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1、考點51 幾何證明選講
一、選擇題
1.（2012·北京高考理科·Ｔ5）如圖. ∠ACB=90o，CD⊥AB于點D，以BD為直徑的圓與BC交于點E.則( )
A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB
C. AD·AB=CD2 D.CE·EB=CD2
A
D
B
E
C
【解題指南】利用切割線定理及直角三角形中的射影定理.
【解析】選A.CD，以BD為直徑的圓與CD相切，。
在中，CD為斜邊AB上的高，有，
因此，CE·CB=AD·DB.
二、填空題
2.（2012·湖北高考理科·Ｔ15）如圖，點D在⊙O的弦AB上移動，AB=
2、4，連接OD，過點D作OD的垂線交⊙O于點C，則CD的最大值為_____________.
【解題指南】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是利用直線與圓的位置關(guān)系，取AB的中點，連OC，把CD表示出來.
【解析】取AB的中點為E，連接CD，OE，則，要求CD的最大值，則點D與E重合.可知結(jié)果為：2.
【答案】2.
3.（2012·陜西高考理科·Ｔ15）如圖，在圓中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，，垂足為F，若，，則 .
【解題指南】圍繞Rt△BDE和圓的有關(guān)性質(zhì)列出成比例線段.
【解析】連接AD,因為，,所以BE=5, 在Rt△ABD中，,,在Rt△
3、BDE中,由射影定理得.
【答案】5.
4. （2012·廣東高考文科·Ｔ15）如圖所示，直線PB與圓O相切于點B,D是弦AC上的點，.若AD=m,AC=n,則AB= .
【解題指南】本小題要注意利用圓的幾何性質(zhì)。判斷出,從而證出是解決此問題的關(guān)鍵.
【解析】由題意知，所以,
所以所以.
【答案】.
5.（2012·廣東高考理科·Ｔ15）如圖，圓O的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點，滿足，過點A作圓O的切線與OC的延長線交于點P，則PA=_____________.
【解題指南】本小題要注意利用圓的幾何性質(zhì)。連接OA，AC
從而可得, 為等邊三角形，,
4、為等腰三角形，并且AC=CP=1,到此問題基本得以解決.
【解析】連接AO、AC，因為,所以,為等邊三角形，則為等腰三角形，且.
【答案】.
6.（2012·天津高考文科·Ｔ13）與（2012·天津高考理科·Ｔ13）相同
如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D，過點C作BD的平行線與圓相交于點E，與AB相交于點F，AF=3，F(xiàn)B=1，，則線段CD的長為_________.
【解題指南】利用相交線及切線的比例關(guān)系求解。
【解析】設(shè)CD=x,則AD=4x,因為AF·FB=CF·FE,所以CF=2,
又,又.
【答案】.
三、解答題
7. （2
5、012·遼寧高考文科·T22）與（2012·遼寧高考理科·T22）相同
如圖，⊙O和⊙相交于兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點，連接DB并延長交⊙O于點E.證明
(Ⅰ)；
(Ⅱ) .
【解題指南】據(jù)弦切角等于圓周角，證明三角形相似，對應(yīng)邊成比例，證明等式.
【解析】(1)由AC與圓相切于點A，得;同理，
從而∽，所以
（2）由AD與圓相切于點A，得;
又,從而∽，所以
又由（1）知，
所以.
8.（2012·新課標(biāo)全國高考文科·Ｔ22）與（2012·新課標(biāo)全國高考理科·Ｔ22）相同
如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，直線DE交△ABC的
6、外接圓于F，G兩點，若CF//AB，證明：
(Ⅰ)CD=BC；
(Ⅱ)△BCD∽△GBD
【解題指南】（1）連接AF，作為中間量過渡，證，證明時充分利用圖形中出現(xiàn)的平行四邊形；（2）利用圖形中的平行四邊形及等腰三角形關(guān)系，設(shè)法尋找△BCD與△GBD中的兩組對應(yīng)角相等，從而可得△BCD∽△GBD.
【解析】（1）因為D，E分別為AB，AC的中點，所以，
又已知，故四邊形是平行四邊形，所以.而，連結(jié)，所以ADCF是平行四邊形，故CD＝AF.
因為，所以，故.
（2）因為故.
由（1）可知，所以.
而，故∽.
A
E
B
D
C
O
9. （2012·江蘇高考
7、·Ｔ21）如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點，連接BD并延長至點C，使BD = DC，連接AC，AE，DE．
求證：．
【解題指南】要證，就得找一個中間量代換，一方面考慮到是同弧所對圓周角，相等；另一方面由是圓的直徑和可知是線段的中垂線，從而根據(jù)線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)得到，從而得證.
【解析】證明：連接.
∵是圓的直徑，∴（直徑所對的圓周角是直角）。
∴（垂直的定義）。
又∵，∴是線段的中垂線（線段的中垂線定義）。
∴（線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等）。
∴（等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)）。
又∵為圓上位于異側(cè)的兩點，
∴（同弧所對圓周角相等）。
∴（等量代換）.
【一題多解】可連接，利用三角形中位線來求證。
證明：連接OD，因為BD＝DC，O為AB的中點，
所以O(shè)D//AC,于是
因為OB＝OD，所以
于是
因為點A，E，B，D，都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點，所以和為同弧所對的圓周角，故，所以.
2012年高考數(shù)學(xué) 考點51 幾何證明選講
