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1、考點(diǎn)41 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 解答題 1. （2011·福建卷理科·Ｔ17）(本小題滿分13分)已知直線：y=x+m，m∈R. （I）若以點(diǎn)M（2,0）為圓心的圓與直線相切與點(diǎn)P，且點(diǎn)P在y軸上，求該圓的方程； （II）若直線關(guān)于x軸對(duì)稱的直線為，問(wèn)直線與拋物線C：x2=4y是否相切？說(shuō)明理由. 【思路點(diǎn)撥】（1）由題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形求出圓的半徑，然后寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）由的方程求得的方程，將的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，得一元二次方程，然后依據(jù)對(duì)應(yīng)判別式的正負(fù)，來(lái)判定兩者能否相切. 【精講精析】解法1：（I）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為. 因?yàn)樗? 解得，即點(diǎn)坐標(biāo)為.

2、 從而圓的半徑 故所求圓的方程為. (Ⅱ)因?yàn)橹本€的方程為，所以直線的方程為. 由得. 當(dāng)，即時(shí)，直線與拋物線C相切； 當(dāng)，即時(shí)，直線與拋物線C不相切. 綜上，當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相切；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線C不相切. 解法2：（I）設(shè)所求圓的半徑為，則圓的方程可設(shè)為. 依題意，所求圓與直線相切于點(diǎn)，則 解得 所以所求圓的方程為. （II）同解法1. 2. （2011·福建卷文科·Ｔ18）如圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點(diǎn)A. （Ⅰ）求實(shí)數(shù)b的值； （II）求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程. 【思路點(diǎn)撥】（1）直線與拋物線方

3、程聯(lián)立，然后相切即判別式，解之得b的值； （2）求出A點(diǎn)坐標(biāo)，找出圓心和半徑，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可. 【精講精析】(1)由得. 因?yàn)橹本€與拋物線C相切，所以， 解得. (2)由（1）可知，故方程即為， 解得.將其代入，得 故點(diǎn)A（2,1）.因?yàn)閳AA與拋物線C的準(zhǔn)線相切， 所以圓A的半徑等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線的距離，即， 所以圓A的方程為 3.（2011·江蘇高考·Ｔ18）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M、N分別是橢圓的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k （1）當(dāng)直線PA

4、平分線段MN，求k的值； （2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d； （3）對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB 【思路點(diǎn)撥】本題考查的是直線與橢圓的位置關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是正確的聯(lián)立方程結(jié)合已知進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解. 【精講精析】由題意知，，故,所以線段MN的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于直線PA平分線段MN，故直線PA過(guò)線段MN的中點(diǎn)，又直線PA過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以. （2）直線PA的方程為，代入橢圓方程得，解得，因此,于是,直線AC的斜率為，所以直線AB的方程為，因此. （3）解法一：將直線PA的方程為代入，解得，記，則，于是故直線AB的斜率為，直線AB的方程為，代入橢圓方程得，解得，或，因此，于

5、是直線PB的斜率為， 因此，所以. 解法二：設(shè)，則，.設(shè)直線PB，AB的斜率分別為.因?yàn)镃在直線AB上，所以 ，從而 ， 因此，所以. 4.（2011·浙江高考理科·Ｔ8）已知橢圓（>>0）與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，的一條漸近線與以 的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于兩點(diǎn)，若 恰好將線段三等分，則 （A） （B） 13 （C） （D）2 【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵是找出關(guān)于的關(guān)系建立方程組從而求解. 【精講精析】選C. 解法一：由雙曲線＝1知漸近線方程為，又∵橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，∴橢圓方程可化為＋＝，聯(lián)立直線與橢圓方程消得，，又∵將線段AB三等分，∴，

6、解之得. 解法二：由雙曲線＝1知漸近線方程為,設(shè)漸近線與橢圓（>>0）的交點(diǎn)分別為,則,即,又由在上,所以有,① 又由橢圓（>>0）與雙曲線有公共的焦點(diǎn)可得,② 由①②解得,,故選C. 5.（2011·北京高考理科·T19）(14分)已知橢圓.過(guò)點(diǎn)作圓的切線交橢圓G于A,B兩點(diǎn). （Ⅰ）求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率； （Ⅱ）將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值. 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；（Ⅱ）先討論切線斜率不存在時(shí)的兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，聯(lián)立切線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可表示出|AB|，再求|AB|的最大值. 【精講精析】（

7、Ⅰ）由已知得，所以，所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為. （Ⅱ）由題意知，. 當(dāng)m=1時(shí)，切線的方程為x=1，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為，此時(shí)； 當(dāng)m=-1時(shí)，同理可得； 當(dāng)|m|>1時(shí)，設(shè)切線的方程為. 由得. 設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為. 又由與圓相切，得，即. 所以 . 由于當(dāng)時(shí)，， ， 當(dāng)且當(dāng)時(shí)，.所以|AB|的最大值為2. 6.（2011·北京高考文科·T19）(14分)已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，斜率為1的直線與橢圓G交于A,B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形PAB，頂點(diǎn)為. （Ⅰ）求橢圓G的方程； （Ⅱ）求的面積. 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）利用a,b,c的關(guān)系及

8、離心率求出a,b，代入標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，然后利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求，整體代入. 【精講精析】（Ⅰ）由已知得，解得. 又，所以橢圓G的方程為. （II）設(shè)直線的方程為，由得，…①. 設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為，AB中點(diǎn)為，則 . 因?yàn)锳B是等腰的底邊，所以.所以PE的斜率，解得. 此時(shí)方程①為，解得，所以.所以. 此時(shí)，點(diǎn)到直線AB：的距離， 所以的面積. 7.（2011·江西高考理科·Ｔ20）是雙曲線E：上一點(diǎn)，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率之積為. （1）求雙曲線的離心率； （2）過(guò)雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A，

9、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線上一點(diǎn)，滿足，求的值. 【思路點(diǎn)撥】（1）表示出直線PM，PN的斜率，根據(jù)直線PM，PN的斜率之積為，得，進(jìn)而求得離心率. （2）首先根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系結(jié)合，將C點(diǎn)坐標(biāo)用A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái)，再將C點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程，即得的關(guān)系式，從而求得的值. 【精講精析】 8.（2011·江西高考文科·Ｔ19）已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于（）兩點(diǎn)，且． （1）求該拋物線的方程； （2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值． 【思路點(diǎn)撥】（1）首先將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可得，，再結(jié)合拋物線的定義可求出P的值.（2

10、）結(jié)合第一問(wèn)所求，解出A,B坐標(biāo)，結(jié)合條件式解出C點(diǎn)的坐標(biāo)，將其帶入拋物線方程可得的值. 【精講精析】解析：（1）直線AB的方程是 所以：，由拋物線定義得：，所以p=4， 拋物線方程為： （2） 由p=4，化簡(jiǎn)得，從而,從而A(1,),B(4,) 設(shè)=，又因?yàn)椋?（4），即，解得 9.（2011·陜西高考文科·T17）（本小題滿分12分） 設(shè)橢圓: 過(guò)點(diǎn)（0，4），離心率為． （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）求過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)． 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由橢圓過(guò)已知點(diǎn)和橢圓離心率可以列出方程組，解方程組即可，也可以分步求解；（Ⅱ）直線方程和橢圓方程

11、組成方程組，可以求解，也可以利用根與系數(shù)關(guān)系；然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解． 【精講精析】（Ⅰ）將點(diǎn)（0，4）代入的方程得, ?∴b=4, 又 得，即， ?∴ ?∴的方程為 （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為， 設(shè)直線與Ｃ的交點(diǎn)為A，B，將直線方程代入Ｃ的方程，得 ，即，解得，， AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，， 即所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為． 注：用韋達(dá)定理正確求得結(jié)果，同樣給分． 10.（2011·浙江高考理科·Ｔ21）（本題滿分15分）已知拋物線＝，圓的圓心為點(diǎn)M （Ⅰ）求點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的距離； （Ⅱ）已知點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)

12、，若過(guò)M，P兩點(diǎn)的直線垂直于AB，求直線的方程. 【思路點(diǎn)撥】（１）利用拋物線的幾何性質(zhì)可直接解決；（２）考查直線與拋物線、圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，利用＂過(guò)M，P兩點(diǎn)的直線垂直于AB＂這一幾何條件建立關(guān)系式即可解出． 【精講精析】 （Ⅰ）解：由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為：所以圓心M（0,4）到拋物線的距離是 （Ⅱ）解：設(shè)P(x0, x02)，A（）B（），由題意得設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓C2的切線方程為y-x0=k(x- x0) 即， ① 則 即 設(shè)PA，PB的斜率為，則是上述方程的兩根，所以 ， 將①代入

13、得， 由于是此方程的根，故所以 而 由MP⊥AB,得，解得 即點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以直線的方程為. 11.（2011·浙江高考文科·Ｔ22）(本題滿分15分)如圖，設(shè)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做圓：的兩條切線，交直線：于兩點(diǎn). （Ⅰ）求的圓心到拋物線 準(zhǔn)線的距離； （Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使線段被拋物線在點(diǎn)處的切線平分？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【思路點(diǎn)撥】（１）小題利用拋物線的幾何性質(zhì)可直接解決； （２）寫(xiě)出三切線方程，求出及拋物線在點(diǎn)處的切線與交點(diǎn)的坐標(biāo)即可找出關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系． 【精講精析】 （Ⅰ）解：由題意可知，拋物線C1的準(zhǔn)線方程為： 所以圓心M到

14、拋物線C1準(zhǔn)線的距離為 (Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為()，拋物線C1在點(diǎn)P處的切線交直線于點(diǎn)D． 再設(shè)A,B,D的橫坐標(biāo)分別為 過(guò)點(diǎn)P()的拋物線C1的切線方程為： （1） 當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)與圓的切線PA為：. 可得． 當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)與圓的切線為為： 可得． 所以． 設(shè)切線PA.PB的斜率為，則 （2） （3） 將分別代入（1），（2），（3），得 從而 又， 即 同理 所以是方程的兩個(gè)不相等的根，從而 ， 因?yàn)椋? 所以即. 從而 進(jìn)而得 綜上所述，存在點(diǎn)P滿足題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為