨機模擬方法.,知識梳理,考點自測,1.任一隨機事件的概率都等于構成它的每一個基本事件概率的和. 2.求試驗的基本事件數及事件A包含的基本事件數的方法有:列舉法、列表法和樹狀圖法. 3.與面積有關的幾何概型,若已知圖形不明確,可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標,這樣基本事件就構成了平面上的一個區(qū)域,即可借助平面區(qū)域解決問題.,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,1.判斷下列結論

3、是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)在一次試驗中,其基本事件的發(fā)生一定是等可能的.() (2)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.() (3)與面積有關的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關.() (5)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率.(),答案,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,2.(2017黑龍江大慶二模,理10)男、女生共8人,從中任選3人,出現2個男生、1個女生的概率為 ,則其中女生有() A.2人B.3人C.2人或3人D.4人,答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,3.(2017湖北武漢二月調考,理7)從裝有3個紅球和2個白球的

4、袋中任取3個球,則所取的3個球中至少有2個紅球的概率是(),答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,4.(2017全國,理2)如圖,正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是(),答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,5.在-1,1上隨機地取一個數k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,例1(1)(2017福建廈門一模,理3)中國將于2017年9月3日至5日在福建省廈

5、門市主辦金磚國家領導人第九次會晤.某志愿者隊伍共有5人負責接待,其中3人擔任英語翻譯,另2人擔任俄語翻譯.現從中隨機選取2人,恰有1個英語翻譯,1個俄語翻譯的概率是() (2)某校食堂使用大小、手感完全一樣的餐票,小明口袋里有一元餐票2張,兩元餐票2張,五元餐票1張,若他從口袋中隨意摸出2張,則其面值之和不少于四元的概率為 (),答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,思考如何求古典概型的概率? 解題心得1.求古典概型的概率的思路是:先求出試驗的基本事件的總數和事件A包含的基本事件的個數,再代入古典概型的概率公式. 2.求試驗的基本事件數及事件A包含的基本事件數時,應用兩個

6、原理及排列與組合的知識進行求解.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,對點訓練1(1)(2017福建廈門二模,理8)甲、乙兩名游客來廈門旅游,計劃分別從鼓浪嶼、曾厝垵、植物園、南普陀4個旅游景點中選取3個景點參觀游覽,則兩人選取的景點中有且僅有兩個景點相同的概率為() (2)從1,2,3,4,5中挑出三個不同數字組成五位數,則其中有兩個數字各用兩次(例如12332)的概率為(),答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,考向1古典概型與平面向量的交匯 思考如何把兩個向量的夾角的范圍問題轉化成與求概率的基本事件有關的問題?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點

7、4,考點5,考點6,考向2古典概型與解析幾何的交匯 例3將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數a,b,則直線ax+by=0與圓(x-2)2+y2=2有公共點的概率為. 思考如何把直線與圓有公共點的問題轉化成與概率的基本事件有關的問題?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,考向3古典概型與函數的交匯 例4設a2,4,b1,3,函數f(x)= ax2+bx+1. (1)求f(x)在區(qū)間(-,-1上是減函數的概率; (2)從f(x)中隨機抽取兩個,求它們在(1,f(1))處的切線互相平行的概率. 思考如何把f(x)在區(qū)間(-,-1上是減函數的問題轉換成與概率的基本事件有關的問題?

8、,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,解題心得1.由兩個向量的數量積公式,得出它們的夾角的余弦值的表達式,由夾角的范圍得出點數m和n的關系mn,然后分別求m=n和mn對應的事件個數,從而也清楚了基本事件的個數就是點數m和n組成的點的坐標數. 2.直線與圓有公共點,即圓心到直線的距離小于或等于半徑,由此得出ab,則滿足ab的基本事件的個數就能求出來,從而轉化成與概率的基本事件有關的問題. 3.f(x)在區(qū)間(-,-1上是減函數可轉化成開口向上的二次函數f(x)的圖象的對稱軸與x軸的交點的橫坐標大于或等于-1,從而得出ba,從而不難得出ba包含的基本事件數.因此也轉化成了與概率的

9、基本事件有關的問題.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,對點訓練2(1)連續(xù)擲兩次骰子,以先后得到的點數m,n為點P的坐標(m,n),那么點P在圓x2+y2=17內部(不包括邊界)的概率是() (2)已知向量a=(x,-1),b=(3,y),其中x-1,1,3,y1,3,9,則ab的概率為;ab的概率為. (3)設集合A=x|x2-3x-10<0,xZ,從集合A中任取兩個元素a,b,且ab0,則方程 表示焦點在x軸上的雙曲線的概率為. (4)已知關于x的二次函數f(x)=ax2-4bx+1,設a-1,1,2,3,4,5, b-2,-1,1,2,3,4,則f(x)在區(qū)間1,

10、+)內是增函數的概率為.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,例5(1)某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是() (2)如圖,四邊形ABCD為矩形,AB= ,BC=1,在DAB內任作射線AP,則射線AP與線段BC有公共點的概率為.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,思考如何確定幾何概型的概率是

11、用長度或角度的比來求? 解題心得解答幾何概型問題的關鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍.(1)當考察對象為點,點的活動范圍在線段上時用線段長度比計算;(2)當考察對象為線時,一般用角度比計算.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,對點訓練3(1)(2017河北保定二模,理5)在區(qū)間-3,3內隨機取出一個數a,使得1x|2x2+ax-a20的概率為() (2)如圖所示,在平面直角坐標系內,射線OT落在30角的終邊上,任作一條射線OA,則射線OA落在yOT內的概率為.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,例6(1)在棱長為2的正方體內部隨機取一點,則該點

12、到正方體8個頂點的距離都不小于1的概率為() (2)如圖,點A的坐標為(1,0),點C的坐標為(2,4),函數f(x)=x2,若在矩形ABCD內隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率為.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,思考求與面積、體積有關的幾何概型的基本思路是什么? 解題心得求與面積、體積有關的幾何概型的基本思路:用圖形準確表示出試驗的全部結果所構成的區(qū)域,由題意將已知條件轉化為事件A滿足的區(qū)域,在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域,然后用公式,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,對點訓練4(1)(2017福建莆田一模)從區(qū)間(0,1)中任取兩個數,作為直角三

13、角形兩直角邊的長,則所取得的兩個數使得斜邊長不大于1的概率是() (2)(2017廣東江門一模)ABCD-A1B1C1D1是棱長為2的正方體,AC1,BD1相交于點O,在該正方體內(含正方體表面)隨機取一點M,OM1的概率P=(),答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,答案: (1)A(2)B,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,思考如何把看似與幾何概型無關的知識轉化成與幾何概型有關的問題? 解題心得處理幾何概型與非幾何知識的綜合問題的關鍵是,通過轉化,將某一事件所包含的基本事件用“長度”“角度”“面積”“體積”

14、等表示出來.如把這兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標,這樣基本事件就構成了平面上的一個區(qū)域,進而轉化為面積的度量來解決.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,對點訓練5(1)(2017河北武邑中學一模,理10)在區(qū)間-,內隨機取兩個數分別記為a,b,則函數f(x)=x2+2ax-b2+2有零點的概率為() (2)任取k-1,1,直線l:y=kx+3與圓C:(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N兩點,則|MN|2 的概率為 (),答案: (1)B(2)A 解析: (1)f(x)有零點,則=4a2-4(-b2+2)0,即a2+b22,以a為橫軸,b為縱軸,則(a,b)構成以原

15、點為中心,邊長為2的正方形(邊與坐標軸平行),面積為S=(2)2=42,滿足a2+b2<2的區(qū)域是圓面,面積為S=2,因此所求概率為,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,例8從區(qū)間0,1隨機抽取2n個數x1,x2,,xn,y1,y2,,yn,構成n個數對(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn),其中兩數的平方和小于1的數對共有m個,則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為(),答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,思考依據題意如何用隨機模擬的方法求圓周率的近似值? 解題心得將看作未知數表示出四分之一的圓面

16、積,根據幾何概型的概率公式,四分之一的圓面積與矩形面積之比等于m與n之比,從而用m,n表示出的近似值.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,對點訓練6 如圖所示,矩形的長為6,寬為4,在矩形內隨機地撒300粒黃豆,數得落在橢圓外的黃豆為96粒,以此試驗數據為依據可以估計橢圓的面積為() A.7.68 B.8.68C.16.32D.17.32,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,1.古典概型計算三步曲: 第一,判斷試驗是不是等可能的;第二,本試驗的基本事件有多少個;第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少個. 2.確定古典概型基本事件的方法: (1)當基本

17、事件總數較少時,可列舉計算; (2)利用計數原理、排列與組合求基本事件的個數. 3.轉化思想在幾何概型中的應用: 很多幾何概型往往要通過一定的手段才能轉化到幾何度量值的計算上來,在解決問題時,要善于根據問題的具體情況進行轉化,這種轉化策略是解決幾何概型試題的關鍵.如建立坐標系將試驗結果和點對應,利用幾何概型概率公式計算.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,1.古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性,一定要注意在計算基本事件總數和事件包含的基本事件個數時,它們是不是等可能的. 2.解決幾何概型問題時,有兩點容易造成失分: (1)不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型; (2)利用幾何概型的概率公式時,忽視事件是否等可能.,