2012高考數(shù)學(xué)熱點集中營 熱點21 函數(shù)大題 新課標(biāo)
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1、
【兩年真題重溫】
【2011新課標(biāo)全國理,21】已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為.
(Ⅰ) 求,的值;
(Ⅱ) 如果當(dāng),且時,,求的取值范圍.
故當(dāng)時,,可得,與題設(shè)矛盾.
(iii)設(shè),此時,而,故當(dāng)時,,得,與題設(shè)矛盾.綜合得,的取值范圍為.
【評注】本題的困難是第二問的不等式問題,通過作差f(x)-=+--后,通過適當(dāng)?shù)淖儞Q把其變換為,其目的就是為了分0
2、解答題,小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,解答題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性,或方程、不等式的綜合應(yīng)用.預(yù)測2012年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值為主要考向. 【回歸課本整合】 導(dǎo)數(shù)的定義:設(shè)函數(shù)在處附近有定義,當(dāng)自變量在處有增量時,則函數(shù)相應(yīng)地有增量,如果時,與的比(也叫函數(shù)的平均變化率)有極限即無限趨近于某個常數(shù),我們把這個極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作,即. 注意:在定義式中,設(shè),則,當(dāng)趨近于時,趨近于,因此,導(dǎo)數(shù)的定義式可寫成 . 6.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù),函數(shù)在點的對應(yīng)點處有導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點x處也有導(dǎo)數(shù),且 或 7.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
3、 函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間上是增函數(shù),該區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間;若,那么函數(shù)在這個區(qū)間上是減函數(shù),該區(qū)間是函數(shù)的減區(qū)間. 2.利用導(dǎo)數(shù)研究多項式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟: 求;確定在內(nèi)符號; 若在上恒成立,則在上是增函數(shù);若在上恒成立,則在上是減函數(shù) 注意:在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值.如函數(shù)在內(nèi)連續(xù),但沒有最大值與最小值; 函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的;函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的. 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件. 函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個,而函數(shù)的極值可能不
4、止一個,也可能沒有一個. 10.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟: 由上面函數(shù)的圖象可以看出,只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進(jìn)行比較,就可以得出函數(shù)的最值了.設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則求在上的最大值與最小值的步驟如下: 求在內(nèi)的極值; 將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值p 【方法技巧提煉】 y-y=f,再根據(jù)題意求出切點. 例1 已知曲線C:,則經(jīng)過點的曲線C的切線方程是 . 解析:設(shè)經(jīng)過點P(1,2)的直線與曲線C相切于點,則由, 得在點處的斜率, 有在點處的切線的方程為. 又因為點與點P(1,2)均在曲線C上, 有,消去得,
5、解得或,于是或, 所以所求切線方程為或. 點評:此題常見的錯解:由,得, 所以所求的切線方程為,即. 錯因是此處所求的切線只說經(jīng)過P點,而沒說P點一定是切點,于是切線的斜率與不一定相等.比如(如圖)當(dāng)時,正弦曲線在點P處的切線只有一條:;而經(jīng)過點P的切線卻有兩條:與. 【名師點評】 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值及單調(diào)性問題,考生失誤在于:一是求導(dǎo)后不會因式分解成積的形式,二是由(*)式確定a的范圍不會或忽略分類討論. 3.利用導(dǎo)數(shù),如何解決函數(shù)與不等式大題 在高考題的大題中,每年都要設(shè)計一道函數(shù)大題. 在函數(shù)的解答題中有一類是研究不等式或是研究方程根的情況,基本的題目類型是研
6、究在一個區(qū)間上恒成立的不等式(實際上就是證明這個不等式),研究不等式在一個區(qū)間上成立時不等式的某個參數(shù)的取值范圍,研究含有指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)式等超越式的方程在某個區(qū)間上的根的個數(shù)等,這些問題依據(jù)基礎(chǔ)初等函數(shù)的知識已經(jīng)無能為力,就需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行解決.使用導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式和方程的基本思路是構(gòu)造函數(shù),通過導(dǎo)數(shù)的方法研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和特殊點的函數(shù)值,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推斷不等式成立的情況以及方程實根的個數(shù).因為導(dǎo)數(shù)的引入,為函數(shù)問題的解決提供了操作工具.因此入手大家比較清楚,但是深入解決函數(shù)與不等式相結(jié)合的題目時,往往一籌莫展.原因是找不到兩者的結(jié)合點,不清楚解決技巧.解題技巧
7、總結(jié)如下 (1) 當(dāng)時,令,得.當(dāng)時,,在 單調(diào)遞增;當(dāng)時,,在單調(diào)遞減,在處取得極大值. 由于所以,解得即當(dāng)且僅當(dāng)時恒成立.綜上,所求的值為1. (Ⅱ) 等價于 下面證明這個不等式成立. 由(Ⅰ)可知.則 【點評】第一問利用分類討論思想,關(guān)鍵在于對的討論;借助第一問的結(jié)論,為第二問證明不等式提供服務(wù),通過恒成立,得到不等式,是解決問題的關(guān)鍵.所以同學(xué)們必須清楚出題者的命題思路,樹立第一問為第二問的服務(wù)意識. 【新題預(yù)測演練】 1.【2012年河北省普通高考模擬考試】 (理)已知函數(shù). (Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)在處的切線方程; (Ⅱ)函數(shù)是否存在零點.若存在,求出零點的個
8、數(shù);若不存在,說明理由. (Ⅰ),,. 當(dāng)時,.又. ………..2分 則在處的切線方程為. ………..4分 (Ⅱ)函數(shù)的定義域為. 【解析】: (Ⅰ),,. 當(dāng)時,.又. ………..2分 所以在處的切線方程為. ………..4分 (Ⅱ)函數(shù)的定義域為. 當(dāng)時,,所以. 即在區(qū)間上沒有實數(shù)根. ………..6分 當(dāng)時,, 所以函數(shù)的圖象
9、在點處的切線方程為 即. ………………………… ……………… 2分 (II) =, ∵,∴ 只需討論的符號. ……………… 4分 ?。┊?dāng)>2時,>0,這時>0,所以函數(shù)在(-∞,+∞)上為增函數(shù). ⅱ)當(dāng)= 2時,≥0,函數(shù)在(-∞,+∞)上為增函數(shù). ……………… 6分 ⅲ)當(dāng)0<<2時,令= 0,解得,. 當(dāng)變化時,和的變化情況如下表: + 0 - 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ∴在,為增函數(shù),在為 減函數(shù)……………… 8分
10、 由得得 的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.………………4分 (II)若對任意, 使得恒成立, 則時,恒成立, 3.【河南省2012年普通高中畢業(yè)班高考適應(yīng)性測試】 (理)設(shè)函數(shù) (1)若x=1是的極大值點,求a的取值范圍。 (2)當(dāng)a=0,b=-1時,函數(shù)有唯一零點,求正數(shù)的值。 解: (Ⅰ)的定義域為, ,由=0,得. ∴.…………………………………………2分 ①若
11、a≥0,由=0,得x=1. 當(dāng)時,,此時單調(diào)遞增; 當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減. 是增函數(shù),所以至多有一解. 因為,所以方程(*)的解為, 代入方程組解得.…………………………………………………………………12分 (文)設(shè)函數(shù) (1)已知在點處的切線方程是求實數(shù)a,b的值。 (2)若方程有唯一實數(shù)解,求實數(shù)的值。 因為,所以方程(*)的解為 代入方程組解得.…………………………………………………………………12分 4. 【河南省鄭州市2012屆高三第二次質(zhì)量預(yù)測】 已知函數(shù). (I)當(dāng)時,求在上的最大值和最小值 (II)若函數(shù)在[1, e]上為增函數(shù)
12、,求正實數(shù)a的取值范圍.
21. 解:(Ⅰ)當(dāng)時,,
則
∴g(x)在上單調(diào)遞減,即g(x) 13、 2分
6.【北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習(xí)】
(理)設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間.
解:因為所以.
(Ⅰ)當(dāng)時, ,,
所以 .
所以曲線在點處的切線方程為. ……………4分
由得,或.
所以當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是和,
單調(diào)遞增區(qū)間. ……………12分
④當(dāng)時, 此時,,所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是.
14、 …………13分
方程有兩個不相等的實數(shù)根
,,
作差可知,
則當(dāng)時,,,在上為單調(diào)減函數(shù);
當(dāng)時,,,
在上為單調(diào)增函數(shù);
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當(dāng)且僅當(dāng)a∈(0,)時,f(x)有極小值點x1和極大值點x2,
且x1+x2=,x1x2=.
f(x1)+f(x2)=-lnx1-ax+x1-lnx2-ax+x2
=-(lnx1+lnx2)-(x1-1)-(x2-1)+(x1+x2)
=-ln(x1x2)+(x1+x2)+1=ln(2a)++1. …9分
令g(a)=ln(2a)++1,a∈(0,],
則當(dāng)a∈(0,)時,g¢(a)=-=<0,g(a)在(0,)單調(diào) 15、遞減,
所以g(a)>g()=3-2ln2,即f(x1)+f(x2)>3-2ln2. …12分
8.【唐山市2011—2012學(xué)年度高三年級第一次模擬考試】
(理)設(shè)函數(shù)
(I )討論f(x)的單調(diào)性;
(II) ( i )若證明:當(dāng)x>6 時,
(ii)若方程f(x)=a有3個不同的實數(shù)解,求a的取值范圍.
解:
(Ⅰ)f¢(x)=-e-x[x2-(a+2)x+2a]=-e-x(x-2)(x-a). …1分
(1)若a=2,則f¢(x)≤0,f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減. …2分
(2)若0≤a<2,當(dāng)x變化時,f¢(x)、f(x)的變化 16、如下表:
x
(-∞,a)
a
(a,2)
2
(2,+∞)
f¢(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
極小值ae-a
↗
極大值(4-a)e-2
↘
此時f(x)在(-∞,a)和(2,+∞)單調(diào)遞減,在(a,2)單調(diào)遞增. …3分
(3)若a>2,當(dāng)x變化時,f¢(x)、f(x)的變化如下表:
x
(-∞,2)
2
(2,a)
a
(a,+∞)
f¢(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
極小值(4-a)e-2
↗
極大值ae-a
↘
此時f(x)在(-∞,2)和(a,+∞)單調(diào)遞減,在(2,a)單調(diào)遞增. 17、 …4分
(II )討論的單調(diào)性.
【命題分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何含義和函數(shù)的單調(diào)性,考查學(xué)生利用求導(dǎo)研究函數(shù)性質(zhì)的解題能力和分類討論思想的應(yīng)用。第一問利用導(dǎo)數(shù)的幾何含義確定直線的斜率進(jìn)行求解;第二問利用求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,注意對產(chǎn)生a的討論。
解:
(Ⅰ)當(dāng)a=0時,f(x)=,f¢(x)=-,
f(1)=,f¢(1)=,
曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=(x-1)+,即y=x. …4分
(Ⅱ)f¢(x)==-. …5分
(1)若a=2,則f¢(x)≤0,f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減. …7分
(2)若a<2,則
當(dāng)x∈(- 18、∞,a)或x∈(2,+∞)時,f¢(x)<0,當(dāng)x∈(a,2)時,f¢(x)>0,
此時f(x)在(-∞,a)和(2,+∞)單調(diào)遞減,在(a,2)單調(diào)遞增.
(3)若a>2,則
當(dāng)x∈(-∞,2)或x∈(a,+∞)時,f¢(x)<0,當(dāng)x∈(2,a)時,f¢(x)>0,
此時f(x)在(-∞,2)和(a,+∞)單調(diào)遞減,在(2,a)單調(diào)遞增. …12分
9. 【2012年河南鄭州高中畢業(yè)年級第一次質(zhì)量預(yù)測】
理設(shè)函數(shù).
綜上所述,實數(shù)p的取值范圍為. …………12分
(文)設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
10. 【2012年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(二 19、)】
(理)已知函數(shù),∈R.
(I)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時,≤恒成立,求的取值范圍.
解:(Ⅰ)的定義域為,
若則在上單調(diào)遞增,……………2分
若則由得,當(dāng)時,當(dāng)
時,,在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.……………4分
(Ⅱ),
(文)已知函數(shù),∈R.
(I)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時,≤恒成立,求的取值范圍.
解:(Ⅰ)的定義域為,
若則在上單調(diào)遞增,……………2分
若則由得,當(dāng)時,當(dāng)
時,,在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時, 20、 在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.……………4分
(Ⅱ),
11. 【北京市朝陽區(qū)2011-2012學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試】
(理)已知函數(shù)(,為正實數(shù)).
(Ⅰ)若,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若函數(shù)的最小值為,求的取值范圍.
解:(Ⅰ)當(dāng)時,,
則. ………………………………………………… 2分
所以.又,因此所求的切線方程為. ………… 4分
(Ⅱ). ………………………… 5分
(1)當(dāng),即時,因為,所以,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增. ………………………………………………………………… 6分
(文)設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時, 21、試求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
(Ⅱ)當(dāng)時,試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
解: (Ⅰ)函數(shù)的定義域為. ………………………………………1分
當(dāng)時, ,因為, …3分
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則當(dāng)時,函數(shù)取得最大值
. ……………………………………………………………5分
12. 【北京市東城區(qū)2011-2012學(xué)年度高三數(shù)第一學(xué)期期末檢測】
(理)已知函數(shù),其中.
由于 ,可設(shè)方程①的兩個根為,,
由①得,
(文)已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍.
解:(Ⅰ)當(dāng)時,,.
22、 ,. ………3分
所以所求切線方程為即. ……5分
(Ⅱ).
令,得. ………7分
由于,,的變化情況如下表:
+
0
—
0
+
單調(diào)增
極大值
單調(diào)減
極小值
單調(diào)增
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和. …………9分
要使在區(qū)間上單調(diào)遞增,
應(yīng)有 ≤ 或 ≥,
解得≤或≥. …………11分
又 23、 且, …………12分
所以 ≤.
即實數(shù)的取值范圍 . …………13分
13. 【保定市2011—2012學(xué)年度第一學(xué)期高三期末調(diào)研考試】
(3)①當(dāng)時
法一:因為函數(shù)在單調(diào)遞增,所以其最小值為,而函數(shù)在的所以,下面判斷的關(guān)系,即判斷的關(guān)系,
令
單調(diào)遞增
使得
上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增……………………………..10分
所以
即也即
所以函數(shù)圖象總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)……… 24、……..12分
令,則
在單調(diào)遞增…………………………….10分
,即的最大值為0………………………….12分
14. 【河北省石家莊市2012屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(一)】
(理)已知函數(shù).
(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
也可得證命題成立.………………10分
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義有
對任意,
.…………12分
(文)已知函數(shù)
(I)設(shè)=-1,求函數(shù)的極值;
(II)在(I)的條件下,若函數(shù)(其中為的導(dǎo)
數(shù))在區(qū)間(1,3)上不是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
解:(Ⅰ)當(dāng), ,
,………………2分
25、 的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,),單調(diào)遞增區(qū)間為(, ………4分
(Ⅱ)
令
又
令解得
(文)已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若不等式在區(qū)間上恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
16. 【山東省萊蕪市2012屆高三上學(xué)期期末檢測】
已知函數(shù),(K常數(shù))
(1) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2) 若恒成立,求K的取值范圍。
解析:(1)由可得, …………1分
∵的定義域為(0,+),
∴當(dāng)時,,在(0,+)是增函數(shù)?!?分
當(dāng)k>0時,由可得,
解析:(1)由可得, ……………………1分
∵的定義域為(0,+),
∴當(dāng)時,,在 26、(0,+)是增函數(shù)?!?分
當(dāng)k>0時,由可得,
∴f(x)在(0,)是增函數(shù),在(,+)是減函數(shù)?!?分
綜上,當(dāng)時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,+);
當(dāng)K>0時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,),單調(diào)減區(qū)間是(,+).……8分
(2) 由恒成立,可得恒成立,.
即,∴恒成立。 ………………………10分
∵
∵ ………………………11分
17.【山東省青島市2012屆高三期末檢測】
(Ⅰ)如果函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍;
解得 ……………………………12分
43
用心 愛心 專心
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