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1、定積分的應用要點講解 一、要點精析 1.定積分的概念 教材上詳細地給出了定積分的概念，對定積分的內(nèi)涵可抓住以下幾點進行理解： (1)“分割、近似代替、求和、逼近”是定積分定義的核心，體現(xiàn)了“化整為零、以不變代變、積零為整、以逼近代準確”的辨證思考方法，促使近似向精確轉(zhuǎn)化，這種無限分割（微分）與無限求和（積分）的方法，是微積分的基本思想方法. (2)定積分的值與被積函數(shù)在積分區(qū)間有關，而與積分變量用什么字母表示無關,即（稱為積分形式的不變性）． (3)定積分的定義已假定下限小于上限，為方便起見，規(guī)定時，交換定積分上、下限的位置，定積分改變符號，即，當時，. 2.定積分的幾何意義

2、與物理背景 (1)幾何意義:當時,表示的是與和軸所圍曲邊梯形的面積. (2)物理背景:當表示速度關于時間的函數(shù)時, 表示的是運動物體從到時所走過的路程. 3.定積分的性質(zhì) (1)1的定積分等于積分的上限與下限之差,即. (2)被積函數(shù)的常系數(shù)可提到積分號之前, 即 （為常數(shù)）. (3)兩個(可推廣到有限個)函數(shù)的和(差)的定積分等于它們定積分的和(差),即 ； (4)定積分的積分區(qū)間具有可加性，即不論三點的相互位置如何，恒有． 4.微積分基本定理 定理:如果連續(xù)函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù)，即,則有(*),式子*叫作牛頓-萊布尼茨公式，通常稱是的一個原函數(shù). 剖析:(1)微積分

3、基本定理揭示了導數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系———求導數(shù)與求積分互為逆運算,同時它也提供了計算定積分的一種簡單有效方法． (2)用微積分基本定理求定積分的關鍵是找到滿足的一個原函數(shù)，通常我們運用基本函數(shù)的求導公式和導數(shù)的四則運算法則從反方向上求出. (3)根據(jù)導數(shù)知識，連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)不惟一，如(為常數(shù))也是函數(shù)的原函數(shù),求定積分可以選取任意一個原函數(shù)，這對于定積分的求解沒有影響. (4)由定理易得：若在上連續(xù),且為偶函數(shù),則有若在上連續(xù),且為奇函數(shù),則有. 二、方法歸納 1.用定義求定積分的一般步驟 (1)分割：將區(qū)間分成份;(2)近似代替：取點(), (或;(3)求和：S或s;

4、(4)逼近:當最大的小區(qū)間的長度趨于0,S與s的差也趨于0,則S與s同時趨于某一個常數(shù)A,A就是所求的定積分，即=A. 2.求兩曲線圍成的平面圖形面積 (1)求解步驟:①畫出圖形;②確定圖形范圍，通過解方程組求出交點的橫坐標，定出積分上、下限;③確定被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)的上、下位置;④寫出平面圖形面積的定積分表達式;⑤運用微積分基本公式計算定積分，求出平面圖形的面積. (2)面積公式:設由曲線以及直線,所圍成的平面圖形的面積為S,則. 3求簡單幾何積的體積 (1)求解步驟：①畫出旋轉(zhuǎn)前的平面圖形和旋轉(zhuǎn)體的圖形;②確定軸截面圖形的范圍，即求交點坐標，確定積分上、下限;③確定

5、被積函數(shù); ④確定旋轉(zhuǎn)體體積的表達式（用定積分表示）；⑤求出定積分，即旋轉(zhuǎn)體的體積. (2)體積公式：設曲線以及直線,所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V，則V= 三、友情提示 1.根據(jù)定積分定義求定積分比較繁瑣，故一般利用微積分基本定理求定積分. 2.利用定積分求面積或體積時,要用數(shù)形結(jié)合的方法確定被積函數(shù)和積分上下限． 3.要特別注意，當時,不是與和軸所圍曲邊梯形的面積S，而是S的相反數(shù)，即S=－或． 4.利用微積分基本定理計算時，通常把求原函數(shù)與計算的定積分值用一串等式表示出來，注意,把積分上、下限代入原函數(shù)求差時，要按步驟進行，以免發(fā)生符號錯誤．