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2012高考數(shù)學(xué) 考前沖刺第二部分方法十一 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法

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1、 方法十一、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法 等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化,把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。歷年高考,等價(jià)轉(zhuǎn)化思想無處不見,我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識(shí),將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力,提高思維能力和技能、技巧。 轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的,才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果。非等價(jià)轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的,要對(duì)結(jié)論進(jìn)行必要的修正(如無理方程化有理方程要求驗(yàn)根),它能給人帶來思維的閃光點(diǎn),找到解決問題的突破口。我們在應(yīng)用時(shí)一定要注意轉(zhuǎn)

2、化的等價(jià)性與非等價(jià)性的不同要求,實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)確保其等價(jià)性,保證邏輯上的正確。 著名的數(shù)學(xué)家,莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時(shí)提出:“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”。數(shù)學(xué)的解題過程,就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程。 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性。在應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時(shí),沒有一個(gè)統(tǒng)一的模式去進(jìn)行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;它可以在宏觀上進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,如在分析和解決實(shí)際問題的過程中,普通語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯;它可以在符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)施轉(zhuǎn)換,即所說的恒等變形。消去法、換元法、數(shù)

3、形結(jié)合法、求值求范圍問題等等,都體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化??梢哉f,等價(jià)轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性,我們要合理地設(shè)計(jì)好轉(zhuǎn)化的途徑和方法,避免死搬硬套題型。 在數(shù)學(xué)操作中實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí),我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則,即把我們遇到的問題,通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理;或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問題,變成比較簡單的問題,比如從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式、從分式到整式…等;或者比較難以解決、比較抽象的問題,轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題,以便準(zhǔn)確把握問題的求解過程,比如數(shù)形結(jié)合法;或者從

4、非標(biāo)準(zhǔn)型向標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。按照這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作,轉(zhuǎn)化過程省時(shí)省力,有如順?biāo)浦?,?jīng)常滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,可以提高解題的水平和能力。 例1. 若x、y、z∈R且x+y+z=1,求(-1)( -1)( -1)的最小值。 【分析】由已知x+y+z=1而聯(lián)想到,只有將所求式變形為含代數(shù)式x+y+z,或者運(yùn)用均值不等式后含xyz的形式。所以,關(guān)鍵是將所求式進(jìn)行合理的變形,即等價(jià)轉(zhuǎn)化。 【注】對(duì)所求式進(jìn)行等價(jià)變換:先通分,再整理分子,最后拆分。將問題轉(zhuǎn)化為求++的最小值,則不難由平均值不等式而進(jìn)行解決。此題屬于代數(shù)恒等變形題型,即代數(shù)式在形變中保持值不變。 例2. 設(shè)x、y∈R且3x+2

5、y=6x,求x+y的范圍。 【分析】 設(shè)k=x+y,再代入消去y,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解時(shí)求參數(shù)k范圍的問題。其中要注意隱含條件,即x的范圍。 【解】由6x-3x=2y≥0得0≤x≤2。 設(shè)k=x+y,則y=k-x,代入已知等式得:x-6x+2k=0 , 即k=-x+3x,其對(duì)稱軸為x=3。 由0≤x≤2得k∈[0,4]。 所以x+y的范圍是:0≤x+y≤4。 【另解】 數(shù)形結(jié)合法(轉(zhuǎn)化為解析幾何問題): 由3x+2y=6x得(x-1)+=1,即表示如圖所示橢圓,其一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。x+y的范圍就是橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方。由圖可知最小值是0,距離最大的點(diǎn)是以原

6、點(diǎn)為圓心的圓與橢圓相切的切點(diǎn)。設(shè)圓方程為x+y=k,代入橢圓中消y得x-6x+2k=0。由判別式△=36-8k=0得k=4,所以x+y的范圍是:0≤x+y≤4。 【注】本題運(yùn)用多種方法進(jìn)行解答,實(shí)現(xiàn)了多種角度的轉(zhuǎn)化,聯(lián)系了多個(gè)知識(shí)點(diǎn),有助于提高發(fā)散思維能力。此題還可以利用均值換元法進(jìn)行解答。各種方法的運(yùn)用,分別將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為了其它問題,屬于問題轉(zhuǎn)換題型。 例3. 求值:ctg10°-4cos10° 【分析】分析所求值的式子,估計(jì)兩條途徑:一是將函數(shù)名化為相同,二是將非特殊角化為特殊角。 【解一】ctg10°-4cos10°=-4cos10°= == ==== (基本過程:

7、切化弦→通分→化同名→拆項(xiàng)→差化積→化同名→差化積) 【解二】ctg10°-4cos10°=-4cos10°= == == === (基本過程:切化弦→通分→化同名→特值代入→積化和→差化積) 【解三】ctg10°-4cos10°=-4cos10°= == == == (基本過程:切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式) 【注】無條件三角求值問題,是高考中常見題型,其變換過程是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。此種題型屬于三角變換型。一般對(duì),對(duì)于三角恒等變換,需要靈活運(yùn)用的是同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和差角公式、倍半角公式、和積互化公式以及萬能公式,常用的手段是:切割化

8、弦、拆角、將次與升次、和積互化、異名化同名、異角化同角、化特殊角等等。對(duì)此,我們要掌握變換的通法,活用2公式,攻克三角恒等變形的每一道難關(guān)。 例4. 已知f(x)=tgx,x∈(0, ),若x、x∈(0, )且x≠x, 求證:[f(x)+f(x)]>f() 【分析】從問題著手進(jìn)行思考,運(yùn)用分析法,一步步探求問題成立的充分條件。 【證明】[f(x)+f(x)]>f() [tgx+tgx]>tg (+)> > 1+cos(x+x)>2cosxcosx 1+cosxcosx+sinxsinx>2cosxcosx cosxcosx+sinxsinx<1 cos(x-

9、x)<1 由已知顯然cos(x-x)<1成立,所以[f(x)+f(x)]>f() S A M 【注】 本題在用分析法證明數(shù)學(xué)問題的過程中,每一步實(shí)施的都是等價(jià)轉(zhuǎn)化。此種題型屬于分析證明型。 D N C B 例5. 如圖,在三棱錐S-ABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上,M是側(cè)棱SC上的一點(diǎn),使截面MAB與底面所成角等于∠NSC。求證:SC垂直于截面MAB。 【分析】 由三垂線定理容易證明SC⊥AB,再在平面SDNC中利用平面幾何知識(shí)證明SC⊥DM。 ∴ △DCM≌△SCM ∴ ∠DMC=

10、∠SNC=Rt∠ 即 SC⊥DM 所以SC⊥截面MAB。 【注】立體幾何中有些問題的證明,可以轉(zhuǎn)化為平面幾何證明來解決,即考慮在一個(gè)平面上的證明時(shí)運(yùn)用平面幾何知識(shí)。 【專題訓(xùn)練】 1. f(x)是R上的奇函數(shù),f(x+2)=f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x,則f(7.5)等于_____。 A. 0.5 B. -0.5 C. 1.5 D. -1.5 2.設(shè)f(x)=3x-2,則f[f(x)]等于______。 A. B. 9x-8 C. x D. 3. 若m、n、p、q∈R且m+n=a,

11、p+q=b,ab≠0,則mp+nq的最大值是______。 A. B. C. D. 4. 如果復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值為______。 A. 1 B. C. 2 D. 5. 設(shè)橢圓+=1 (a>b>0)的半焦距為c,直線l過(0,a)和(b,0),已知原點(diǎn)到l的距離等于c,則橢圓的離心率為_____。 A. B. C. D. 6. 已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,SA=5,SB=4,SC=3,D為AB的中點(diǎn),E為AC的中點(diǎn),則四棱錐S-BCED的體積為_____。 A. B. 10 C. D. 【簡解】1小題:由已知轉(zhuǎn)化為周期為2,所以f(7.5)=f(-0.5)=-f(0.5),選B; 2小題:設(shè)f(x)=y(tǒng),由互為反函數(shù)的值域與定義域的關(guān)系,選C; 3小題:由mp+nq≤+容易求解,選A; 7 用心 愛心 專心

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