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1、利用期望與方差的性質(zhì)求期望或方差,2,E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ),,,E (X Y ) = E (X )E (Y ) .,,3,性質(zhì) 4 的逆命題不成立，即,若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互獨(dú)立.,反例,注,4,但,5,若X 0，且EX 存在，則EX 0。,推論: 若 X Y，則 EX EY。,證明：設(shè) X 為連續(xù)型，密度函數(shù)為f (x), 則 由X 0 得：,所以,證明：由已知 Y - X0，則 E(Y - X) 0。 而E(Y - X) = E(Y)-E(X), 所以，E(X) E(Y)。,,,,,6,性質(zhì)2和3,性質(zhì)4,例1.設(shè)

2、XN(10,4)，YU1,5，且X與Y相互獨(dú)立，求 E(3X2XYY5)。,解：,由已知， 有 E(X)10, E(Y)3.,,7,例2.(二項(xiàng)分布 B(n,p)) 設(shè)單次實(shí)驗(yàn)成功的概率是 p，問(wèn)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，期望幾次成功？,解: 引入,則 X X1+ X2 ++ Xn 是n次試驗(yàn)中的成功次數(shù)。,因此，,這里， XB(n,p)。,,8,,例3.將4 個(gè)可區(qū)分的球隨機(jī)地放入4個(gè)盒子中,每盒容納的球數(shù)無(wú)限,求空著的盒子數(shù)的數(shù)學(xué)期望.,解一:設(shè) X 為空著的盒子數(shù), 則 X 的概率分布為,,9,解二: 再引入 X i , i = 1,2,3,4.,10,若X的取值比較分散，則方差較大.,刻劃了隨機(jī)變量的取值相對(duì)于其數(shù)學(xué)期望 的離散程度。,若X的取值比較集中，則方差較??；,Var(X)=EX-E(X)2,方差,11,注意：,1) Var(X)0，即方差是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。 2）當(dāng)X 服從某分布時(shí)，我們也稱某分布的方差為Var(X)。 方差是刻劃隨機(jī)變量取值的分散程度的一個(gè)特征。,12,方差的計(jì)算公式,常用的公式：,證明:,,13,例1. 已知 X 的密度函數(shù)為,其中 A，B 是常數(shù)，且 E( X) = 0.5.,求 A，B. (2)設(shè) Y=X2, 求 E(Y), D(Y).,14,解: (1),,,,,15,(2),f (x) = (-6x2+6x)I(0,1),