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2011-2012年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 第二章數(shù)列(含解析)新人教版必修5

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1、數(shù)列 1.(2012·重慶高考卷·T1·5分)在等差數(shù)列中,,則的前5項(xiàng)和= A.7 B.15 C.20 D.25 [答案]B [解析]從 [點(diǎn)評]考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及性質(zhì),屬基礎(chǔ)題. 2.(2012·四川高考卷·T12·5分)設(shè)函數(shù),是公差為的等差數(shù)列,,則( ) A、 B、 C、 D、 [答案]D [解析]∵數(shù)列{an}是公差為的等差數(shù)列,且 ∴ ∴ 即 得 ∴ [點(diǎn)評]本題難度較大,綜合性很強(qiáng).突出考查了等

2、差數(shù)列性質(zhì)和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合使用,需考生加強(qiáng)知識系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)化學(xué)習(xí). 另外,隱蔽性較強(qiáng),需要考生具備一定的觀察能力. 3.(2012·安徽高考卷·T4·5分)公比為2的等比數(shù)列{} 的各項(xiàng)都是正數(shù),且=16,則( ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 【答案】B 【解析】利用等比數(shù)列性質(zhì).設(shè)等比數(shù)列的公比為,,則,所以,故. 【技巧點(diǎn)撥】等比數(shù)列運(yùn)算是注意整體運(yùn)算和等比數(shù)列的運(yùn)用,這樣可以提高解題效率,同時(shí)還應(yīng)該注意運(yùn)用選擇題的題型特征,廣開思路采用多種方法和技巧,快速突破.

3、 3.(2011年四川)數(shù)列的首項(xiàng)為,為等差數(shù)列且. 若,,則 A.0 B.3 C.8 D.11 【答案】B 【解析】由已知知由疊加法 4.(2011年四川)已知定義在上的函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),.設(shè)在上的最大值為,且的前項(xiàng)和為,則 A.3 B. C.2 D. 【答案】D 【解析】由題意,在上, 5.(2011年上海)設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的無窮數(shù)列,是邊長為的矩形面積(),則為等比數(shù)列的充要條件為 A.是等比數(shù)列。 B.或是等比數(shù)列。 C.和均是等比數(shù)列。 D.和均是等比數(shù)列,且公比相同

4、。 【答案】D 6.(2011年全國大綱)設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,公差,,則 A.8 B.7 C.6 D.5 【答案】D 7.(2011年江西) 已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和滿足:,且=1.那么= A.1 B.9 C.10 D.55 【答案】A 8.(2011年福建)已知函數(shù)f(x)=e+x,對于曲線y=f(x)上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個點(diǎn)A,B,C,給出以下判斷: ①△ABC一定是鈍角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中,正確的判斷是

5、 A.①③ B.①④ C. ②③ D.②④ 【答案】B 9.(2012·北京高考卷·T10·5分)已知{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,若a1= ,S2=a3,則a2=_________,Sn=_________________. [答案]1, [解析]本題考查等差數(shù)列的基本計(jì)算,難度不大,因?yàn)? ,所以 [點(diǎn)評]等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式是必須要掌握的內(nèi)容,并會熟練應(yīng)用. 10.(2011年湖南)設(shè)是等差數(shù)列,的前項(xiàng)和,且, 則= . 【答案】25 11.(2011年重慶)在等差數(shù)列中,,則__________ 【答

6、案】74 12.(2011年北京)在等比數(shù)列{an}中,a1=,a4=-4,則公比q=______________;____________?!? 【答案】 13.(2011年安徽)已知的一個內(nèi)角為120o,并且三邊長構(gòu)成公差為4的 等差數(shù)列,則的面積為_______________. 【答案】 14.(2012·四川高考卷·T20·12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且對一切正整數(shù)都成立。 (Ⅰ)求,的值; (Ⅱ)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,當(dāng)為何值時(shí),最大?并求出的最大值。 [解析]取n=1,得 ① 取n=2,得 ② 又②-①,得 ③ (

7、1)若a2=0, 由①知a1=0, (2)若a2, ④ 由①④得: (2)當(dāng)a1>0時(shí),由(I)知, 當(dāng) , (2+)an-1=S2+Sn-1 所以,an= 所以 令 所以,數(shù)列{bn}是以為公差,且單調(diào)遞減的等差數(shù)列. 則 b1>b2>b3>…>b7= 當(dāng)n≥8時(shí),bn≤b8= 所以,n=7時(shí),Tn取得最大值,且Tn的最大值為 T7= [點(diǎn)評]本小題主要從三個層面對考生進(jìn)行了考查. 第一,知識層面:考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、對數(shù)等基礎(chǔ)知識;第二,能力層面:考查思維、運(yùn)算、分析問題和解決問題的能力;第三,數(shù)學(xué)思想:考查方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思

8、想. 15.(2012·湖南高考卷·T19·12分) 已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),記A(n)=a1+a2+……+an,B(n)=a2+a3+……+an+1,C(n)=a3+a4+……+an+2,n=1,2,…… [來^&源:中教網(wǎng)@~%] (1) 若a1=1,a2=5,且對任意n∈N﹡,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成等差數(shù)列,求數(shù)列{ an }的通項(xiàng)公式. (2) 證明:數(shù)列{ an }是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是:對任意,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列. 【解析】 解(1)對任意,三個數(shù)是等差數(shù)列,所以             

9、 即亦即 故數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列.于是 (Ⅱ)(1)必要性:若數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列,則對任意,有 由知,均大于0,于是           即==,所以三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列. (2)充分性:若對于任意,三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列, 則    , 于是得即     由有即,從而. 因?yàn)?,所以,故?shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列, 綜上所述,數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是:對任意n∈N﹡,三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列. 【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明.第一問由等差數(shù)列定義可得;第二問要從充分性、必要性兩

10、方面來證明,利用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)易得證. 16.(2012·重慶高考卷·T21·12分)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,其中. (I)求證:是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列; (II)若,求證:,并給出等號成立的充要條件. [解析] (Ⅰ)證明: (II)證明:當(dāng)n=1或n=2時(shí),易知成立, 當(dāng)時(shí),成立; 當(dāng)時(shí), ①當(dāng)時(shí),上面不等式可化為 設(shè) ②當(dāng)時(shí),,由已證結(jié)論得: 綜上所述,當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)n=1,2或時(shí)等號成立. [點(diǎn)評]考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、等比數(shù)列的證明,求和公式及不等式的證明,考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,以及對分類討論思想、函數(shù)思想等常用數(shù)學(xué)思

11、想方法的熟練程度,充分體現(xiàn)了數(shù)列的函數(shù)性,難度很大,平時(shí)復(fù)習(xí)中不宜過多涉及. 17.(2012·安徽高考卷·T21·13分) 數(shù)列滿足:. (I)證明:數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是; (II)求的取值范圍,使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列. 【解題指導(dǎo)】本題考查數(shù)列概念及其性質(zhì),不等式及其性質(zhì),充要條件的意義,數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查綜合運(yùn)用知識分析問題的能力,推理論證和運(yùn)算求解的能力. 【解析】(I)必要條件 當(dāng)時(shí),數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列; 充分條件 數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列. 得:數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是. (II)由(I)得:. ①當(dāng)時(shí),,不合題意

12、; ②當(dāng)時(shí),, , . 當(dāng)時(shí),與同號, 由, . 當(dāng)時(shí),存在,使與異號. 與數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列矛盾,得:當(dāng)時(shí),數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列. 【規(guī)律總結(jié)】安徽高考理科對數(shù)列的考查一般以等差等比數(shù)列求通項(xiàng)、求前項(xiàng)和為主要形式,淡化遞推公式的運(yùn)用,有時(shí)也結(jié)合函數(shù)性質(zhì)、不等式強(qiáng)化綜合性,增加難度,運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題.十分注重推理能力的考察,但推理能力不再是數(shù)列遞推,而是常用邏輯中的充分必要條件,安徽高考已經(jīng)不止一次這樣考察了,2010年對數(shù)列的考查是這樣的,今年也是,這一點(diǎn)要引起我們的重視. 18.(2011年江蘇)設(shè)M部分為正整數(shù)組成的集合,數(shù)列,前n項(xiàng)和為,已知對任意整數(shù)kM,當(dāng)整數(shù)都

13、成立 (1)設(shè)的值; (2)設(shè)的通項(xiàng)公式 本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查考生分析探究及邏輯推理的能力,滿分16分。 解:(1)由題設(shè)知,當(dāng), 即, 從而 所以的值為8。 (2)由題設(shè)知,當(dāng) , 兩式相減得 所以當(dāng)成等差數(shù)列,且也成等差數(shù) 列 從而當(dāng)時(shí), (*) 且, 即成等差數(shù)列, 從而, 故由(*)式知 當(dāng)時(shí),設(shè) 當(dāng),從而由(*)式知 故 從而,于是 因此,對任意都成立,又由可知, 解得 因此,數(shù)列為等差數(shù)列,由

14、 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 19.(2011年安徽) 在數(shù)1和100之間插入個實(shí)數(shù),使得這個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,將這個數(shù)的乘積記作,再令. (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和. 本題考查等比和等差數(shù)列,指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算,兩角差的正切公式等基本知識,考查靈活運(yùn)用知識解決問題的能力,綜合運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維能力. 解:(I)設(shè)構(gòu)成等比數(shù)列,其中則 ① ② ①×②并利用 (II)由題意和(I)中計(jì)算結(jié)果,知 另一方面,利用 得 所以 20.(2011年北京) 若數(shù)列滿足,數(shù)列為數(shù)列,記=. (Ⅰ)寫出一個滿足,且

15、〉0的數(shù)列; (Ⅱ)若,n=2000,證明:E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011; (Ⅲ)對任意給定的整數(shù)n(n≥2),是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列,使得=0?如果存在,寫出一個滿足條件的E數(shù)列;如果不存在,說明理由。 解:(Ⅰ)0,1,2,1,0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。 (答案不唯一,0,1,0,1,0也是一個滿足條件的E的數(shù)列A5) (Ⅱ)必要性:因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列, 所以. 所以A5是首項(xiàng)為12,公差為1的等差數(shù)列. 所以a2000=12+(2000—1)×1=2011. 充分性,由于a2000—a1000≤1, a2000—a1000≤1 ……

16、 a2—a1≤1 所以a2000—a≤19999,即a2000≤a1+1999. 又因?yàn)閍1=12,a2000=2011, 所以a2000=a1+1999. 故是遞增數(shù)列. 綜上,結(jié)論得證。 (Ⅲ)令 因?yàn)? …… 所以 因?yàn)? 所以為偶數(shù), 所以要使為偶數(shù), 即4整除. 當(dāng) 時(shí),有 當(dāng)?shù)捻?xiàng)滿足, 當(dāng)不能被4整除,此時(shí)不存在E數(shù)列An, 使得 21.(2011年福建) 已知等比數(shù)列{an}的公比q=3,前3項(xiàng)和S3=。 (I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (II)若函數(shù)在處取得最大值,且最大值為a3,求函數(shù)f(x)的解析

17、式。 本小題主要考查等比數(shù)列、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,滿分13分。 解:(I)由 解得 所以 (II)由(I)可知 因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為3,所以A=3。 因?yàn)楫?dāng)時(shí)取得最大值, 所以 又 所以函數(shù)的解析式為 22.(2011年廣東) 設(shè)b>0,數(shù)列滿足a1=b,. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)證明:對于一切正整數(shù)n, 解: (1)由 令, 當(dāng) ①當(dāng)時(shí), ②當(dāng) (2)當(dāng)時(shí),(欲證) , 當(dāng) 綜上所述 23.(2011年湖北)

18、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足:,N*,. (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)若存在N*,使得,,成等差數(shù)列,是判斷:對于任意的N*,且,,,是否成等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論. 本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識,同時(shí)考查推理論證能力,以及特殊與一般的思想。(滿分13分) 解:(I)由已知可得,兩式相減可得 即 又所以r=0時(shí), 數(shù)列為:a,0,…,0,…; 當(dāng)時(shí),由已知(), 于是由可得, 成等比數(shù)列, , 綜上,數(shù)列的通項(xiàng)公式為 (II)對于任意的,且成等差數(shù)列,證明如下:

19、 當(dāng)r=0時(shí),由(I)知, 對于任意的,且成等差數(shù)列, 當(dāng),時(shí), 若存在,使得成等差數(shù)列, 則, 由(I)知,的公比,于是 對于任意的,且 成等差數(shù)列, 綜上,對于任意的,且成等差數(shù)列。 24.(2011年遼寧) 已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0,a6+a8=-10 (I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (II)求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 解: (I)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由已知條件可得 解得 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 (II)設(shè)數(shù)列,即, 所以,當(dāng)時(shí),

20、 所以 綜上,數(shù)列 25.(2011年全國大綱) 設(shè)數(shù)列滿足且 (Ⅰ)求的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)設(shè) 解: (I)由題設(shè) 即是公差為1的等差數(shù)列。 又 所以 (II)由(I)得 , 26.(2011年全國新課標(biāo)) 已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且. (I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式. (II)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 解: (Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由得所以. 由條件可知c>0,故. 由得,所以. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)式為an=. (Ⅱ?)

21、 故 所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為 27.(2011年山東) 等比數(shù)列中,分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)若數(shù)列滿足:,求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 解:(I)當(dāng)時(shí),不合題意; 當(dāng)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),符合題意; 當(dāng)時(shí),不合題意。 因此 所以公式q=3, 故 (II)因?yàn)? 所以 所以 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), 綜上所述, 28.(2011年上海)

22、 已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為,(),將集合 中的元素從小到大依次排列,構(gòu)成數(shù)列 。 (1)求; (2)求證:在數(shù)列中.但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為; (3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解:⑴ ; ⑵ ① 任意,設(shè),則,即 ② 假設(shè)(矛盾),∴ ∴ 在數(shù)列中.但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為。 ⑶ , ,, ∵ ∴ 當(dāng)時(shí),依次有,…… ∴ 。 29.(2011年四川) 設(shè)為非零實(shí)數(shù), (1)寫出并判斷是否為等比數(shù)列。若是,給出證明;若不是,說明理由; (II)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 解析:(1) 因?yàn)闉槌?shù),所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列。 (

23、2) (2)(1) 30.(2011年天津) 已知數(shù)列與滿足:, ,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)設(shè),證明:是等比數(shù)列; (III)設(shè)證明:. 本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分. (I)解:由 可得 又 (II)證明:對任意 ① ② ③ ②—③,得 ④ 將④代入①,可得 即 又 因此是等比數(shù)列. (III)證明:由(II)可得, 于是,對任意,有 將以上各式相加,得 即, 此式當(dāng)k=1時(shí)也成立.由④式得

24、 從而 所以,對任意, 對于n=1,不等式顯然成立. 所以,對任意 31.(2011年浙江)已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)為a(),設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,成等比數(shù)列 (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及 (2)記,,當(dāng)時(shí),試比較與的大?。? 本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識,同時(shí)考查分類討論思想。滿分14分。 (I)解:設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由 得 因?yàn)椋运? (II)解:因?yàn)?,所? 因?yàn)?,所? 當(dāng), 即 所以,當(dāng) 當(dāng) 32.(2011年重慶) 設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和,滿足 (I)若成等比數(shù)列,求和; (II)求證:對 (I)解:由題意, 由S2是等比中項(xiàng)知 由解得 (II)證法一:由題設(shè)條件有 故 從而對有 ① 因,由①得 要證,由①只要證 即證 此式明顯成立. 因此 最后證若不然 又因矛盾. 因此 證法二:由題設(shè)知, 故方程(可能相同). 因此判別式 又由 因此, 解得 因此 由,得 因此

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