3、邊形
4、在三角形的內(nèi)角中,至少有一個角大于或等于 60°
預設學生活動 學生回答命題真 假,并說明理由。 1、2、4 為真命題,3 為假命題。命題 3 學生只需舉出反 例,命題 1、2、4 需 證明。
設計意圖 學生在說理過程中明 確:1、假命題只需要 舉出反例,真命題必 須嚴格證明；2、對比 1、2、4 三個命題的 推理過程,體會直接 證法和間接證法的區(qū) 別,引入反證法。
師:根據(jù)大家剛才的推理,第三個命題是假命題,我們只 學生敘述三個命題 需要舉出反例說明它錯誤。第 1、2、4 三個命題是真命 證明方法上的區(qū) 題,我們需要進行嚴格的證明。大家對這三個命題的證 別。
4、明方法有什么區(qū)別呢？
學生敘述完后教師總結(jié):1、2 兩個命題是直接由已知推
導出結(jié)論正確,命題 4 是從命題結(jié)論的反面出發(fā)間接證
明,這種方法就是今天我們要學習的反證法。
板書寫出課題
（二）探究問題,學習新知
師:根據(jù)剛才的推理過程,你能說出什么是反證法嗎？ 學生敘述后教師給出定義。
定義:像這種先假設命題的結(jié)論不成立,由此經(jīng)過推理 得出矛盾,由矛盾判斷所作假設不正確,從而得到原命 題成立的方法,就叫反證法。
師:下面我們結(jié)合反證法的定義,用規(guī)范的數(shù)學語言給 出命題 4 的證明過程。
例 1、求證:在三角形的內(nèi)角中,至少有一個角大于或等 于 60°.
師:在對一個
5、文字形式的命題進行證明時,首先將文字 敘述轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,寫出已知求證,如果需要畫圖還
學生敘述自己對反 證法的理解。
讓學生自己敘述 , 加 強對定義的理解
1
要畫出合適的圖形。
已知:∠Ａ,∠Ｂ,∠Ｃ是△ＡＢＣ的內(nèi)角. 求證:∠Ａ,∠Ｂ,∠Ｃ中至少有一個角大于或等于
60°.
證明:假設∠Ａ,∠Ｂ,∠Ｃ中沒有一個角大于或等 于 60
即∠Ａ＜60°,∠Ｂ＜60°,∠Ｃ＜60°
則∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＜180 °.
這與三角形內(nèi)角和等于 180°矛盾,
所以假設不正確 ,
所以原命題成立
師:根據(jù)例 1 的證明過程,結(jié)合反證法的定義,請你來概
6、括反證法的證明過程。
學生敘述后教師歸納總結(jié)。
反證法的證明過程
1、 反設:假設命題結(jié)論不成立,反面正確
2、 歸謬:由命題的反面出發(fā)推理論證,得出矛盾（與已 知、公理、定理等矛盾）
3、 結(jié)論:由矛盾判斷得出假設不成立,原命題成立 （三）思考練習,鞏固新知
師:我們已經(jīng)了解了反證法的證明過程,大家一起來完 成例 2 中命題的證明。
例 2、用反證法證明:過同一直線上的三點不能作圓 處理本例題時教師引導學生寫出已知求證,畫出圖
形,證明過程要求學生填空補充完整。
已知:點 A、 B、 C 三點在直線 l 上
求證:過 A、 B、 C 三點不能作圓
證明:假設過 A、 B
7、、 C 三點可以作一個圓。 設這個圓的圓心為 P,那么 PA=PB=PC ∵PA=PB
∴點 P 在線段 AB 的垂直平分線 m 上, ∵PA=PB
∴點 P 在線段 BC 的垂直平分線 n 上,
∴點 P 為 m 與 n 的交點,
學生跟隨教師一起 口述完成證明過 程。
練習用規(guī)范的數(shù)學 語言完成文字形式 的命題的證明。
學生嘗試總結(jié)反證 法證明過程。
學生在練習本上填 空將證明過程補充 完整,選取學生公 布答案。
在推出矛盾時學生 可能會有不同意 見,如:學生可能會 推出 m 與 n 平行,與
好好學習 天天向上
讓學生重視對數(shù)學證 明 的 規(guī)
8、范 性 與 嚴 謹 性 , 同時體會反證法 的證明過程。
進一步明確反證法的 證明過程。
這個例題的證明比較 困難 , 因此采取“挖 空”的形式讓學生補 充完整 , 降低證明難 度。
而 m⊥l,n ⊥l m、n 交于點 P 矛盾。 這與我們以前學過的“過一點有且只有一條直線與
已知直線垂直”相矛盾。
所以,過同一直線上的三點不能作圓。
教師在學生補充完整后再次總結(jié)強調(diào)反證法的證明過
程。
歸納總結(jié):反設是反證法的基礎,反設的正確與否直接
影響反證法的后續(xù)步驟；歸謬是關(guān)鍵,是反證法的核心
部分；結(jié)論是我們的最終目的。
加深學生對反證法證 明過程的理解記憶
9、。
練一練
1、思考:說出下列結(jié)論的反面:
前三個問題較簡
單,學生齊答,4、5、 強調(diào)反設的重要性
（1）. a⊥b a 不垂直于 b 6 提問,并由學生敘
（2）. a ∥ b a 不平行于 b
（3）. a ≥0 a ＜0
（4）. d 是正數(shù) d 不是正數(shù),即 d ≤0 （5）.至少有一個 一個也沒有
（6）.至多有 n 個 至少有（n+1）個
述原因。
（5）、（6）是難點, 教給學生如何正確找 出命題結(jié)論的反面
2
教師引導學生類似（5）（6)這樣的形式先將文字轉(zhuǎn)化為 數(shù)學符號表示,再找結(jié)論反面。
師:大家已經(jīng)熟悉了反證
10、法的證明過程,下面獨立完成 練習 2。
2、求證:若 a+b+c>0,則 a、b、c 中至少有一個為正數(shù)。
教師在學生完成后通過板演學生的證明過程,講解糾正 學生出現(xiàn)的問題。
師:反證法不僅可以解決數(shù)學問題,一些實際問題的解 決過程中也有反證法的影子,請看第 3 個練習。 3、你來做偵探:A、B、C三個人,A 說 B 撒謊,B 說 C 撒謊,C 說 A、B 都撒謊。則 C 必定是在撒謊,為什么？
學生討論結(jié)束后教師組織學生分享討論結(jié)果
師:雖然我們今天剛剛學習了反證法的定義,但是通過 學習你有沒有覺得它并不陌生？在你過去解決的一些 問題中有沒有用到過反證法的思維方法？
11、
試一試
你能想一個用反證法解決問題的例子嗎？ 請與你的 同桌交流,互答互評
在活動過程中教師可適當給予學生指點,可以參與到學 生活動中,幫助活動組織困難的小組舉幾個例子。 活動結(jié)束后教師選擇部分同學分享自己小組的問題和 解決辦法。
（四）課堂總結(jié),升華認識
師:今天學習的反證法和我們過去所用的證明方法有什 么不同？
總結(jié):
綜合法
直接證法
學生在練習本上獨 立完成,并找兩名 學生在黑板上演示
學生分組討論后展 示討論結(jié)果
學生以互問互答的 形式結(jié)組參與活 動。
學生思考尋找過去 所學數(shù)學知識中可 通過反證法證明的 知識點,或者在生 活中用反證法的思
12、 想解決的實際問 題,互相交流解決 辦法。
學生自由闡述本節(jié) 課學習后對反證法 的認識。
好好學習 天天向上
學生熟練反證法的過 程 , 體會規(guī)范的數(shù)學 證明過程。
通過討論讓學生體會 反證法的思維過程。
學生可以找數(shù)學知識 中的例子 , 也可以找 生活中的實例 , 將反 證法轉(zhuǎn)化為一種思維 方式,開拓學生思維, 提 高 解 決 問 題 的 能 力 , 實現(xiàn)學以致用的 目的。
總結(jié)學生學過的證明 方法 , 通過對比強調(diào) 反證法的證明過程 , 以及反證法代表的思
證明方法
結(jié)論）
分析法
間接證法 ---- 反證法 （反設、歸謬、
維方
13、式 , 提升學生能 力。
數(shù)學是思維的體操,反證法更體現(xiàn)了一種思維的藝 術(shù),我們要能夠從不同的角度去思考問題,正向思維和 逆向思維都是我們解決問題不可缺少的思維方式。
英國近代數(shù)學家哈代曾經(jīng)這樣稱贊它:“反證法是 數(shù)學家最有利的一件武器,比起象棋開局時犧牲一子以 取得優(yōu)勢的讓棋法,它還要高明。象棋對弈者,不外犧牲 一卒或頂多一子,數(shù)學家索性把全局拱手讓予對方?！?
數(shù)學上有許多經(jīng)典證明,比如,質(zhì)數(shù)有無限多個的 證明,就采用了反證法,生活中也還有很多可以用反證 法的思維模式解決的問題。
（五）推薦作業(yè)
1、課后實踐:收集一兩個反證法在生活中應用的例子, 并相互交流 .
將
14、學習延伸至課下 , 激發(fā)學生興趣。 但本節(jié)課在課本中要 求不高 , 沒有作業(yè)及 練習 , 因此以推薦作 業(yè)的方式試圖達到兩 個目的:1、培養(yǎng)學生
3
2、閱讀拓展:查找資料,閱讀更多反證法解決問題的經(jīng) 典實例.
好好學習 天天向上 的數(shù)學閱讀習慣；2、 開拓思維,提高能力。
板書設計
反證法
反證法的證明過程 1、 反設
2、 歸謬
3、 結(jié)論
舉反例
直接證明
間接證明
敎學反思
1、對反證法地位的認識:反證法不僅能提高學生的演繹推理能力,而且在后繼的學習中有著不可 忽視的作用,雖然在初中教材中所占篇幅很少,但本人
15、認為不應輕視,應讓學生掌握其精髓,合理的去 運用。
2、敎學目標和敎學內(nèi)容設計:在設計敎學目標時,我從三個方面即知識技能目標、過程性目標和 情感態(tài)度目標進行了詳細準確的定位,體現(xiàn)了“立足雙基,著眼發(fā)展”的教育理念。本節(jié)課的敎學內(nèi) 容以課本的基本內(nèi)容為藍本 ,結(jié)合學生的認知規(guī)律和生活經(jīng)驗 ,改造和充實所教的內(nèi)容 ,體現(xiàn)了學數(shù) 學、用數(shù)學的思想,努力使課堂敎學充滿趣味性、挑戰(zhàn)性,讓學生感知數(shù)學來源于生活,同時又服務于 生活,讓他們感受到反證法思想離自己很近,反證法很有用。
3、課堂活動組織:課堂上教師把學習的主動權(quán)交給學生,讓學生學會參與、學會發(fā)現(xiàn)、學會應用、 學會創(chuàng)新。在組織討論時應把足夠的時間給學生,不僅僅是為了討論而討論,學生應在討論中體會問 題的實質(zhì),并最終形成自己的認識。練習時要求學生書寫規(guī)范,培養(yǎng)良好的做題習慣。
4、抓住重點,突破難點:反證法的重點是能寫出結(jié)論的反面,同時也是難點。在用反證法證明的 命題時經(jīng)常會出現(xiàn)文字命題 ,一定要先用數(shù)學語言寫出“已知”和“求證” , 然后再按一般步驟證 明。讓學生學會用規(guī)范的數(shù)學語言對命題進行證明也是本節(jié)課敎學的一項重要內(nèi)容。
4
人教版數(shù)學九年級初三上冊 反證法 名師教學教案 教學設計反思
