《計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)課件3數(shù)值積分法在系統(tǒng)仿真中的應(yīng)用.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)課件3數(shù)值積分法在系統(tǒng)仿真中的應(yīng)用.ppt（25頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、3.1 連續(xù)系統(tǒng)仿真中常用的數(shù)值積分法. 3.2 剛性系統(tǒng)的特點(diǎn)及算法. 3.3 實(shí)時(shí)仿真法. 3.4 分布參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)字仿真. 3.5 面向微分方程的仿真程序設(shè)計(jì). 本章小結(jié).,第三章 數(shù)值積分法在系統(tǒng)仿真中的應(yīng)用,,3.1 連續(xù)系統(tǒng)仿真中常用的數(shù)值積分法,1. 數(shù)值積分法,如果已知某一系統(tǒng)的一階向量微分方程為,對(duì)式子(3.1),數(shù)值積分可寫成統(tǒng)一的公式,（3-1）,（3-2）,幾種常用的積分法,歐拉法,歐拉法的幾何意義,改進(jìn)的歐拉法,亞當(dāng)斯法(隱式),龍格-庫(kù)塔法,亞當(dāng)斯法(顯式),,,,,,,,,,,,,,,,誤差,t,,歐拉法雖然計(jì)算精度較低，實(shí)際中很少采用， 但器推倒簡(jiǎn)單，能說(shuō)明舊夠

2、數(shù)值解法一般計(jì)算公 式的基本思想。,（3-3）,圖3.1 矩形近似及其誤差,0,歐拉法,,,,,,,,,,,t,圖3.2 歐拉折線,歐拉法的幾何意義 十分清楚。,稱為歐拉折線法。,歐拉法的幾何意義,,,,,,,,,,,,,,,,,圖3.3 梯形近似及其誤差,在推導(dǎo)時(shí)用圖中的陰影面積來(lái)近似 式(3.3)時(shí)，由于梯形公式中隱含有待求 量，通常可用歐拉法啟動(dòng)初值，算出近 似值，然后帶如微分方程，最后利用梯 形公式求出修正。為提高精度，簡(jiǎn)化計(jì) 算，只迭代一次。這樣可得改進(jìn)的歐拉 公式：,t,0,（3-8）,第一式稱為預(yù)估公式， 第二式稱為校正公式。,改進(jìn)的歐拉法,,龍格-庫(kù)塔（RK）法的一般形式為,,

3、（3-10）,（3-9）,式中,泰勒級(jí)數(shù),龍格-庫(kù)塔法,,,（3-11）,而,4階龍格-庫(kù)塔法式使用較多的一種方法，其公式如下,,,在解決積分問(wèn)題時(shí)，采用亞當(dāng)斯-貝喜霍斯顯示多步法，簡(jiǎn)稱亞當(dāng)斯法。,根據(jù)牛頓后插公式,（3-25）,（3-26）,亞當(dāng)斯法(顯式),,亞當(dāng)斯多步法的計(jì)算公式是,（3-27）,（3-28）,其中,（k=1時(shí)可得歐拉公式）,,當(dāng)k=2時(shí)，得到亞當(dāng)斯多步法的計(jì)算公式，(3-28)式各系數(shù)為,（3-29）,,故可得三階亞當(dāng)斯公式,整理上式得,（3-30）,,牛頓前插公式為,（3-32）,（3-31）,亞當(dāng)斯法(隱式),,（3-35）,（3-34）,常用的四階亞當(dāng)斯預(yù)測(cè)-校正

4、法的計(jì)算公式為,仿照顯式多法的推倒過(guò)程，得亞當(dāng)斯-摩爾頓隱式多步法 的計(jì)算公式,（3-33）,,3.2 剛性系統(tǒng)的特點(diǎn)及算法,一個(gè)剛性系統(tǒng)可以這樣描述，對(duì)于n階微分方程組,作為系統(tǒng)剛性程序的度量。,（3-36）,,當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)為剛性系統(tǒng)，或稱為stiff系統(tǒng)。對(duì)與這樣的系統(tǒng)作做 數(shù)字仿真，其最大的困惑是：積分步長(zhǎng)由最大的特征值來(lái)確定，最小的 特征值決定數(shù)值求解總的時(shí)間。,剛性系統(tǒng)在時(shí)間中的普遍性和重要性已得到廣泛的重視，這種方程的數(shù) 值解已成為常微分方程的數(shù)值研究的重點(diǎn)。,目前解剛性方程的數(shù)值方法基本分為：,顯式公式,隱式公式,預(yù)測(cè)校正,,,顯式公式常用雷納爾法。其中著眼點(diǎn)是，在保證穩(wěn)定的

5、前提下，盡 可能地?cái)U(kuò)大穩(wěn)定區(qū)域。這一方法的優(yōu)點(diǎn)是，它是顯式的，所以便于程序 設(shè)計(jì)。對(duì)一般好的方程設(shè)計(jì)。對(duì)一般條件好的方程，它就還原為四階龍 格-庫(kù)塔方法，而對(duì)剛性方程它又有增加穩(wěn)定性的好處。,眾所周知，隱式公式都是穩(wěn)定的，故都大于解描述剛性系統(tǒng)的方程 組，如隱式的龍格-庫(kù)塔法。但這種方法每計(jì)算一步都要進(jìn)行迭代，故計(jì) 算量大。在工程上使用又一定捆年。因此在解剛性方程時(shí)，常Rosenbrock 提出的半隱式龍格-庫(kù)塔法。,預(yù)測(cè)-校正型中常用的解剛性方程的方法式Gear算法。Gear首先應(yīng) 引進(jìn)剛性穩(wěn)定性的概念，它可以滿足穩(wěn)定型，而減低對(duì)h的要求。Gear 方法是一格通用的方法，它不但使用于解剛性方

6、程組，而且也適用于解 非剛性方程組。,,3.3 實(shí)時(shí)仿真法,假設(shè)仿真的連續(xù)動(dòng)力學(xué)由非線形常微分方程描述為：,（3-37）,（3-38）,對(duì)(3-37)式采用二階龍格-庫(kù)塔公式求解，其遞推方程可寫為,F為函數(shù)，外部輸入為u(t) 。,,,,,,,,,,,,,圖3.6 RK-2 的計(jì)算流程,,（1）選擇Adams多步法。 （2）合理地選擇龍格-庫(kù)塔法計(jì)算公式中的系數(shù)，使之適用于 實(shí)時(shí)仿真。,為了適用于實(shí)時(shí)仿真計(jì)算，一般經(jīng)常采用以下方法：,（3-39）,1,,,,,,,,,,,圖3.6 實(shí)時(shí)RK-2 的計(jì)算流程,其流程圖如圖3-7：,,（3-40）,下面為一個(gè)高階的龍格-庫(kù)塔法計(jì)算公式,,（3

7、）利用已經(jīng)取得的值進(jìn)行外推。,（3-41）,采用外推算法不僅會(huì)帶來(lái)附加的誤差，還要增加計(jì)算量，所以 比較下來(lái)還是選擇實(shí)時(shí)算法為佳。,,本章小結(jié),(2) 在系統(tǒng)仿真中，常用的微分方程的數(shù)值積分發(fā)有歐拉法、龍格-庫(kù)塔法和線性等分法等。數(shù)值積分法的分類方式很多，常見的有：?jiǎn)尾椒ê投嗖椒?，顯式和隱式的分法。使用這些解法時(shí)，要注意其特點(diǎn)。,(1) 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性通常是用高階微分方程或一階微分方程組來(lái) 描述的。一般講只有極少微分方程能用初等方法求得其解析解，多 數(shù)只能用近似數(shù)值求解。利用計(jì)算機(jī)求解微分方程主要使用數(shù)值積 分法，它是系統(tǒng)仿真的最基本解法。本章重點(diǎn)討論了數(shù)值積分發(fā)在 系統(tǒng)仿真中的應(yīng)用問(wèn)題。,,(3) 實(shí)時(shí)仿真解法是半實(shí)物仿真所必須滿足的條件，但并非所有的解法都適用于實(shí)時(shí)解法。應(yīng)用時(shí)，必須仔細(xì)選擇能滿足實(shí)時(shí)要求的解法和公式。 (4) 有相應(yīng)一類動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)無(wú)法用常微分法來(lái)描述，而要用偏微分方程法來(lái)描述。例如，熱傳導(dǎo)問(wèn)題、振動(dòng)問(wèn)題等，這類系統(tǒng)被稱為分布參數(shù)系統(tǒng)。這類系統(tǒng)的數(shù)值求解更難，主要的解法有差分解法和線上求解法。,本章小結(jié),